2021年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2.3直線(xiàn)與平面的夾角課件5新人教B版選修2-1

1、3.2.3 直線(xiàn)與平面的夾角學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解直線(xiàn)與平面的夾角的三種情況，理解斜線(xiàn)和平面所成角的概念2了解三個(gè)角，1，2的意義，會(huì)利用公式cos cos 1cos 2求平面的斜線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)的夾角知識(shí)回憶怎樣求兩條異面直線(xiàn)所成的角？答案(1)幾何法：即通過(guò)平移其中一條(也可兩條同時(shí)平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)，然后通過(guò)解三角形獲解向量法包括了“基向量法與“坐標(biāo)法預(yù)習(xí)導(dǎo)引1線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角的關(guān)系式如下圖，OA是平面的斜線(xiàn)段，O是斜足，線(xiàn)段AB垂直于，B為垂足，那么直線(xiàn)OB是斜線(xiàn)OA在平面內(nèi)的_ _設(shè)OM是內(nèi)通過(guò)點(diǎn)O的任一條直線(xiàn)，OA與OB所成的角為1，OB與OM所成的角為2，OA與OM所成的角為

2、，那么，1，2之間的關(guān)系為_(kāi) _(*)在上述公式中，因0cos 21，所以cos cos 1.因?yàn)?和都是銳角，所以1.正射影cos 1cos 2cos2最小角定理_和它在平面內(nèi)的_所成的角是斜線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)所成角中_ 3直線(xiàn)與平面的夾角(1)如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，這條直線(xiàn)與平面的夾角為_(kāi)(2)如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線(xiàn)與平面的夾角為_(kāi)(3)斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的_叫做斜線(xiàn)和平面所成的角(或斜線(xiàn)和平面的夾角).斜線(xiàn)射影最小的角900射影所成的角知識(shí)點(diǎn)一用定義求線(xiàn)面角例1在正四面體ABCD中，E為棱AD中點(diǎn)，連CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值解如圖，過(guò)A、E分

3、別作AO平面BCD，EG平面BCD，O、G為垂足AO=2GE，AO、GE確定平面AOD，連接GC，那么ECG為CE和平面BCD所成的角ABACAD，OBOCOD.BCD是正三角形，O為BCD的中心，連接OD并延長(zhǎng)交BC于F，那么F為BC的中點(diǎn)令正四面體棱長(zhǎng)為1，規(guī)律方法 利用定義法求線(xiàn)面角時(shí)，關(guān)鍵是找到斜線(xiàn)的射影，找射影有以下兩種方法：斜線(xiàn)上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影上；利用垂直關(guān)系得出線(xiàn)面垂直，確定射影跟蹤變式1 如下圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDDC，E是PC的中點(diǎn)求EB與平面ABCD夾角的余弦值解取CD的中點(diǎn)M，那么EMPD，又PD

4、平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的射影為BM，MBE為BE與平面ABCD的夾角，設(shè)PDDCa，知識(shí)點(diǎn)二由公式cos cos 1cos 2求線(xiàn)面角規(guī)律方法 公式cos cos 1cos 2在解題時(shí)經(jīng)常用到，可用來(lái)求線(xiàn)面角1，在應(yīng)用公式時(shí)，一定要分清，1，2，分別對(duì)應(yīng)圖形中的哪個(gè)角跟蹤變式2四面體P-ABC，APBBPCCPA60，那么PA與平面PBC所成角的余弦值()答案D解析如圖，設(shè)A在平面BPC內(nèi)的射影為O，APBAPC.點(diǎn)O在BPC的角平分線(xiàn)上，OPC30，APO為PA與平面PBC所成的角cosAPBcosAPOcosOPC，知識(shí)點(diǎn)三向量法求線(xiàn)面角規(guī)律方法 (1)用向量

5、法可避開(kāi)找角的困難，但計(jì)算繁瑣，所以注意計(jì)算上不要失誤(2)在求平面的法向量時(shí)，假設(shè)圖中有垂直于平面的直線(xiàn)時(shí)，可直接確定法向量；當(dāng)圖中沒(méi)有垂直于平面的直線(xiàn)時(shí)，可設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)，用解不定方程組的方法來(lái)確定法向量跟蹤變式3 如圖，兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)假設(shè)平面ABCD平面DCEF，求直線(xiàn)MN與平面DCEF所成角的正弦值解 設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)DC，DF，DA為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖那么D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，A30 B60

6、 C120 D150答案A2正方體ABCDA1B1C1D1中，直線(xiàn)BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為()答案C解析 建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，那么D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，A60 B90 C105 D75答案B1空間向量的具體應(yīng)用主要表達(dá)為兩種方法基向量法和坐標(biāo)法這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進(jìn)展空間向量的運(yùn)算，最后把運(yùn)算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論這樣就把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量來(lái)研究，表達(dá)了化歸與轉(zhuǎn)化思想2直線(xiàn)與平面所成角的求法(1)幾何法：找出斜線(xiàn)在平面上的射影，那么斜線(xiàn)與射影所成角就是線(xiàn)面角，可通過(guò)解由斜線(xiàn)段、垂線(xiàn)段和射影線(xiàn)段構(gòu)成的直角三角形獲解3公式cos cos 1cos 2的理解由0cos21，coscos1，從而1.在