6-2-2 向量的數(shù)乘運算-2020-2021學年高一數(shù)學同步教學課件（人教A版2019必修第二冊）

1、第6章 平面向量及其應用6.2.2 向量的數(shù)乘運算 當 時， 的方向和 的方向相同； 當 時， 的方向和 的方向相反； 當 時， .向量的數(shù)乘1向量數(shù)乘的定義 一般地，我們規(guī)定實數(shù) 和向量 的積是 一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作 ，它的長度和方向規(guī)定如下： 向量數(shù)乘的結果仍然是向量，這 個向量的長度、方向都和 以及 有關；實數(shù)和向量可以相乘，但不能相 加減， ， 無意義；表示和向量 方向相同的單位 向量根據(jù)向量的數(shù)乘運算，向量 與 的方向相 同 或相反 .向量的數(shù)乘1向量數(shù)乘的幾何意義 如圖，在向量數(shù)乘中， 可視為將向量 的長度伸長 或縮短 的倍數(shù). 的符號表示是夠改變向量的方向，當

2、時，向量 的方向和 相同；當 時，向量 的方向和向量 相反；當 時，向量理解意義常見的誤區(qū) 當 或 時，均有 ,反之亦成立，即 容易出錯的是當 或 的時候，誤將 當成實數(shù)0向量的數(shù)乘1向量數(shù)乘的運算律設 ， 為向量， ， 為實數(shù)，則：（1）（2）（3）特別地，有向量數(shù)乘運算律的驗證以(1) 為例驗證：若 或 或 ，顯然成立；若 且 且 ，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義有 ，以及即 與 的模長相等.綜上，注意 ， ， 這些特殊情況及 ， 同號、異號的情況. 第二分配率的幾何意義：將表示向量 ， 的有向線段先相加，再伸長或縮短 倍， 與將表示向量 ， 的有向線段先伸長或縮短至原來的 倍后再相加，所得的結果相

3、 同. 結合率的幾何意義：將表示向量 的有向線段先伸長或縮短至原來的 倍，再伸長或 縮短 倍，與將表示向量 的有向線段伸長或縮短至原來的 倍所得的結果相同.向量的數(shù)乘1運算律的幾何意義 以 為例，解釋如下： 第一分配率的幾何意義：將表示向量 的有向線段伸長或縮短至原來的 倍，與 將表示向量 的有向線段先伸長或縮短至原來的 倍后，在與表示向量 的有向線段 伸長或縮短至原來的 倍后相加所得的結果相同.化簡下列各式：【解】(1)原式=(2)原式=向量的線性運算2 向量的加法、減法、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，線性運算的結果還是向量.對于任意向量 ， ，以及任意實數(shù) ， ， ，恒有以下等式成立：線性

4、運算難點點撥【1】向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取 公因式”，只不過這里的“同類項”“公因式”都是向量，實數(shù)可以看做是 向量的系數(shù).【2】對于向量的線性運算，關鍵是把握運算順序，即先根據(jù)運算律去括號，再 進行數(shù)乘運算，最后進行向量的加減，即“先乘除，后加減”.向量共線定理3向量 與 共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù) ，使 向量共線定理理解點撥 向量共線定理中規(guī)定 的原因：若將 去掉，則當 時，顯然 和 共線；當 ，若 ，則不存在實數(shù) 使 成立，此時 與 不共線.當 時，若 ，則對一切的實數(shù) ，都有 ，與“有唯 一 一個實數(shù) ”矛盾.向量共線定理3向量共線的條件

5、【1】當向量 時， 與任意向量 共線；【2】當向量 時，對于向量 ，如果有一個實數(shù) ，使 ，那么由 向量數(shù)乘的定義知 與 共線. 【3】反之，已知向量 與 共線，且向量 的長度是向量 的長度的 倍，即 ，那么當 與 同方向時，有 ；當 與 反向時，有 .【4】如果向量 與 不共線，且 ，那么 .三點共線4三點共線的判定定理 對于平面內(nèi)任意三點A、B、C，O為平面內(nèi)不在A、B、C所在直線上的任意一點，設OC= OA+ OB，若實數(shù) ， 滿足 ，則A、B、C三點共線.三點共線的判定定理的證明 若存在實數(shù) ， ，使得OC= OA+ OB，其中 ，O為平面內(nèi)不在A、B、C所在直線上的任意一點，則OC=

6、 OA+ OB= OA+ OB 所以OC-OA= (OB-OA)，即AC= AB，所以AC與AB共線.又因為AC與AB有共同的起點，所以A、B、C三點共線. 在ABC中，D是AB邊上一點.若AD=2DB，CD= CA+ CB，求 .【解】由題意可得A、B、D三點共線，C為A、 B、D所在直線上一點，且 CD= CA+ CB，則 ， 所以 E是AC的中點，所以四邊形ABCG是平行四邊形，所以AG=BC，所以DG=DA+AG= .又EF是BGD的中位線，所以 EF= GD= DG，所以EF= . 因為四邊形ABCD不一定是梯形，所以E點不一定是BG的中點. 平面幾何性質運用不準確坑如圖，E、F分別

7、是四邊形ABCD對角線AC、BD的中點，設BC= ，DA= ，試用 ， 表示EF.【錯解】連接BE并延長，交CD于G，連接AG，如圖.在ABC中，EP是中位線，所以PE= BC+ . 平面幾何性質運用不準確坑如圖，E、F分別是四邊形ABCD對角線AC、BD的中點，設BC= ，DA= ，試用 ， 表示EF.【正解】如圖，取AB的中點P，連接EP，F(xiàn)P.在ABD中，F(xiàn)P是中位線，所以PF= AD= DA= .所以EF=EP+PF=-PE+PF= 【解】根據(jù)向量相等的概念，顯然 可以得到 ，A正確； 忽視零向量坑已知平面向量 ， ， ，下列說法正確的是哪個？若 ，則若 ，則若 若 / ， / ，則 / 因為向量包括大小和方向，所以 得不出來 ，故B錯誤；若 或 ，故C錯誤；若 ，滿足 / ， / ，但得不出 / ，故D錯誤.【錯解】A、B、D三點共線，證明如下： 混淆“向量共線”和“線段共線”坑已知非零向量 ， 不共線，且AP=2 ，PB= ，CQ= ，QD= ，能否判定A、B、D三點共線?所以CD=-2AB，即A、B、D三點共線.【正解】無法判定A、B、D三點是否共線，原因如下：所以CD=-2AB，但向量共線包括線段平行和共線兩種情況，所以無法判斷.已知ABC的邊BC上有一點D滿足BD=3DC，則AD可以怎么表示