線性系統(tǒng)的能控性和能觀性(113)課件

1、現(xiàn)代控制理論2第4章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)4.1 狀態(tài)反饋和輸出反饋4.2 極點(diǎn)配置4.3 解耦控制4.4 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)4.5 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)34.1 狀態(tài)反饋與輸出反饋 4.1.1 狀態(tài)反饋 將被控系統(tǒng)（A，B，C）的狀態(tài)變量，按照線性 反饋的規(guī)律反饋至輸入端，構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，這種控制規(guī)律稱為狀態(tài)反饋。其方框圖如下其中：K稱為狀態(tài)反饋陣：r n常數(shù)陣AuxyCBKr4 下面推導(dǎo)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由此可見，經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系數(shù)矩陣C和B沒有變化，僅僅是系統(tǒng)矩陣發(fā)生了變化，變成了(A BK)。也就是說狀態(tài)反饋矩陣K的引入，沒有增加新的狀態(tài)變量，也沒有增加系統(tǒng)的維數(shù)，但

2、可以通過K陣的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)達(dá)到所要求的性能。狀態(tài)反饋律 u = r Kx簡記為K(A BK),B,C5412 輸出反饋 輸出反饋是將受控系統(tǒng)的輸出變量，按照線性反饋規(guī)律反饋到輸入端，構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。這種控制規(guī)律稱為輸出反饋。經(jīng)典控制理論中所討論的反饋就是這種反饋，其結(jié)構(gòu)圖如下。 AuxyCBHr6狀態(tài)反饋控制律為 u = r H y 可得輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 簡記為H(A BHC )，B，C。 由此可見，與狀態(tài)反饋一樣，經(jīng)過輸出反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)同樣沒有引入新的狀態(tài)變量，僅僅是系統(tǒng)矩陣變成了（A BHC）。比較這兩種反饋形式，若令K = HC，則Kx =

3、HCx = Hy。因此輸出反饋只是狀態(tài)反饋的一種特殊情況。74.1.3 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性 證明 因?yàn)樵芸叵到y(tǒng)0(A,B,C )的能控性矩陣為 B AB An1B 而狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)K的能控性矩陣為 B (A BK)B (A BK)n1B (ABK)B=AB BKB,這表明(A BK)B的列向量可以由B AB的列向量的線性組合來表示。(A BK)2B的列向量可以由B AB A2B的列向量的線性組合來表示。 B (A BK) (A BK) n 1B的列向量可以由B AB A n 1B的列向量的線性組合來表示。因此有 定理4-1 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)0(A,B,C)的能控性，但卻不一定

4、保持系統(tǒng)的能觀測性。8 rank B (A BK)B (A BK)n1B rank B AB An1B 而受控系統(tǒng)又可認(rèn)為是系統(tǒng)K(A BK),B,C 通過K陣正反饋構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。于是有 rank B AB An1B rank B (A BK)B (A BK)n1B 要使兩不等式同時(shí)成立，只能是 rank B AB An1B = rank B (A BK)B (A BK)n1B 所以狀態(tài)反饋前后系統(tǒng)的能控性不變。 9 證明 因?yàn)檩敵龇答伿菭顟B(tài)反饋的一種特殊情況，因此輸出反饋和狀態(tài)反饋一樣，也保持了受控系統(tǒng)的能控性不變。 關(guān)于能觀測性不變，可由輸出反饋前后兩系統(tǒng)的能觀測矩陣 定理4-2 輸

5、出反饋系統(tǒng)不改變?cè)芸叵到y(tǒng)0的能控性和能觀測性.和 仿照定理4-1的證明方法，可以證明上述兩能觀測性矩陣的秩相等，因此輸出反饋保持原受控系統(tǒng)的能觀測性不變。10解： Qc=B AB = 系統(tǒng)是能控的且能觀測 。引入K = 3 1后，閉環(huán)系統(tǒng)K的狀態(tài)空間表達(dá)式0121 例4-1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試分析系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋K = 3 1后的能控性和能觀測性。Qo= =CCA1 27 4Qc=0120Qo=1 21 2系統(tǒng)K是能控的，但不是能觀測的。 114.2 極點(diǎn)配置 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在根平面上的分布。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能的要求，規(guī)定系

6、統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)有的位置。所謂極點(diǎn)配置，就是通過選擇適當(dāng)?shù)姆答佇问胶头答伨仃嚕瓜到y(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)恰好配置在所希望的位置上，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。4.2.1 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置 1 極點(diǎn)配置定理 定理4-3 受控系統(tǒng)0(A，B，C )利用狀態(tài)反饋矩陣K，能使其閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是受控系統(tǒng)0完全能控。 證明 為簡單起見，設(shè)受控系統(tǒng)o為單變量系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為12 充分性：即若0完全能控，則閉環(huán)極點(diǎn)必能任意配置。 設(shè)0完全能控，則必存在非奇異線性變換 ，將它化成能控標(biāo)準(zhǔn)型13受控系統(tǒng)0的傳遞函數(shù)為取狀態(tài)反饋陣為 則閉環(huán)的系統(tǒng)矩陣 為14設(shè)希望的閉環(huán)極點(diǎn)為s1，s2，sn，則希望的閉環(huán)特征多

7、項(xiàng)式為 (s s1) (s s2) (s sn) = sn + a1*s n 1 + an*而閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 15根據(jù)狀態(tài)反饋控制律在線性變換前后的表達(dá)式可得到原系統(tǒng)0的狀態(tài)反饋陣為 必要性：即若原系統(tǒng)0可由狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)，則0完全能控。采用反證法，即假設(shè)0通過狀態(tài)反饋可任意配置極點(diǎn)，但0為不完全能控。 因?yàn)橄到y(tǒng)0不完全能控，故必可采用線性變換，將系統(tǒng)分解為能控和不能控兩部分， 引入狀態(tài)反饋16對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為系統(tǒng)變?yōu)樯鲜秸f明，利用狀態(tài)反饋只能改變系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能改變不能控部分的極點(diǎn)。也就是說，在這種情況下，不可能任意配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)，這與假設(shè)相矛盾

8、，因此系統(tǒng)是完全能控的。必要性得證。17 2 性質(zhì) 狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)的零點(diǎn)。由上述定理的證明過程中，狀態(tài)反饋前后傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式相同，也就是說狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)的零點(diǎn)。 由于狀態(tài)反饋可以任意配置極點(diǎn)，因此有可能使系統(tǒng)產(chǎn)生零、極點(diǎn)對(duì)消，從而使?fàn)顟B(tài)反饋不能保持原系統(tǒng)的能觀測性。這就回答了前面曾提出的問題。只有當(dāng)原系統(tǒng)不含有零點(diǎn)時(shí)，狀態(tài)反饋才能保持原系統(tǒng)的能觀測性。該性質(zhì)適用于單輸入系統(tǒng)，但不適用于多輸入系統(tǒng)。18 當(dāng)受控系統(tǒng)不完全能控時(shí)，狀態(tài)反饋只能任意配置系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能改變不能控部分的極點(diǎn)。 上述極點(diǎn)配置定理對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)也是成立的，區(qū)別在于后者的狀態(tài)反饋陣K不是唯一的

9、，而對(duì)單變量系統(tǒng)K陣是唯一的。原因在于多輸入多輸出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。19 3 K陣的求法 在以上充分性的證明過程中實(shí)際上已經(jīng)給出了求取狀態(tài)反饋K陣的方法。 利用能控標(biāo)準(zhǔn)形求K陣。首先求將0變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形的線性變換P陣。然后根據(jù)要求的極點(diǎn)配置，計(jì)算狀態(tài)反饋陣 。 該方法比較麻煩，但對(duì)高階系統(tǒng)是一種通用的計(jì)算方法，在利用計(jì)算機(jī)求K陣時(shí)，通常采用這種方法。最后將 變換成對(duì)原系統(tǒng)0的狀態(tài)反饋陣K， 。 20 直接求K陣的方法。 首先根據(jù)要求的極點(diǎn)配置，寫出希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。然后令狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 | sI (A BK) | = 希望的特征多項(xiàng)式得到n個(gè)代數(shù)方程。求解這個(gè)代數(shù)

10、方程組，即可求出K陣。 這種方法適用于低階系統(tǒng)手工計(jì)算K陣的場合。21 原系統(tǒng)是完全能控的，通過狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)任意的極點(diǎn)配置。 設(shè) K = k1 k2 則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 例4-2 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試求使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)具有極點(diǎn)為 1和 2的狀態(tài)反饋陣K。解： 因?yàn)?2而希望的特征多項(xiàng)式為 (s+1) (s+2) = s2 + 3s + 2可解得： k1 = 4，k2 = 1 K = k1 k2 = 4 1 23r1u22x1x21 y424422 具有輸入變換器和串聯(lián)補(bǔ)償器的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置(自學(xué))Gp(s) y(t)Gc(s)r(t)FKx(t) 首先根據(jù)期望的閉環(huán)傳

11、遞函數(shù)設(shè)計(jì)串聯(lián)補(bǔ)償器Gc(s)，實(shí)現(xiàn)要求的極點(diǎn)個(gè)數(shù)和要求的閉環(huán)零點(diǎn)。 然后通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)要求的閉環(huán)極點(diǎn)。 最后根據(jù)要求的閉環(huán)傳遞系數(shù)，確定輸入變換器F。25例4-3 已知原受控系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖而期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)串聯(lián)補(bǔ)償器Gc(s)、狀態(tài)反饋陣K和輸入變換器F。u(t)s1 s + 21 x2(t)x1(t) = y(t) 解：（1）設(shè)計(jì)Gc(s) 寫出受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)分別為26 與期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)相比，需要增加一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。由于閉環(huán)極點(diǎn)的位置可由狀態(tài)反饋?zhàn)杂傻匾苿?dòng)，所以從實(shí)現(xiàn)方便著眼，可選串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)為27又由期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式 (s2+14.4

12、s+100) (s +40) = s3 + 54.4s2 + 676s + 4000 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣K 設(shè)狀態(tài)反饋陣K為 K = k1 k2 k3 則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為sI (A BK)= s3 + (3.5+k3) s2 + (2.5 +2k2+ k3)s + 2k1 28K = k1 k2 k3 = 2000 311.3 50.9 (3) 確定輸入變換器FF = 4000/2 =2000311.350.920002000r(t)u=x3s1 s + 21 x2x1= y(t)s + 2.51 u29 一般除上例所述情況外，有時(shí)還可能遇到下面幾種情況： (1)需追加零點(diǎn)。如果期望

13、的閉環(huán)傳遞函數(shù)存在零點(diǎn)，例如而受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)可選為30 (2)需移動(dòng)零點(diǎn)。補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)可選為 (3)需消除零點(diǎn)。補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)可選為314.2.3 輸出反饋極點(diǎn)配置 輸出反饋有兩種方式，下面均以多輸入單輸出受控對(duì)象為例來討論。 1輸出反饋至狀態(tài)微分該受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為則輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)為AuxyCBH32 定理4-4 采用輸出至狀態(tài)微分的反饋可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件是：受控系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測。 證明 用對(duì)偶原理來證明。若（A，B，C）能觀測，則對(duì)偶系統(tǒng)（AT，CT，BT）能控。由狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理可知，(AT CTHT)的特征值可任意配置。而(AT C

14、THT)的特征值與(AT CTHT)T = A HC的特征值是相同的，故當(dāng)僅當(dāng)（A，B，C）能觀測時(shí)，可以任意配置（A HC）的特征值。證畢。 該定理也可以用證明狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理的類似步驟來證明，并且可以看出輸出至狀態(tài)微分的反饋系統(tǒng)仍是能觀測的，也未改變閉環(huán)零點(diǎn)，因此不一定能保持原受控系統(tǒng)的能控性。332輸出反饋至參考輸入 u = r H y則輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 AuxyCBHr34 定理4-5 對(duì)完全能控的受控系統(tǒng)（A，B，C），不能采用輸出線性反饋來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置。 這一點(diǎn)用單輸入單輸出系統(tǒng)就可以說明，這時(shí)輸出反饋陣H就是一個(gè)反饋放大系數(shù)。改變反饋放大系數(shù)，也就

15、是改變開環(huán)傳遞系數(shù)。由根軌跡法可知，當(dāng)改變開環(huán)傳遞系數(shù)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)只能沿該系統(tǒng)的根軌跡曲線移動(dòng)。所以閉環(huán)極點(diǎn)不能在根平面上任意配置。 如果要任意配置閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)必須加校正網(wǎng)絡(luò)。這就要在輸出線性反饋的同時(shí)，在受控系統(tǒng)中串聯(lián)補(bǔ)償器，即通過增加開環(huán)零極點(diǎn)的途徑來實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置。 354.3 解耦控制 解耦控制又稱為一對(duì)一控制，是多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)綜合理論中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。對(duì)于一般的多輸入多輸出受控系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的每個(gè)輸入分量通常與各個(gè)輸出分量都互相關(guān)聯(lián)（耦合），即一個(gè)輸入分量可以控制多個(gè)輸出分量?；蚍催^來說，一個(gè)輸出分量受多個(gè)輸入分量的控制。這給系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)帶來很大的麻煩。 所謂解耦

16、控制就是尋求合適的控制規(guī)律，使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一個(gè)輸出分量僅僅受一個(gè)輸入分量的控制，也就是實(shí)現(xiàn)一對(duì)一控制，從而解除輸入與輸出間的耦合。 實(shí)現(xiàn)解耦控制的方法有兩類：一類稱為串聯(lián)解耦，另一類稱為狀態(tài)反饋解耦。前者是頻域方法，后者是時(shí)域方法。36431 解耦的定義 若一個(gè)系統(tǒng)(A，B，C)的傳遞矩陣G(s)是非奇異對(duì)角形矩陣，即37 解耦實(shí)質(zhì)上就是實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸入只控制相應(yīng)的一個(gè)輸出，也就是一對(duì)一控制。通過解耦可將系統(tǒng)分解為多個(gè)獨(dú)立的單輸入單輸出系統(tǒng)。 解耦控制要求原系統(tǒng)輸入與輸出的維數(shù)要相同，反映在傳遞函數(shù)矩陣上就是G(s)應(yīng)是m階方陣。而要求G(s)是非奇異的，等價(jià)于要求g11(s)，g22(s)，g

17、mm(s)應(yīng)均不等于零。否則相應(yīng)的輸出與輸入無關(guān)。38432 串聯(lián)解耦yG0(s) Gc(s)Hr 一般情況下，只要G0(s)是非奇異的，系統(tǒng)就可以通過串聯(lián)補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦控制。換句話說，detG0(s)0是通過串聯(lián)補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦控制的一個(gè)充分條件。 39 例4-4 設(shè)串聯(lián)解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-9所示，其中H = I。受控對(duì)象G0(s)和要求的閉環(huán)傳遞矩陣G(s)分別為求串聯(lián)補(bǔ)償器Gc(s)。解：404142433 狀態(tài)反饋解耦1.狀態(tài)反饋解耦控制的結(jié)構(gòu)AuxyCBKrF系統(tǒng)的控制規(guī)律為 u = Fr Kx閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為 43 如果存在某個(gè)K與F陣，使GK,F(s)是對(duì)角形非奇異矩陣，就實(shí)現(xiàn)了解耦控制。關(guān)于狀態(tài)反饋解耦控制的理論問題比較復(fù)雜，下面不加證明地給出狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制的充分必要條件以及K、F陣的求法。定義兩個(gè)不變量和一個(gè)矩陣:di = minGi(s)中各元素分母與分子多項(xiàng)式冪次之差 1 可解耦性矩陣解耦階常數(shù)44 定理4-6 受控系統(tǒng)（A，B，C）通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制的充分必要條件是可解耦性矩陣E是非奇異的，即detE 0例4-5 設(shè)受控系統(tǒng)的傳遞矩陣為試判斷該系統(tǒng)是否可通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制。 解： 由解耦階常數(shù)di的定義，分別觀察G(s)的第一行和第二行，可得d1 = 1 1= 0，d2 = 2 1= 1。45故