固體物理課件第4章閱讀版

1、晶格振動與聲子Chapter 4 Lattice vibrationli1內(nèi)容提要單原子結(jié)構(gòu)基元情況下的晶格振動基元中含有兩個原子的情況彈性波的量子化聲子動量聲子引起的非彈性散射Chapter 4 Lattice vibrationli2固體的許多性質(zhì)都可以基于靜態(tài)模型來理解（即晶體點陣模型），即認為固體的原子在空間做嚴格的周期性排列，在該框架內(nèi)，了X光衍射發(fā)生的條件，求出了晶體的結(jié)合能，以后還將在此框架內(nèi)，建立能帶論，計算金屬大量的平衡性質(zhì)。然而它只是實際原（離）子構(gòu)形的一種近似，因為原子或離子是不可能嚴格的固定在其平衡位置上的，而是在固體溫度所控制的能量范圍內(nèi)在平衡位置附近做微振動。只有深

2、入地了解了晶格振動的規(guī)律，的晶體性質(zhì)才能得到理解。如：固體熱容，熱膨脹，熱傳導，融化，聲的，電導率，壓電現(xiàn)象，某些光學和介電性質(zhì)，位移性相變，超導現(xiàn)象，晶體和輻射波的相互作用等等。Chapter 4 Lattice vibrationli3Chapter 4 Lattice vibrationli4晶格振動的研究始于固體熱容研究，19 世紀初人們就通過Dulong-Petit 定律認識到：熱容量是原子熱運動在宏觀上的最直接表現(xiàn)，然而直到20世紀初才由Einstein 利用Pl量子假說解釋了固體熱容為什么會隨溫度降低而下降的現(xiàn)象（1907年），從而推動了固體原子振動的研究，1912年(Born，

3、1954年 Nobel物理學獎獲得者)和-Karman)馮卡門（了論晶體點陣振動的，首次使用了周期性邊界條件，但他們的研究當時被忽視了，因為同年的更為簡單的Debye熱容理論（彈性波近似）已經(jīng)可以很好的說明當時的實驗結(jié)果了，但后來更為精確的測量卻表明了Debye模，所以1935年Blakman才重新利用Born和-Karman近型似晶格振動，發(fā)展成現(xiàn)在的晶格動力學理論。后來先生在晶格振動研究上成就突出，特別是1954年和Born共同寫作的晶格動力學一書已成為該領域公認的著作。Chapter 4 Lattice vibrationli5晶格振動的經(jīng)典理論一.二.三.四.五.一維單原子鏈的晶格振動

4、一維雙原子鏈的晶格振動三維晶體中原子的振動 態(tài)密度函數(shù)近似條件與使用范圍參考：3.23.4節(jié)（p82-103）3.8節(jié)（p132-137)Kit書4.1 和 4.2兩節(jié)晶格振動雖是一個十分復雜的多粒子問題，但在一定條件下，依然可以在經(jīng)典范疇求解，一維原子鏈的振動就是最典型的例子，它的振動既簡單可解，又能較全面地表現(xiàn)出晶格振動的基本特點。Chapter 4 Lattice vibrationli6一維單原子點陣的振動(1)模型：一維無限長的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為M。第s-2個原子第s-1個原子第s個原子第s+1個原子第s+2個原子aus-1usus-2us+1us+2Ch

5、apter 4 Lattice vibrationli7簡諧近似描述1: 力的角度這一章要考慮原子在平衡位置附近的振動簡諧近似簡諧近似認為振動是小振動，即振幅很小，這種振動的位移與力之間是滿足線性關系的。F = - cxChapter 4 Lattice vibrationli8簡諧近似原子間有相對位移從能量的角度兩原子間相互作用勢也有變化可將勢能展開成級數(shù)：描述2：能量的角度Chapter 4 Lattice vibrationli9振動很微弱時，勢能展開式中忽略掉（u）二次方以上的高次項，只保留到(u)2項。-簡諧近似第s-2個原子第s-1個原子第s個原子第s+1個原子第s+2個原子aus

6、-2us+1us+2us-1us第s個原子所受到的力等于所有原子作用力的總和：Chapter 4 Lattice vibrationli10作用方程只考慮最近鄰原子的作用，設其力常數(shù)為C，則 F Mu&s C（us1 us1 2us）給出試探解 Ae（i t sqa）（s 1.2.3.N )usChapter 4 Lattice vibrationli11F Mu&s c（pus p us）（s 1.2.3.N )p試探解晶格中各個原子間的振動相互間都存在著固定的位相關系，即原子的振動形成了波，這種波稱為。Chapter 4 Lattice vibrationli12相鄰原子間的位相差為qa同

7、一振幅A振動原子都以同一頻率i (t sqa )us Ae（s 1, 2, 3,., N )簡諧振動方程F Mu&s C（us1us12us）試探解 Ae（i t sqa）（s 1.2.3.N )us將試探解代入振動方程得振動頻率:色散關系Chapter 4 Lattice vibrationli13(晶格振動譜)it saq i Aeu&s代入試探解: 2 A e i t saq 推導過程 i t saq MA e2Mu&n左邊 C Aei t s1aq Aei t s1aq2 Aeit saq右邊M 2 C2 (cos aq i sin aq) (cos aq i sin aq)aq C(

8、2 2 cos aq) 4C sin22Chapter 4 Lattice vibrationli142.色散關系由色散關系式可畫圖如下:m2 / a / a0 / a2 / aChapter 4 Lattice vibrationli15一維單原子鏈就像一個低通濾波器，只能0 max的彈性波，高于 max頻率的彈性波被強烈衰減。m（一個倒格矢長度）q2 / a02 / a / a / aChapter 4 Lattice vibrationli16是q的周期性函數(shù), 周期為2/a。是q的偶函數(shù)(-q)= (q)（稱之為色散關系的反演對稱性）卡門(Born-Karman)周期性邊界條件一維無限

9、長單原子晶格_ 所有原子是等價的每個原子的振動形式都一樣實際晶體為有限_形成的鏈不是無窮長鏈兩頭的原子_不同于中間原子Chapter 4 Lattice vibrationli17 N個原子頭尾相接形成環(huán)鏈保持所有原子等價特點 N很大原子運動近似為直線運動 處理問題時考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性un設第n個原子的位移再增加N個原子之后第N+n個原子的位移uN nChapter 4 Lattice vibrationli18則有 uNu ni A et( NAiet n)aqnaqnNaq 2eiNaq 1h因此q 2 h Na h為整數(shù)的取值范圍 q aaN1, N3 NL,N, NN h22 ,L1

10、,0222222Chapter 4 Lattice vibrationli19q 2 h NaN h N22h N個整數(shù)值 qN個不同的分立值。但是，在周期即可把實際晶體當作理想晶體性邊界條件下，的只能取一系列分立值。q 2Na2每個在第一區(qū)占的線度第一區(qū)的線度a 2 / a 2 / Na N第一區(qū)狀態(tài)數(shù)Chapter 4 Lattice vibrationli20q的取值限制 (周期性邊界條件)的研究對象是理想晶體（所以可借用波函數(shù)來處理），邊界上與的原子是一樣的，既理想晶體不考慮晶體邊界，沒有邊界效應。對實際長為L的一維原子鏈，要作為理想晶體來對待,就要用到周期性邊界條件(即循環(huán)邊界條件或

11、邊界條件).這個邊界條件的意思是相當于將晶體的首尾相接構(gòu)成一個圓環(huán),第1個原子與第N+1個原子重合。Chapter 4 Lattice vibrationli21BornKarman 最早利用的周期性邊界條件既能使運動方程可解，又能使結(jié)果符合實際晶體的測量為固體理論的一個典范。？成至目前為止，尚未找到其它邊界條件可以獲得與實驗更加符合的結(jié)果，所以周期性邊界條件成為的晶格振動唯一選項。處理周期性邊界條件并沒有改變方程解的形式，只是對解提出一定的條件，q 只可取N個不同的值，每個q對應著一個。Chapter 4 Lattice vibrationli22注意周期性邊界條件下，q取值有很多，可以有無

12、數(shù)個。q取值限制在一定范圍內(nèi)但實際中須將區(qū)內(nèi)，長度相當一個倒格矢G的大小即一個Chapter 4 Lattice vibrationli23q與qG對應的是同一個！Chapter 4 Lattice vibrationli24根據(jù)前面推導情況可知：是q的周期性函數(shù), 最小周期為2/a（一個倒格矢G）以一個周期內(nèi)的所有q值代表允許存在的任意q的情況。將特定取法的一個周期稱為(簡約/第一區(qū)。oaa區(qū))Chapter 4 Lattice vibrationli25 mq移動一個周期（G）對位移的影響：當Q q G)eis 2 n 1Chapter 4 Lattice vibrationli26可見，

13、當q平移一個倒格，所對應的頻率及每個原子的位移都是相同的，這兩個是同一個。1 4a由紅線所代表的波不能給出比藍線的信息。為了表示這個 4 a運動，只需要大于2a的波長。25a2a3a4a由圖明顯看出兩個不同波長的種振動狀態(tài)，q 只需要在第一只表示晶體原子的一區(qū)內(nèi)取值即可，這是與連續(xù)介質(zhì)彈性波的區(qū)別。Chapter 4 Lattice vibrationli27 2注 意：勿 混淆nNa q的取值：2q的周期(倒格矢)： Gna一個區(qū)(周期)中擁有的q的數(shù)目：區(qū)中的q值數(shù)目晶體中原胞的數(shù)目。對長為L的一維原子鏈中的獨立的簡正模式數(shù)等于晶體中的原子數(shù)。Chapter 4 Lattice vibra

14、tionli28兩情況q0的條件下，利用級數(shù)展開， C / M q2a22得Chapter 4 Lattice vibrationli29q0的條件下兩種情況q = 2 0a、長波極限().色散關系:q2 aoa2 a aChapter 4 Lattice vibrationli30在長波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，可視為彈性波。b、短波極限下Chapter 4 Lattice vibrationli31 / a的波長比點陣常數(shù)大的多時,可以它表明當把當作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理（色散關系是線性的）。也就是說可以把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，當a時，點陣的分立性就顯示不出來，時感覺不到分立性，若波長

15、縮短，分立結(jié)構(gòu)的特性對的影響就逐漸來，色散關系的線性關系就要改變，當=2a時，q / a里淵區(qū)邊界，發(fā)生了Bragg反射。，正處在布Chapter 4 Lattice vibrationli32群速若晶體中有一個擾動，有一個原子偏離了平衡位置。由于原子間有相互作用，則這個擾動可以看作是基本組成的波包的運動，波包的運 d dq動速度是的群速，vg。它是有一系列疊加起來的波包的運動，波包中心所對應的速度為群速度，它是介質(zhì)中能量傳輸?shù)乃俣?。Chapter 4 Lattice vibrationli33 d dqvg由于：對q微商：如圖：Chapter 4 Lattice vibrationli34一

16、維雙原子點陣的點陣振動Chapter 4 Lattice vibrationli35模型:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為M1和M2。同種原子間距均為a，恢復力系數(shù)為c。M1M2vs-1us+1us-1usvs可假設原子間的力常數(shù)是一樣的在簡諧近似下，用最近鄰近似，認為各原子之間是用同樣的彈簧聯(lián)系起來的。Chapter 4 Lattice vibrationli361.方程M1M2vs-1us+1us-1usvs取第s個紅色原子為研究對象：只考慮最近鄰原子的作用Chapter 4 Lattice vibrationli372.色散關系u v ue i ( t sqa ) ve i ( t sqa

17、)s取試解 s2c M c(1 eiqa )2 01c(1 eiqa )2c M 22Chapter 4 Lattice vibrationli38展開此行列式：得：上式中取“”號時，有較高頻率稱為光學支色散關系，取“”號時，有較低頻率稱為聲學支色散關系。Chapter 4 Lattice vibrationli39Chapter 4 Lattice vibrationli40q的取值限制-卡門邊界條件，設晶體有N個原胞，則：由(共有N個值)由N個原胞組成的一維雙原子鏈，的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，(振動模式)數(shù)目為2N。一維雙原子鏈，每個原胞有兩個原子，晶體的度數(shù)是2N。Chapter 4

18、 Lattice vibrationli41一維雙原子鏈得到了兩個解，兩種色散關系，它們都是 q 的周可知，q 取值范圍也在第一是a，倒易點陣期函數(shù)，和一維單原子相同的區(qū)（ 2 ）內(nèi)。此時點陣a度是（ 2 ）a圖中一維雙原子鏈晶體可作 / a / aq帶通濾波器.Chapter 4 Lattice vibrationli42每個的線度第一區(qū)允許的q值的數(shù)目一個q有兩支 一支聲學波和一支光學波總的數(shù)目 2N 原子的數(shù)目Chapter 4 Lattice vibrationli43情 況 1 長波極限長波極限時色散關系(q0, 即a)代入色散關系：(接近于常數(shù))光學波：聲學波：Chapter 4

19、Lattice vibrationli44推導過程 c(M1 M 2 ) 11 2M1M 2 (1 cos qa)2(M M)2M M1212 c(M1 M 2 )22M1M 2 q a211(M M)2M M1212x當 M 2 ) 1 (1 122 c(M1M1M 2 q a2)2 (M M)2M M1212 c(M1 M 2 )221 M1M 2 q a112(2)2 )2c（）2 (M MM MMM121212 c(M1 M 2 ) 122M1M 2 q ac222q a2 (M M)2M M 2）M M（212121Chapter 4 Lattice vibrationli45長波極

20、限下 聲學波、光學波兩種原子各自振幅比Chapter 4 Lattice vibrationli46當q0 時:對光學波【“”號的一支】:e iq a） （c 1 c (1 1)Muv 2 2 c 112 MM2 c 2 c M()111MM12對聲學波【“-”號的一支】:e iq a） （c 1 c (1 1)uv2 c 12 c cq 2 a22 M2 c2 c M112( MM)12Chapter 4 Lattice vibrationli47u M 2v長波時光學波【“”號支】振動情況:M1相鄰原子振動方向是相反的。它表明同一個初基晶胞中的兩個原子每時每刻的振動位相是相反的，而且是質(zhì)心

21、不動的，不同的初基晶胞有一eiqa 。個位相差在離子晶體中由于它們不斷的反位相振動，電偶極距可與電磁波耦合，這種振動模式可用光波來激發(fā)，故稱之為光學支振動模式，實際上它是簡正模式中的一部分，而不是光波，它可與光波耦合，但不要與光波。Chapter 4 Lattice vibrationli48u / v 1長波時聲學波【“-”號支】振動情況:聲學波這表明qaa時，可把晶體看作連續(xù)介質(zhì):uu0 cos (qx-t)描寫的振動是一個行波，它的能量有一半是動能，另一半是彈性勢能：動能：Chapter 4 Lattice vibrationli76將uu0 cos (qx-t)代入得：整個晶體中總動能

22、的平均值為：（之所以在右項出現(xiàn)1/2因子是因為動能只占整個動能的1/2，另外1/2是勢能），由此這就是的振幅與聲子數(shù)之間的關系。Chapter 4 Lattice vibrationli773、每個平均能量由于聲子是簡正模式的能量量子，若其能量為：其量子數(shù)n可取0的一切值，是不受任何限制的，因此聲子服從玻色統(tǒng)計規(guī)律，在溫度為時，一個頻率為(注意：一可對應于很多個模式上的聲子數(shù)為：q)，量子數(shù)為n的簡正Chapter 4 Lattice vibrationli78如此,即可以把點陣振動的子語言”來描述，利用“方便的多?！安▌诱Z言”用“粒粒子語言”處理問題要與電子波的互作用聲子與光子的碰撞.但聲子

23、是一種擬粒子。而不是基本粒子。Chapter 4 Lattice vibrationli79聲子動量Chapter 4 Lattice vibrationli80的能量：用聲子表示。的實際動量:0,并不攜帶無物理動量,這一點還可用數(shù)學方法來證明。Chapter 4 Lattice vibrationli81考慮一個一維單原子鏈,點陣常數(shù)為a,點陣振動的簡正模式:所有的原子都有位移,總動量應等于所有原子的位移時間微商(即對s求和)利用公式:Chapter 4 Lattice vibrationli82L=na P=0這就說明無物理動量,它的總動量為零。Chapter 4 Lattice vibr

24、ationli83聲子沒有物理動量。但平常這些有聲子參與把量hq 稱的過程中，為處理問題方便起見，為聲子的準動量或聲子的晶體動量，主要是由于它的性質(zhì)類似于一個動量。這樣凡是有聲子參與的碰撞過程中動量守恒依然存在。Chapter 4 Lattice vibrationli84聲子的性質(zhì)與說明Chapter 4 Lattice vibrationli85聲子的性質(zhì)與說明：聲子是晶格振動的能量量子。當電子或光子與晶格振動相互作用時，總是以為單元交換能量，若電子交給晶格的能量，稱為發(fā)射一個聲子；若電子從晶格獲得的能量，則稱為吸收一個聲子。一即一種振動模式對應于一種聲子，對于由N個原胞（每個原胞有n個原

25、子）組成的三維晶體，有3nN，即有3nN種聲子。當一種振動模式處于其能量本征態(tài)時，稱這種振動模有n個聲子。Chapter 4 Lattice vibrationli86聲子具有能量，也具有準動量q，它的行為類似于電子或光子，具有粒子的性質(zhì)。但聲子與電子或光子是有本質(zhì)區(qū)別的，聲子只是反映晶體原子集體運動狀態(tài)的激發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨存在，它并不是一種真實的粒子。這種具有粒子性質(zhì)，但又不是真實物理實體的概念稱為準粒子。所以，聲子是一種準粒子。而光子是一種真實粒子，它可以在真空中存在。Chapter 4 Lattice vibrationli87聲子與聲子相互作用，或聲子與其他粒子（電子或光子

26、）相互作用時，聲子數(shù)目并不守恒。聲子可以產(chǎn)生，也可以湮滅。其作用過程遵從能量守恒和準動量守恒。因為晶體中有3nN個振動模式，即有3nN種不同的聲子。因此，晶格振動的總能量為：Chapter 4 Lattice vibrationli88聲子的能量是hi ，動量是hq ，聲子是一種玻色型準粒子。引入聲子的概念不僅能生動地反映出晶格振動能量量子化的特點，而且在處理與晶格振動有關加方便和形象。時，可以更應用舉例1：處理晶格振動對電子的散射時，便可以當作電子與聲子的碰撞來處理。應用舉例2：熱傳導可以看成是聲子的擴散；熱阻是于聲子被散射等等。使許多復雜的物理問題變得如此形象和便于處理是引入聲子概念的最大

27、好處。Chapter 4 Lattice vibrationli89但它的動量不是真實動量，因為當增加一個倒格矢量時，不會引起聲子頻率和原子位移的改變。即從物理上看，它們是等價的，這是晶體結(jié)構(gòu)周期性的反映。但在處理聲子同聲子、聲子同其它粒子之間的相互作用時，又具有一定的動量性質(zhì)，所以叫做“準動量”。Chapter 4 Lattice vibrationli90k=k+q+G選擇定則:聲子沒有物理動量，所有動量（G）由晶體整體承當。真實的動量和能量是守恒的。外界粒子與晶格發(fā)生作用后，動量守恒的形式：k-k-kk=q(q+G)k=k+q+Gk-k=q+GChapter 4 Lattice vibr

28、ationli91彈性散射在第二章中已講過，對x-ray的彈性散vk k S ，既是Laue衍射條件，又是波射條件k 方向就有矢選擇條件，凡是滿足這個條件沿反射束，凡不滿足這個條件x-ray將沿k方向傳播而不受反射，若對上式兩邊都乘以 h ，則可看hk hk hS ，它表明反作動量守恒的形式，即射光子的動量等于入射光子的動量加上從點陣中獲得的動量，hS是從點陣中獲得的動量， hS相當于點陣的反沖動量，這個動量通常是很難觀察到的，就好象皮球打在墻上而觀察不到墻的反沖動量一樣。Chapter 4 Lattice vibrationli92非彈性散射在x-ray的非彈性散射的能量關系中，x-ray與

29、點陣有能量交換，從而可以激子，或者從點陣中吸收聲子（熱振動動能）也就是說這種能量交換既可能激發(fā)點陣的熱振動，也可能吸收點陣的熱振動。據(jù)量子力學：式中k為入射，q為聲子【+q對應于聲子的產(chǎn)生過程。-q對應于聲子的吸收過程】，上式也是x-ray在晶體中發(fā)生非彈性散射的選擇條件。Chapter 4 Lattice vibrationli93兩邊乘以h得：當 Gn 0 時：Chapter 4 Lattice vibrationli94中子的非彈性散射測量聲子能譜Chapter 4 Lattice vibrationli95的色散關系也叫做聲子的能譜。它表示頻率與之間的關系，在實際晶體中由于力常數(shù)是一個

30、較復雜的量，色散關系難用數(shù)學方法計算出來。通常是用實驗方法測得的。Chapter 4 Lattice vibrationli96通?？紤]的是單聲子過程，既吸收或產(chǎn)生一個聲子的過程，單聲子過程在整個聲子產(chǎn)生和吸收的過程中幾率很大。由于非彈性散射，在散射過程中，根據(jù)能量守恒定律，入射中子經(jīng)散射后，能量和動量也要發(fā)生變化，若能測出中子在散射過程中的能量損失與子的色散關系來。變化就能測出聲Chapter 4 Lattice vibrationli97k k若入射中子的散射后中子的中子質(zhì)量為M N，能量守恒定理射中子的能量：散射中子的能量：據(jù)能量守恒定理：Chapter 4 Lattice vibrat

31、ionli98動量守恒定理（亦稱選擇條件）：對于產(chǎn)生聲子的過程：式中各個k分別是什么？Chapter 4 Lattice vibrationli991）、對于吸收聲子的過程：相應地有：從而實驗獲得k之間關系。Chapter 4 Lattice vibrationli1002）、對于產(chǎn)生聲子的過程：即這樣就可把中子能量的改變E-E作為改變的函數(shù)來處理。Chapter 4 Lattice vibrationli101射中子的能量E與是已知的，測出E及就可決定色散關系，即可測出散射過程量的增益(或損失)以及散射中子的子能那么聲子的可由定出，而對應的到色散關系中的可由E-E定出，這樣便一個點，改變E或

32、改變的方向，再測能量變化和便可求出色散關系中的另一個點，如此多次取點便到整個色散關系。Chapter 4 Lattice vibrationli102確定晶格振動譜的實驗方法晶格振動的頻率和的關系晶格振動的振動譜晶格振動的振動譜測定方法中子非彈性散射X射線散射散射散射光子與晶格的非彈性散射Chapter 4 Lattice vibrationli1031中子非彈性散射p2vp and E 入射晶體時中子的動量和能量2Mnp2v pand E出射晶體后中子的動量和能量2Mn能量守恒Chapter 4 Lattice vibrationli104能量守恒動量守恒G n b n bv n b倒格子矢

33、量n112233聲子的準動量Chapter 4 Lattice vibrationli1052中子能量0.020.04eV聲子能量10eV測得各個方位入射和散射中子的能量差確定聲子的頻率入射中子和散射中子方向的幾何關系確定聲子的得到聲子的振動譜從反應堆出來的慢中子的能量與聲子的能量接近測定中子散射前后能量變化_給出聲子能量信息Chapter 4 Lattice vibrationli1062光子與晶格的非彈性散射入射光子 ,kk散射光子入射光子受到聲子散射_變成散射光子(與此同時在晶格中放出_或者吸收一個聲子能量守恒作用過程滿足動量守恒固定入射光的頻率和入射方向測量不同方向散射光的頻率_得到聲

34、子的振動譜Chapter 4 Lattice vibrationli107入射光子受到聲子散射在晶格中放出一個聲子或者吸收一個聲子Chapter 4 Lattice vibrationli1081)光子與長聲學波聲子相互作用光子的散射q() vpq長聲學波聲子cvcvkk光子的頻率pnn大小近似相等kq如果光子與聲子可見光光子的105cm-1 ( q )h h k k散射前射光子與散射光子的大小近似相等Chapter 4 Lattice vibrationli109q 2k sin長聲學波聲子的2不同角度方向測得散射光子的頻率_得到聲子頻率(q) (聲子振動譜散射光和入射光的頻率位移 1107

35、 3 1010 Hz散射Chapter 4 Lattice vibrationli1102)光子與光學波聲子的相互作用光子的散射能量守恒動量守恒可見光或紅外光要求聲子的很小必須很小光子的散射限于光子與長光學波聲子的相互作用 3 1010 3 1013Hz頻率位移Chapter 4 Lattice vibrationli1113X光非彈性散射X光光子具有更高的頻率_可以很大用來研究聲子的振動譜X射線的能量 104 eV102 eV遠遠大于聲子能量實驗上很難精確地直接測量X光在散射前后的能量差因此確定聲子的能量是很的Chapter 4 Lattice vibrationli112晶體熱容的量子理論

36、固體的定容熱容E固體的平均內(nèi)能固體內(nèi)能晶格振動的能量和電子熱運動的能量Chapter 4 Lattice vibrationli113實驗結(jié)果低溫下金屬的熱容電子對熱容的貢獻晶格振動對熱容的貢獻溫度不是太低的情況_忽略電子對熱容的貢獻Chapter 4 Lattice vibrationli114晶格振動對熱容的貢獻經(jīng)典理論一個簡諧振動平均能量 kT能量均分定理B 3NkBN個原子_總的平均能量ETE) 3Nk 3RC(摩爾固體熱容ABVVT珀替定律在低溫時熱容量隨溫度迅速趨于零!Chapter 4 Lattice vibrationli115晶格振動對熱容的貢獻量子理論一個頻率為j的振動模對

37、熱容的貢獻 (n 1 )h頻率為j的振動模由一系列量子能級 E組成jjj2子體系 (n 1 )hE子體系處于量子態(tài)的概率jjj2kBTChapter 4 Lattice vibrationli1161 )h 的概率kBT子體系處于量子態(tài) E (njjj2xn1 x1)n(e n j h / kBT e n j h / kBTPnj / kBThx en j enj h j / kBT (1 eh j / kBT )Pn j Pn j Ejn jEj一個振動模的平均能量Chapter 4 Lattice vibrationli117(n 1 )h Pn jn jE振動模的平均能量PEjjn jj

38、n jj2h j n j h jh2)h n eEj (1 ekBTkBTjjjn j xnxn n(1 x)2h jh j / kBT 1 hEjj12e hkBTx eChapter 4 Lattice vibrationli118h jeh j / kBTE 1 h一個振動模的平均能量jj12 ( Ej )C j一個振動模對熱容貢獻VVTh jh jekBTh jCV kB ( k T )j2B(ekBT1)2與晶格振動頻率和溫度有關Chapter 4 Lattice vibrationli119h / kBThej kj )2C j (一個振動模對熱容貢獻(eh j / kBTVB 1

39、)2k TBkBT h j高溫極限 1 h j 1 ( h j )2 LLeh j / kBTkBT2kBT(1 h j L)( h jkBT kC j)2hhVBk T1j(j )2 L2BkBT2kBTChapter 4 Lattice vibrationli120T h jkB(1 h j L)忽略不計( h jkBT kC j)2hhVBk T12j(j )2 L2B忽略不計kBTkBT與珀替定律相符Chapter 4 Lattice vibrationli121hh / kBTej kj )2C j (一個振動模對熱容貢獻(eh j / kBTVB 1)2k TBkBT h j低溫極

40、限eh j / kBT 1( h j1eh j / kBT kC j)2VBk TB 0T 0CV與實驗結(jié)果相符Chapter 4 Lattice vibrationli1223NE (T ) E j (T )j1晶體中有3N個振動模_總的能量Ej (T ) E(T )3Nj1晶體總的熱容CVVVTT3NC CjVVj1hh/ k T3NejBC kj)2 (eh j / kBTVB1)2k Tj 1BChapter 4 Lattice vibrationli123模型所有原子的振動頻率 0N個原子的晶體h jh j / kBT3N h0 3 N h3N j112h總能量E()h0 / kBT

41、0j 1 12eeE) 3C(Nk熱容BVVT3CNBk)VChapter 4 Lattice vibrationli124(h0Bk f TBh2eh0 k/B T(0)kT(eh0 k/B T 1 2 )Bf ( h0 ) 熱容函數(shù)Bk TBh0 kB溫度Ee E / T32CNBk(E)V1/ T2 )T (eEE值選取 較大溫度變化范圍理論與實驗結(jié)果符合大多數(shù)固體10E 0K3K00Chapter 4 Lattice vibrationli125E h0 / kBheh0 / kBT(0 )2k T(eh0 / kBT 1)2BE 1320 K石理論計算和實驗結(jié)果比較Chapter 4

42、 Lattice vibrationli126eE /TCV 3NkB ( E )2晶體熱容E /T1)2T(eh0k h 1 T溫度較高時BE0Ek TBeE / T1(eE(eE eE / 2T )2 1)2/ T/ 2T 1 EeE/ 2T2TChapter 4 Lattice vibrationli127eE /TCV 3NkB ( E )2晶體熱容E /T1)2T(eeE / T1T2( )(eE 1)2/ T)2(E2TE2TE溫度較高時與珀替定律相符Chapter 4 Lattice vibrationli128eE / TCV 3NkB ( E )2晶體熱容 1)2/ TT(e

43、Eh0 1溫度非常低時kBTE T h0he EC 3Nk 10 )2 ekBT/ T(VBkTB按溫度的指數(shù)形式降低Chapter 4 Lattice vibrationli129 h0h32 e) kT0T晶體熱容CNk(BVBkB按溫度的指數(shù)形式降低3 實驗結(jié)果CATV模型忽略了各的頻率差別Chapter 4 Lattice vibrationli130德拜模型1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)有1個縱波和2個獨立的橫波 Cl qFor Longitudinal WaveFor Transverse Wave色散關系 C qt不同q的縱波和橫波

44、晶格的全部振動模不同頻率的振動模能量不同Chapter 4 Lattice vibrationli131V三維晶格_態(tài)密度V為晶體體積23()的取值在q空間形成了均勻分布的點子q是準連續(xù)變化的dq球V2q42dq狀態(tài)數(shù)目(3 )Chapter 4 Lattice vibrationli132頻率近似連續(xù)取值頻率在 d之間振動模式的數(shù)目 dn g( )dg( )振動頻率分布函數(shù)或振動模的態(tài)密度函數(shù)h / kBThejC kj )2 (一個振動模的熱容(eh j / kBTjB 1)2k TBChapter 4 Lattice vibrationli133h / kBThejC kj )2 (一個

45、振動模的熱容(eh j / kBTjB 1)2k TBmheh / kBTCV kB ( k T )g()d2晶體總的熱容(eh / kBT1)2B0 振動頻率分布函數(shù)g( ) 和m的計算Chapter 4 Lattice vibrationli134V2d之q 間的振動方式的數(shù)目(4q2dq3 )q Cldq dClVd 之間_縱波數(shù)目2 d22 C3lVd 之間_橫波數(shù)目2d2 C232td 之間_數(shù)目Chapter 4 Lattice vibrationli13512V頻率在 d 間_2d3 ) (數(shù)目Ct232Cl3V2 2C3g() 2頻率分布函數(shù)m0/( N )g( ) d3 C62總的數(shù)目3NmVChapter 4 Lattice vibration