三角函數(shù)專(zhuān)題總復(fù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與經(jīng)典例題講解-高三數(shù)學(xué)

1、三角函數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)講義任意角的概念弧長(zhǎng)與扇形面積公式角度制與弧度制同角三函數(shù)的基本關(guān)系任意角的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)計(jì)算與化簡(jiǎn)證明恒等式已知三角函數(shù)值求角和角公式倍角公式差角公式應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用1、弧度制：把長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度； 三角函數(shù)線(xiàn)：如右圖，有向線(xiàn)段AT與MP、 OM 分別叫做的 正切線(xiàn)、正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)。 角度制與弧度制的互化： 1rad57.30=5718 10.01745（rad）36918273602、特殊角的三角函數(shù)值：sin= 0cos= 1tan= 0sin3=cos3=tan3=sin=cos=tan=1sin6=cos6=ta

2、n6=sin9=1cos9=0tan9無(wú)意義3、弧長(zhǎng)及扇形面積公式弧長(zhǎng)公式： 扇形面積公式:S=-是圓心角且為弧度制。 r-是扇形半徑4、任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)p（x,y）, r=(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=(2)各象限的符號(hào)： + -xy+O +xyO + +yOsin cos tan5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（1）平方關(guān)系：sin2+ cos2=1。（2）商數(shù)關(guān)系：=tan（）誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限。，7正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) y=sinx y=cosx y=tanx 定義域: R R 值域: -1,1 -1,1 R

3、周期: 2 2 奇偶性: 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)區(qū)間:增區(qū)間; ; 減區(qū)間; 無(wú)減區(qū)間對(duì)稱(chēng)軸: 無(wú)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心: （以上k均為整數(shù)）考點(diǎn)一: 求三角函數(shù)的定義域、值域和最值、三角函數(shù)的性質(zhì)（包括奇偶性、單調(diào)性、周期性）這類(lèi)問(wèn)題在選擇題、填空題、解答題中出現(xiàn)較多，主要是考查三角的恒等變換及三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。例1、已知函數(shù)f(x)=求它的定義域和值域；求它的單調(diào)區(qū)間；判斷它的奇偶性；判斷它的周期性。解：（1）x必須滿(mǎn)足sinx-cosx0，利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)及，kZ 函數(shù)定義域?yàn)?，kZ 當(dāng)x時(shí)， 函數(shù)值域?yàn)?（3） f(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng) f(x)不具備奇偶性

4、 （4） f(x+2)=f(x) 函數(shù)f(x)最小正周期為2注；利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)可區(qū)分sinx-cosx的符號(hào)。例2、化簡(jiǎn)并求函數(shù)的值域和最小正周期.解： 所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，最小正周?、三角函數(shù)公式：倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系sin()=sincoscossincos()=coscossinsin降冪公式： 升冪公式 ： 1+cos= cos21-cos= sin2合一變形公式asinbcossin（）cos（）14、三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題常用的方法技巧有：常數(shù)代換法：如：配角方

5、法： （其中）的應(yīng)用，注意的符號(hào)與象限。常見(jiàn)三角不等式：（1）、若 （2）、若（3）、例3、（1）已知cos(2+)+5cos=0，求tan(+)tan的值； （2）已知，求的值。解：從變換角的差異著手。 2+=(+)+，=(+)- 8cos(+)+5cos(+)-=0展開(kāi)得： 13cos(+)cos-3sin(+)sin=0同除以cos(+)cos得：tan(+)tan=以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā) tan=2 例4 求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=y=sin2x+2sinxcosx+3cos2

6、x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2 =sin2x+cos2x+2=(sin2xcos+cos2xsin)+2= sin(2x+)+2當(dāng)2x+=+2k時(shí),ymax=2+ 即x=+K(KZ)，y的最大值為2+注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降冪。正弦定理：. 變形公式有：（1）；（2）；（3）等余弦定理：;.三角形面積定理：.10、利用正弦定理、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下四類(lèi)解斜三角形問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角從而進(jìn)一步求其它的邊和角， （3）已知

7、三邊求三內(nèi)角；（4）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)內(nèi)角。11、解斜三角形的應(yīng)用題的解題步驟：（1）分析屬于哪種類(lèi)型的問(wèn)題（如：測(cè)量距離、高度、角度等）；（2）依題意畫(huà)出示意圖，并把已知量標(biāo)在示意圖中；（3）最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化、哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行求解；（4）檢驗(yàn)并作答.12、函數(shù)的圖像和性質(zhì)：作圖時(shí)常用兩種方法：00A0-A0五點(diǎn)法：圖象變換法：13、結(jié)合函數(shù)的簡(jiǎn)圖可知： 該函數(shù)的最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是； 例4、設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.求的值;在ABC中,分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知,求角C.解: （1） 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在處取最小值，所以,

8、由誘導(dǎo)公式知,因?yàn)?所以.所以 （2）因?yàn)?所以,因?yàn)榻茿為ABC的內(nèi)角,所以.又因?yàn)樗杂烧叶ɡ?得,因?yàn)?所以或.所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.考點(diǎn)三: 關(guān)于三角函數(shù)的圖象, 立足于正弦余弦的圖象，重點(diǎn)是函數(shù) 的圖象與y=sinx的圖象關(guān)系。根據(jù)圖象求函數(shù)的表達(dá)式，以及三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性例7（05年福建）函數(shù)的部分圖象如圖，則（ C ）ABCD例8、（05年全國(guó)卷17）設(shè)函數(shù)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)。（）求；（）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（）畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力，滿(mǎn)分12分.）解：（）的圖像的對(duì)稱(chēng)軸， （）由（）知由題意得 所以函數(shù)（）

9、由x0y1010故函數(shù) (略)考點(diǎn)四，三角函數(shù)與其它知識(shí)交匯設(shè)計(jì)試題，是突出能力、試題出新的標(biāo)志，近年來(lái)多出現(xiàn)于三角函數(shù)與向量等知識(shí)交匯。例9（05年江西）已知向量.求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫(xiě)出f(x)在0，上的單調(diào)區(qū)間.解： =.所以，最小正周期為上單調(diào)增加，上單調(diào)減少.例10、（05年山東卷）已知向量，求的值.解： 由已知，得 又 所以 熱點(diǎn)預(yù)測(cè) 1、下列函數(shù)中，既是（0，）上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)是A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=2、如果函數(shù)y=sin2x+acos2x圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-對(duì)稱(chēng)，則a值為- B、-1 C、1 D、 3、

10、函數(shù)y=Asin(x+)（A0，0），在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=時(shí)，ymax=2；當(dāng)x=時(shí)，ymin=-2，則此函數(shù)解析式為A、 B、C、 D、4、已知tan，tan是方程兩根，且，則+等于A、 B、或 C、或 D、5、函數(shù)f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、86.方程sinx=lgx的實(shí)根個(gè)數(shù)是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都錯(cuò)(考查三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像)7.在ABC中，(1)已知tanA= sinB=，則C有且只有一解，(2)已知tanA=,sinB=,則C有且只有一解，其中正確的是( )(A)只有(1) (B

11、)只有(2)(C)(1)與(2)都正確 (D)(1)與(2)均不正確(考查綜合有關(guān)公式，靈活處理三角形中的計(jì)算)8、（20XX年遼寧卷）的三內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為設(shè)向量,若,則角的大小為 (A) (B) (C) (D) 9、（20XX年遼寧卷）設(shè),點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 10、( 20XX年湖南卷）已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是 ( )A.0, B. C. D.11、函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x-)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則=_。12、數(shù)y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為_(kāi)。13

12、、知(x-1)2+(y-1)2=1，則x+y的最大值為_(kāi)。解答題 14、是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+acosx+在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值。15、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xR）求f(x)的最小正周期；求f(x)單調(diào)區(qū)間；求f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心。16、函數(shù)y=cosx-1(0 x2)的圖像與x軸所圍成圖形的面積是_。(考查三角函數(shù)圖形的對(duì)稱(chēng)變換)17、設(shè)三角函數(shù)f(x)=sin(+)，其中k0(1)寫(xiě)出f(x)的極大值M，極小值m，最小正周期T。(2)試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時(shí)，函

13、數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值m，(考查三角函數(shù)的最值、周期，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力)18、是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+acosx+在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值。19. （本小題滿(mǎn)分13分）已知A、B、C是三內(nèi)角，向量且，（1）求角A； 若20、已知，將的圖象按向量平移后，圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。（1）、求實(shí)數(shù)的值，并求取得最大值時(shí)的x的集合。（2）、求的單調(diào)遞增區(qū)間。答案與提示 1、B 2、B 3、B 4、A 5、C 6.C 7 B 8、B9 【解析】解得: ,因點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以,即滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選擇答案B.10、 B 11、 ，kZ 12、-4 13、