統(tǒng)計物理與熱力學(xué)課程第六講課件

1、一、麥克斯韋速度分布律 麥克斯韋速度分布律就是氣體系統(tǒng)處于平衡態(tài)時分子數(shù)按速度的分布規(guī)律，它最早由麥克斯韋于1859年導(dǎo)出，更嚴格的推導(dǎo)由玻爾茲曼于1877年利用玻爾茲曼能量分布律得到 Z1配分函數(shù) 牛牛文庫文檔分享速度分布函數(shù)氣體中分子總數(shù)為N,速度體元dvxdvydvz內(nèi)包含分子代表點的個數(shù)為 ,則分子代表點出現(xiàn)在此體元里的概率為dN/N?？梢哉J為dN正比于體元的“體積”,即 f(vx,vy,vz)代表速度空間單位體元內(nèi)的概率,又稱為氣體分子的速度分布函數(shù) 牛牛文庫文檔分享MB應(yīng)用于平動運動 位置在r+dr(xx+dx, yy+dy, zz+dz)、動量在pp+dp(pxpx+dpx, p

2、ypy+dpy, pzpz+dpz)范圍的分子數(shù)dar,p 求：速度在v v+dv，而不問位置如何的分子數(shù)davZ1j隱含了能級連續(xù) 牛牛文庫文檔分享對空間積分,且與速度無關(guān)不考慮相對論條件對速度的限制 牛牛文庫文檔分享定積分和結(jié)果-麥克斯韋速度分布律 平衡態(tài)時近獨立的氣體系統(tǒng)內(nèi)速度分量在v+dv(vxvx+dvx, vyvy+dvy, vzvz+dvz)區(qū)間的分子數(shù) p.364附錄C定積分公式C.1 牛牛文庫文檔分享分子速度為v(vx，vy，vz)的概率密度N是氣體系統(tǒng)總分子數(shù)，m是每個分子的質(zhì)量，T是系統(tǒng)溫度f(vx,vy,vz)稱為麥克斯韋速度分布函數(shù) 單位速度空間的粒子數(shù)比例 牛牛文庫

3、文檔分享速度x分量處于vxvx+dvx區(qū)間的分子數(shù) 對vy和vz積分利用定積分式可得 牛牛文庫文檔分享類似可得 牛牛文庫文檔分享分子速度x分量在vxvx+dvx的概率 符合獨立事件同時出現(xiàn)時的概率相乘法則。分子速度vx、vy、vz三分量的分布規(guī)律是獨立的 分子速度在vx, vy, vz,vx+dvx, vy+dvy, vz+dvz的概率 牛牛文庫文檔分享氣體速度分布獨立性 牛牛文庫文檔分享應(yīng)用例：討論多普勒增寬與溫度的關(guān)系-氣體熒光線寬的依據(jù) 解 忽略自然寬度,認為靜止原子發(fā)射的一條光譜線是單一頻率的,頻率記作0,當(dāng)輻射原子和觀測者之間有相對運動時,觀測者測得的譜線頻率偏離0,這就是多普勒效應(yīng)

4、,由于輻射光波的大量原子做不規(guī)則熱運動,這使光譜線不是單一頻率,而有一定的寬度,這稱為多普勒增寬(Doppler broadening) 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享多普勒效應(yīng)（Doppler effect） 縱向多普勒效應(yīng)：當(dāng)輻射原子S相對于觀測者O在SO連線方向以速度分量vx接近觀測者時,觀測者測得的頻率近似為橫向多普勒效應(yīng)：當(dāng)輻射原子S和觀測者O間的相對速度垂直于連線SO時有橫向多普勒效應(yīng),原子熱運動引起的橫向多普勒效應(yīng)很弱可忽略 牛牛文庫文檔分享氣體發(fā)射光譜展寬頻率+d之間的光強I()d與速度分量在vxvx+dvx之間的原子數(shù)dNvx成正比，即 牛牛文庫文檔分享多普勒線寬 I()

5、降到I(0)一半處的頻率 牛牛文庫文檔分享He-Ne激光器譜線Ne原子3S2-2P46328埃譜線, N 107HzM為原子量,Ne的原子量為20,T=400K, D1.5109Hz， D N1、估計該譜線的相干時間和相干長度 =1/,L=c/2、如何測量N？ 牛牛文庫文檔分享Ar離子激光器和He-Cd金屬蒸氣激光器工作溫度很高(500-1500K)Ar離子: D6109HzHe-Cd金屬蒸氣: D1.8-4109Hz固體材料的熒光展寬主要由晶格熱運動和晶格缺陷引起,一般要更寬室溫下的紅寶石6943埃, D2.41011Hz激光器的譜線寬度可小于1000Hz小于N 107Hz 牛牛文庫文檔分享

6、反推星體溫度此式可用于測量星體的溫度 牛牛文庫文檔分享多普勒效應(yīng)奧地利物理學(xué)克里斯琴約翰多普勒(Christian Johann Doppler)1842年提出愛德文哈勃(Edwin Hubble)根據(jù)遠離銀河系的天體發(fā)射的光線頻率紅移現(xiàn)象得出宇宙正在膨脹的結(jié)論激光陷阱(Laser Trapping)光學(xué)粘膠(Optical Molass) 牛牛文庫文檔分享宇宙學(xué)紅移與宇宙膨脹遙遠的星系在可見光波段的光譜 牛牛文庫文檔分享航空安全 牛牛文庫文檔分享速度空間球坐標系的體元 牛牛文庫文檔分享直角坐標系與球坐標系 vx，vy，vz為軸的直角坐標系以v、為“坐標”的球坐標系 牛牛文庫文檔分享坐標和體元

7、的變換 牛牛文庫文檔分享二、麥克斯韋速率分布律從速度分布律推導(dǎo)速率分布律 球坐標中速度在vv+dv，+d，+d的分子數(shù) 牛牛文庫文檔分享麥克斯韋速率分布律對和積分 速率在vv+dv方向任意的分子數(shù) 牛牛文庫文檔分享分子速率處于v概率密度 F(v)稱為麥克斯韋速率分布函數(shù) 注意比較 牛牛文庫文檔分享麥克斯韋速度與速率分布FM(v)的含義是速度空間單位厚度球殼內(nèi)的概率，從而在厚度為dv的球殼內(nèi)的概率為FM(v)dv 牛牛文庫文檔分享不同溫度下分子速率分布 速率分布函數(shù)與熱力學(xué)溫度T有關(guān),與分子質(zhì)量m有關(guān) 溫度低時,大多數(shù)分子速率較小 只是氣體分子質(zhì)量m愈小,曲線的峰值位置愈在v大處 F(v) 牛牛

8、文庫文檔分享分子速率的三個統(tǒng)計值(1)最概然速率(the most probable speed) vp- F(v) 極大值極值條件 牛牛文庫文檔分享(2)平均速率v的平均值 牛牛文庫文檔分享3)方均根速率(the root-mean-square speed) 與下式完全一致 牛牛文庫文檔分享分子速率的三個統(tǒng)計值 很接近室溫時，它們的量級一般為每秒幾百米 分子速率為這些值的概率密度都較大平均速率用于計算與分子碰撞有關(guān)的量；方均根速率與平均平動動能直接有關(guān)；最概然速率可用來約化分子速率 牛牛文庫文檔分享計算0C(T=273K)下N2,O2,H2的vrms0C(T=273K)下空氣中聲速為332

9、m/s 牛牛文庫文檔分享氣體速率分布 牛牛文庫文檔分享例(a)計算地球表面處氫氣和氮氣的方均根速率，將它們和地球表面處物體的逃逸速度比較。設(shè)地球表面溫度為290K；(b)討論方均根速率和逃逸速度對行星大氣的影響。 牛牛文庫文檔分享解 (a) 地球表面處T290K 牛牛文庫文檔分享逃逸速度物體速度等于逃逸速度時,物體恰能運動到無窮遠處,因而動能和重力勢能之和等于零 地球質(zhì)量 牛牛文庫文檔分享比較(b)一個物體能脫離地球的必要條件是其速度大于、等于逃逸速度 牛牛文庫文檔分享對于氣體,分子的熱運動使氣體有脫離地球的傾向,重力場的作用阻礙氣體從地球逃逸。 比值小時,有不可忽視比率的分子速率大于Ve(E

10、),不斷有氣體分子從地球逃逸,長時間的積累,會使這種氣體在大氣中的分壓減小,甚至降為零原始地球大氣的主要成分為氫,而現(xiàn)在地面附近大氣中氫的體積百分比僅為510-5,可見K=5.9不足以保留這種氣體。對地球大氣中氮氣的來源目前不很清楚,但現(xiàn)在地球大氣的主要成分為氮氣這一點說明,K=22足以使這種氣體長期保留在大氣中 牛牛文庫文檔分享行星大氣中逃逸速率與方均根速率之比 月球和水星根本沒有大氣，火星有0.008atm的稀薄大氣，其中主要是CO2(95.6)，其余是N2(2.7)、Ar(1.6)等。金星的大氣達90atm之多，其中主要是CO2(96.4)，其余是N2(3.4)、水汽(0.14)等。地球大氣中有大量的N2(78)、O2(21)、Ar(1)和數(shù)量不定的水汽。木星和土星基本上是氣體星球，主要成分是H2和He。我們大體上可以在圖中K9-10處畫一條橫線，以它作為行星大氣成分逃逸與否的界限還是比較符合實際的 牛牛文庫文檔分享