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1、數(shù)理統(tǒng)計與隨機(jī)過程第六章主講教師:陳立萍北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。它研究如何以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù),以便對所考察的問題作出正確的推斷和預(yù)測,為采取正確的決策和行動提供依據(jù)和建議。 數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計,它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析。第六章 樣本及抽樣分布6.1 引言 由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出其規(guī)律性,因而從理論上講,只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次的觀察,隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性就一定能夠清楚地呈現(xiàn)出來。 但是,客觀上只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察或試驗,也就是說:我們獲得的只能是局部的或有限的觀察資料
2、。 數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就是研究 “如何有效地收集、整理和分析所獲得的有限資料,并對所研究的問題盡可能地給出精確而可靠的推斷”。 現(xiàn)實世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù),分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法。 因此,數(shù)理統(tǒng)計中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的。概括起來可以歸納成兩大類。 參數(shù)估計: 根據(jù)數(shù)據(jù),對分布中的未知參數(shù) 進(jìn)行估計; 假設(shè)檢驗: 根據(jù)數(shù)據(jù),對分布的未知參數(shù)的 某種假設(shè)進(jìn)行檢驗。 參數(shù)估計與假設(shè)檢驗構(gòu)成了統(tǒng)計推斷的兩種基本形式,這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支。6.2 總體與樣本 在數(shù)理統(tǒng)計中,稱研究問題所涉及對象的全體為總體,總體中的每個成員為個體。 例如: 研究某工廠生產(chǎn)的某
3、種產(chǎn)品的廢品率,則這種產(chǎn)品的全體就是總體,而每件產(chǎn)品都是一個個體。6.2.1 總體、個體與樣本 實際上,我們真正關(guān)心的并不一定是總體或個體本身,而真正關(guān)心的是總體或個體的某項數(shù)量指標(biāo)。 如:某電子產(chǎn)品的使用壽命,某天的最高氣溫,加工出來的某零件的長度等數(shù)量指標(biāo)。因此,有時也將總體理解為那些研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)的全體。 為評價某種產(chǎn)品質(zhì)量的好壞,通常的做法是:從全部產(chǎn)品中隨機(jī)(任意)地抽取一些樣品進(jìn)行觀測(檢測),統(tǒng)計學(xué)上稱這些樣品為一個樣本。 同樣,我們也將樣本的數(shù)量指標(biāo)稱為樣本。因此,今后當(dāng)我們說到總體及樣本時,既指研究對象又指它們的某項數(shù)量指標(biāo)。例1:研究某地區(qū) N 個農(nóng)戶的年收人。 在
4、這里,總體既指這 N 個農(nóng)戶,又指我們所關(guān)心的 N個農(nóng)戶的數(shù)量指標(biāo)他們的年收入( N 個數(shù)字)。 如果從這 N 個農(nóng)戶中隨機(jī)地抽出 n 個農(nóng)戶作為調(diào)查對象,那么,這 n 個農(nóng)戶以及他們的數(shù)量指標(biāo)年收入( n個數(shù)字)就是樣本。 注意:上例中的總體是直觀的,看得見、摸得著的。但是,客觀情況并非總是這樣。例2:用一把尺子測量一件物體的長度。 假定 n 次測量值分別為X1,X2 ,Xn。顯然,在該問題中,我們把測量值X1,X2 ,Xn看成樣本。但總體是什么呢? 事實上,這里沒有一個現(xiàn)實存在的個體的集合可以作為上述問題的總體??墒牵覀兛梢赃@樣考慮,既然 n 個測量值 X1,X2,Xn 是樣本,那么,總
5、體就應(yīng)該理解為一切所有可能的測量值的全體。又如:為研究某種安眠藥的藥效,讓 n 個病人同時服用這種藥,記錄服藥者各自服藥后的睡眠時間比未服藥時增加睡眠的小時數(shù) X1,X2,Xn,則這些數(shù)字就是樣本。 那么,什么是總體呢? 設(shè)想讓某個地區(qū)(或某國家,甚至全世界)所有患失眠癥的病人都服用此藥,則他們所增加睡眠的小時數(shù)之全體就是研究問題的總體。 對一個總體,如果用X表示其數(shù)量指標(biāo),那么,X的值對不同的個體就取不同的值。因此,如果我們隨機(jī)地抽取個體,則X的值也就隨著抽取個體的不同而不同。 所以,X是一個隨機(jī)變量! 既然總體是隨機(jī)變量X,自然就有其概率分布。我們把X的分布稱為總體分布。 總體的特性是由總
6、體分布來刻畫的。因此,常把總體和總體分布視為同義語。.6.2.2 總體分布例 3 (例 l 續(xù)):在例 l中,若農(nóng)戶年收入以萬元計,假定 N戶的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的戶數(shù)分別n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。則X為離散型分布,分布律為:例4 ( 例2續(xù) ):在例2中,假定物體真實長度為(未知)。一般說來,測量值X就是總體,取 附近值的概率要大一些,而離 越遠(yuǎn)的值被取到的概率就越小。 如果測量過程沒有系統(tǒng)性誤差,則X取大于 和小于 的概率也會相等。 在這種情況下,人們往往認(rèn)為X 服從均值為,方差為2
7、的正態(tài)分布。2反映了測量的精度。于是,總體X的分布為 N(,2)。 說明:這里有一個問題,即物體長度的測量值總是在其真值 的附近,它不可能取負(fù)值。 而正態(tài)分布取值在(-,)上。那么,怎么可以認(rèn)為測量值X服從正態(tài)分布呢? 回答這個問題,有如下兩方面的理由。(1).在前面講過,對于XN(,2), P-3X0,當(dāng)樣本大小 n 增大時,上面的概率也隨之增大;n 趨于無窮時,上式趨近于 1。任給c 0,總有例1:用機(jī)器向瓶子里灌裝液體洗滌劑,規(guī)定每瓶裝 毫升。但實際灌裝量總有一定波動。假定灌裝量的方差 2=1,如果每箱裝這樣的洗滌劑 25 瓶。求這 25 瓶洗凈劑的平均灌裝量與標(biāo)定值 相差不超過0.3毫
8、升的概率;又如果每箱裝50瓶時呢?解:記一箱中 25 瓶洗凈劑灌裝量為 X1,X2, X25 是來自均值為 , 方差為1的總體的隨機(jī)樣本。根據(jù)抽樣分布定理1,近似地有 當(dāng) n=50時,同樣可算出:6.4 正態(tài)總體6.4.1 2 分布它是由正態(tài)分布派生出來的一種分布。 定義1: 設(shè) X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立,且均服從正態(tài)分布 N(0, 1), 則稱隨機(jī)變量服從自由度為 n 的卡方分布,記成 。 分布的密度函數(shù)為由 分布的定義,不難得到其如下性質(zhì): 進(jìn)一步,由中心極限定理可以推出, n 充分大時,近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)。分布密度函數(shù)圖形n2 分布上 分位點(diǎn)有表可查,見附表4。對
9、于給定的 (0,1), 稱滿足條件的點(diǎn) n2()為 n2分布的上(右) 分位點(diǎn)。分布分位點(diǎn)t 分布的概率密度為為服從自由度 n 的 t 分布,記為 T tn。6.4.2 t 分布 定義2: 設(shè) X N(0, 1) , Y n2 , 且 X與Y 相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量t 分布的概率密度圖形當(dāng) n 充分大時,f (x; n) 趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度。 數(shù)學(xué)期望與方差若 T tn , 對給定的 (0,1),稱滿足條件t 分布的分位點(diǎn)的點(diǎn) tn()為 tn 分布上 分位點(diǎn)。t 分布的上 分位點(diǎn)有表可查,見附表3。 tn 分布上 分位點(diǎn)示意圖6.4.3 F 分布 則稱 F =(X/m)/(Y/n)
10、服從第一自由度為m,第二自由度為n 的 F 分布。記成 F Fm ,n 。定義3:F 分布的概率密度為 若 FFm, n,對給定的 (0,1), 稱滿足條件F 分布的分位點(diǎn)的點(diǎn) Fm,n()為F分布的上 分位點(diǎn)。.F 分布上 分位點(diǎn)有表可查,見附表5。 F 分布上 分位點(diǎn)示意圖 一個需要注意的問題:這個關(guān)系式的證明如下:證明:若 X Fm,n,則 Y = X -1 Fn,m。依分位點(diǎn)定義,上式等價于再根據(jù) Y ( Fn,m ) 的上 分位點(diǎn)定義,有這就證明了(1)式。 在通常 F 分布表中,只對 比較小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位點(diǎn)。但有時我們也需要知道
11、 比較大的分位點(diǎn),它們在 F 分布表中查不到。這時我們就可利用分位點(diǎn)的關(guān)系式(1)把它們計算出來。 例如:對m=12, n=9, =0.95, 我們在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95),但由(1)式,知可從F 分布 表中查到 還有一個重要結(jié)果: 若X tn , 則X2 F1,n。 請同學(xué)們自己證明。定理 1:6.4.4 正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布 定理的證明超出了教學(xué)范圍,在此,我們不作證明。 定理的內(nèi)容在后面幾章的討論中將多次用到,希望大家牢記。例1:設(shè)某物體的實際重量為(未知),現(xiàn)在用一臺天平稱量它,共稱 n 次,得到X1,X2,Xn。假設(shè)每次稱量過程彼此獨(dú)立,且無系統(tǒng)誤差, 則可認(rèn)為這些測量值獨(dú)立同分布, 均服從正態(tài)分布N(,2),方差2反映了天平及測量過程的總精度。我們通常用樣本均值根據(jù)定理1(基本定理),有再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)(見p110,例4.2.6),知例如:當(dāng) = 0.1 時,也就是說:我們的估計值 與真值 的偏差不超過 的概率約為 99.74%, 并且隨稱量次數(shù) n 的增加,偏差界限 將越來越小。若取 n
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