微積分在中學數(shù)學教學中的應用

1、PAGE 微積分在中學數(shù)學教學中的應用摘 要微積分是高中數(shù)學新增加的內容，也是大學數(shù)學的重要的基礎課程，內容包括導數(shù)和積分兩個重要概念以及它們的應用；微積分是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，提供以直代曲，把非線性問題轉化為線性問題解決的思維方式，在人類思想文化的發(fā)展中占有特殊的地位.在高中階段開設部分微積分的內容，不但是社會、經(jīng)濟、科學文化發(fā)展在數(shù)學課程上的要求，也是實現(xiàn)高中教育性目標和發(fā)展性目標的要求.微積分的內容，在我國高中數(shù)學課程內容中的選擇和教學要求中，沒有得到它應有的體現(xiàn)，難以滿足我國社會、經(jīng)濟、科學文化高速的發(fā)展對它的要求和體現(xiàn)微積分自身的價值.對高中微積分的研究多數(shù)是中學是否開設微積分以及開設微

2、積分的深度和廣度的探討.論文立足于教材全日制普通高級中學教科書 數(shù)學第三冊（選修22）（人民教育出版社 ），從微積分產生的時代背景和歷史意義出發(fā)，簡要分析了國內外對微積分教學的研究現(xiàn)狀和意義，論述了高中開設微積分知識的必要性和可行性，通過對高中微積分課程的主要內容的分析和研究，結合現(xiàn)代教育教學理論，歸納并總結了微積分在高中數(shù)學教學中的地位、作用和應用.并希望這些意見和建議對高中數(shù)學微積分的教學和發(fā)展具有一定的積極意義.關鍵詞：微積分；導數(shù)；應用目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc371939240 1引言 PAGEREF _Toc371939240 h 1

3、HYPERLINK l _Toc371939241 2文獻綜述 PAGEREF _Toc371939241 h 2 HYPERLINK l _Toc371939242 2.1國內外研究現(xiàn)狀 PAGEREF _Toc371939242 h 2 HYPERLINK l _Toc371939243 2.2國內外研究現(xiàn)狀評價 PAGEREF _Toc371939243 h 2 HYPERLINK l _Toc371939244 2.3提出問題 PAGEREF _Toc371939244 h 2 HYPERLINK l _Toc371939245 3微積分在中學數(shù)學教學中的應用 PAGEREF _Toc

4、371939245 h 3 HYPERLINK l _Toc371939246 3.1微積分與中學數(shù)學的聯(lián)系 PAGEREF _Toc371939246 h 3 HYPERLINK l _Toc371939247 3.2微積分在中學數(shù)學中的地位和作用 PAGEREF _Toc371939247 h 3 HYPERLINK l _Toc371939248 3.3微積分在中學數(shù)學解題中的應用 PAGEREF _Toc371939248 h 3 HYPERLINK l _Toc371939249 3.3.1導數(shù)在求曲線的切線中的應用 PAGEREF _Toc371939249 h 3 HYPERLI

5、NK l _Toc371939250 3.3.2導數(shù)在不等式證明中的應用 PAGEREF _Toc371939250 h 4 HYPERLINK l _Toc371939251 3.3.3導數(shù)在恒等式證明中的應用的 PAGEREF _Toc371939251 h 5 HYPERLINK l _Toc371939252 3.3.4導數(shù)法在求函數(shù)極值、最大（?。┲抵械膽?PAGEREF _Toc371939252 h 7 HYPERLINK l _Toc371939253 3.3.5導數(shù)在幾何上的應用 PAGEREF _Toc371939253 h 8 HYPERLINK l _Toc37193

6、9254 3.3.6導數(shù)在方程解的問題上的應用 PAGEREF _Toc371939254 h 9 HYPERLINK l _Toc371939255 3.3.7導數(shù)在數(shù)列問題中的應用 PAGEREF _Toc371939255 h 9 HYPERLINK l _Toc371939256 3.3.8運用微分學知識研究函數(shù)圖像4 PAGEREF _Toc371939256 h 10 HYPERLINK l _Toc371939257 4定積分在中學數(shù)學中的應用 PAGEREF _Toc371939257 h 10 HYPERLINK l _Toc371939258 4.1定積分在求曲邊形面積上的

7、應用 PAGEREF _Toc371939258 h 10 HYPERLINK l _Toc371939259 4.2積分在不等式證明中的應用 PAGEREF _Toc371939259 h 11 HYPERLINK l _Toc371939260 4.3定積分在組合恒等式證明中的應用 PAGEREF _Toc371939260 h 11 HYPERLINK l _Toc371939261 5提高現(xiàn)代數(shù)學教師數(shù)學修養(yǎng)的必要性、可行性 PAGEREF _Toc371939261 h 12 HYPERLINK l _Toc371939262 5.1提高現(xiàn)代數(shù)學教師修養(yǎng)的必要性 PAGEREF _T

8、oc371939262 h 12 HYPERLINK l _Toc371939263 5.2提高現(xiàn)代數(shù)學教師修養(yǎng)的可行性 PAGEREF _Toc371939263 h 12 HYPERLINK l _Toc371939264 6結論 PAGEREF _Toc371939264 h 12 HYPERLINK l _Toc371939265 6.1主要發(fā)現(xiàn) PAGEREF _Toc371939265 h 12 HYPERLINK l _Toc371939266 6.2啟示 PAGEREF _Toc371939266 h 12 HYPERLINK l _Toc371939267 6.3局限性 PA

9、GEREF _Toc371939267 h 12 HYPERLINK l _Toc371939268 6.4努力方面 PAGEREF _Toc371939268 h 12 HYPERLINK l _Toc371939269 參考文獻 PAGEREF _Toc371939269 h 13PAGE 161引言微積分的產生具有悠久的歷史淵源.在中國，公元前4世紀前，恒團，公孫龍等提出的“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”；公園3世紀劉徽的“割圓術”和公元56世紀祖沖之、祖橫對圓周率、面積和體積的研究（祖沖之在劉徽割圓術的基礎上首先地計算了地球的體積），都包含著微積分概念的萌芽.在歐洲，公元前3世紀阿基米

10、德對面積及體積的進一步研究（窮竭法），也都包含著上述的萌芽.歐洲文藝復興之后，資本主義生產方式興起，生產力有了較大發(fā)展.到了16世紀，由于航海、機械制造以及軍事上的需要，運動的研究成了自然科學的中心議題.于是在數(shù)學中開始研究各種變化過程中的變化的量間的依賴關系，變量的引進，形成了數(shù)學中的轉折點.在伽利略等人的數(shù)學著作中，都包含著微積分的初步想法.到了17世紀，生產的發(fā)展提出了許多技術上的新要求，而要實現(xiàn)技術要求必須有相應的科學知識，例如流體力學、機械力學等都有了突飛猛進的發(fā)展.在資本主義社會的商品生產中，貿易活動占有重要的地位，與此相關的海運事業(yè)迅速發(fā)展，向外擴張的軍事需要，也促進了航海的發(fā)展

11、.航海需要精確而方便地確定位置（經(jīng)緯度）、預報氣象，天文學因而發(fā)展起來，所有這些發(fā)展都對數(shù)學提出了新的要求，這些要求變現(xiàn)為一些急需解決的問題，可以分為一下四種類型：（1）球運動物體的瞬時速度和加速度.（2）已知曲線求其切線.（3）已知函數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值.（4）求曲線的長度.這些問題都是17世紀時，其他科學，尤其是天文學和力學極其某些技術科學所提出的基本數(shù)學問題.總之，到17世紀前葉，已經(jīng)積累了許多關于微積分思想的成果，但微積分作為一門學科來發(fā)展，還是由于牛頓和萊布尼茨總結了諸多數(shù)學家的工作之后，分別獨立建立了微積分學，他們建立微積分的出發(fā)點都是直觀無窮小量.牛頓在數(shù)學上最卓越的貢獻是創(chuàng)

12、建微積分學，17世紀早期，數(shù)學家們已經(jīng)建立起一系列求解無限小問題（諸如曲線的切線、曲率、極值，求運動的瞬時速度以及面積、體積、曲線長度以及物體重心的計算）的特殊方法.牛頓超越前人的功績在于將這些特殊的技巧歸結為一般的算法，特別是確立了微分與積分的逆運算關系（微積分基本定理）.微積分的產生具有深遠的歷史意義.一方面，它極大地促進了數(shù)學科學的發(fā)展，豐富了數(shù)學科學的思想寶庫，隨著微積分的理論基礎逐步完善，以微積分為基礎的數(shù)學分析科學得到空前發(fā)展，建立了多種數(shù)學分支，如微分方程、積分方程、復變函數(shù)、拓撲學、流形等.另一方面，微積分在力學、天文學以及物理和其它科學技術中的應用，極大地促進了以上科學的發(fā)展

13、.2文獻綜述2.1國內外研究現(xiàn)狀國內，由于歷史的原因，我國對微積分的教學研究和把微積分內容引入課堂相對比較滯后.自從1961年的大綱將微積分初步的知識納入我國中學數(shù)學以后，廣大的教育工作者在不同的時期，從不同的角度，利用不同的方法，對高中階段微積分初步的教學目標、課程目的、內容選取、教材編排以及教學方法等一系列的問題進行了一定的理論探索和實踐研究，取得了一定的成果.早在1983年，四川的孟季和老師就針對1978年的高中數(shù)學大綱編著了中學微積分教材教法1一書，對當時大綱中所列出的中學微積分內容進行了教學和教法的探討.而在現(xiàn)階段，大連教育學院的孫宏安教授、西北師范大學附屬中學教師高維縱和揚州五中的

14、特級教師袁桐等人，也分別從不同的角度對微積分課程內容的選擇、教學和教法等進行了有益的探索.在這一研究領域中有影響的另外一些學者和研究集體，也都從不同的角度和層面進行了廣發(fā)而深入的研究.這些集體和個人的研究中，有一些還是國家和地方教育研究的重要課題.可見，高中微積分課程和教學的探索是一個重要的研究領域.國外，對微積分的教學研究較早，并且微積分的知識進入中學課本也較國內超前.早在20世紀初，德國著名數(shù)學家F克萊因就主張微積分知識要進入中學.20世紀50年代末在美國興起的“新數(shù)學”運動及后來60年代末在法國進行的“現(xiàn)代數(shù)學教育改革”運動，他們的主張之一就是要求中小學數(shù)學課程內容體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，將

15、微積分知識納入中學數(shù)學課程.進入上個世紀80年代，各國又掀起了新一輪的微積分課程的改革.美、英、法、日、俄羅斯、韓國和我國的臺灣地區(qū)等國家和地區(qū)都相繼出版了新的針對高中階段學生學習的微積分教材.例如，日本，文英堂，竹之內修，高等學校新編，數(shù)學II（1998）；我國臺灣地區(qū)高中三年級學習使用的理科數(shù)學上、下冊（1988）；英國，劍橋大學出版社SMP教材系列，純數(shù)學（1997）；俄羅斯出版了由吉洪諾夫擔任科學指導，阿利莫夫等主編的高中“代數(shù)與分析初步”（2000）等新編高中微積分教材，都在課程內容的選擇、編制和教學上進行了有益的探索.2.2國內外研究現(xiàn)狀評價文獻分別就微積分在中學數(shù)學應用中的重要性

16、及微積分在求導和曲邊形面積的計算中的意義舉例做了說明，文獻中主要闡述微積分在中學數(shù)學解題中的幾種應用方法，沒有全面的介紹中學數(shù)學中常用的微積分數(shù)學思想.而且文獻中對微積分在中學數(shù)學中怎樣應用的問題提及較少，對學生在應用微積分時存在的問題也未給出詳細說明.2.3提出問題在一些發(fā)達的省市，微積分已納入高考，對微積分的進一步學習迫在眉睫，但就部分高中生而言，他們已具備較強的學習能力，數(shù)學學習過程中會根據(jù)教師的指導，除學好基礎知識外，還會體會微積分的思想，總結微積分在各方面的應用.但對普通高中多數(shù)學生，要教好掌握高中數(shù)學知識尚且困難，更談不上對微積分的具體應用有更進一步的了解.因此，除對問題解決中應用

17、微積分外，還要對應用微積分過程中學生可能遇到的難點及解決辦法作探討，包括了解中學數(shù)學與微積分的聯(lián)系、微積分在中學數(shù)學中的地位和作用等.3微積分在中學數(shù)學教學中的應用3.1微積分與中學數(shù)學的聯(lián)系微積分是高三數(shù)學第三冊（選修22）的進一步延伸和發(fā)展，而這恰是高三學生步入大學需要繼續(xù)學習微積分的基礎.作為學習和研究數(shù)學的步驟，無疑是要先學習和掌握初等的微積分知識，進入大學后才能更好的學習和應用微積分.反之，學習高等數(shù)學中的微積分能加深對初等數(shù)學中微積分的理解和掌握，可以開闊思路、提高數(shù)學修養(yǎng)和解決問題的能力.但由于中學數(shù)學知識幾乎很難和高等數(shù)學知識直接銜接，使不少大一新生一接觸到“數(shù)學分析”時，就對

18、數(shù)學專業(yè)課產生了畏懼、抵觸情緒.而且高等數(shù)學中的微積分理論與中學教學又嚴重脫節(jié)，許多大學師范畢業(yè)生對如何運用微積分理論指導中學數(shù)學感到迷茫；毫無頭緒.為了解決上述長期存在的問題，研究微積分在中學數(shù)學教學中的應用是一項有效的措施.3.2微積分在中學數(shù)學中的地位和作用微積分在高中階段只從幾何意義的角度出發(fā)講了導數(shù)、微分、定積分三部分的內容，為中學生進入大學埋下伏筆，微積分在中學數(shù)學解題中提供了新的方法，同時也提供了重要的思想，為中學生以后進一步學好微積分打下基礎在中學數(shù)學中我們可以用微積分的一些觀點引伸出解初等數(shù)學問題的某些技巧, 這些初等的方可以為中學生所接受, 而應用這些方法都可以將表面上看來

19、完全無關的初等數(shù)學問題用幾乎相同的方法解出.同時也可以對中學數(shù)學中的難題證明起到一些簡化的作用.微積分的數(shù)學思想方法不僅在初等數(shù)學中有廣泛的應用, 而且用微積分的觀點往往可以揭示數(shù)學問題的本質, 從而使學生不僅知其然而且知其所以然.3.3微積分在中學數(shù)學解題中的應用3.3.1導數(shù)在求曲線的切線中的應用在中學教材里，由于初等數(shù)學知識本身的極限性，對切線的定義是建立在直線與圓和直線與圓錐曲線只有之個交點的基礎上的，并且切線是不能穿過切線的.因此，求曲線的切線方法一般都是將直線方程與曲線方程組成方程組，消去，化成關于的一元二次方程，利用判別式來求解的.現(xiàn)在我們知道曲線上某點處的切線是曲線過該點的割線

20、在這一點的極限位置，即只要曲線在這點的極限存在并連續(xù)，那么它的切線就存在.并且切線可以通過切點穿過這條曲線，即一條切線除切點外，還可能與這條曲線有其它的公共點，因此我們可以用導數(shù)的方法求曲線的切線.例1(2013年福建卷 理科)已知函數(shù)，求曲線在點處的切線方程.解：函數(shù)的定義域為，因為 ，所以曲線在點處的切線方程為：即因此，用導數(shù)的方法不僅修正了切線的定義，還可以用來求一些較為復雜的曲線的切線.3.3.2導數(shù)在不等式證明中的應用不等式不但是研究高等數(shù)學的重要工具，包括解不等式和不等式的證明兩大部分內容.相對來說，前者較易，后者較難.雖然在中學教材中也介紹了不等式證明的一些常用方法，如：比較法、

21、分析綜合法、反證法、數(shù)學歸納法等，但這些方法畢竟帶有局限性，對于一些比較復雜的問題往往就不起作用，而且還有這些情況，題目略有不同，證明方法就迥然不同.總之，證明不等式是方法很多，要得出確定的方法幾乎是不可能的.因此，不等式是證明在中學數(shù)學中是一個顯著的難點.微積分卻為不等式的明提供了強有力的方法和工具.下面通過例題分析說明利用導數(shù)證明不等式的基本方法和規(guī)律.例2已知函數(shù)，求證：當時，恒有證明：構造函數(shù)，從其導數(shù)入手即可證明：當時，即在上為增函數(shù)當時，即在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間于是函數(shù)在上的最大值為：因此，當時，即 （右面得證）現(xiàn)證左面，令，則：當 ，即在上為減函數(shù)，在上

22、為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為：，當時，即：，綜上可知，當時，有：從此例可以看到，導數(shù)作為證明不等式的工具，方法簡單、實用.而且滲透了很強的數(shù)學思想.3.3.3導數(shù)在恒等式證明中的應用的恒等式的證明在數(shù)學的各個分支幾乎都要用到，這里就恒等式的三種情況（組合恒等式、代數(shù)恒等式、三角恒等式）利用導數(shù)的方法來證明更加簡便.例3求證解 方法一 利用組合數(shù)公式 ，則這種方法簡單，但是技巧強，若想不到這樣或者遺忘公式，就無法作答.方法二 由二項式定理展開得：由冪函數(shù)的導數(shù)公式，對上式兩邊求導得：令，即可得：利用微積分中導數(shù)這種運算工具不僅能使問題變得簡單，更重要的是可以優(yōu)化解題過程，開闊學生視野，發(fā)展學生

23、思維.例3證明證明：例4 ,證明：令,則當時，故在內，令，則故，所以在內，又，所以當時在三角學中，有時從關于正（余）弦的恒等式出發(fā)，通過求導，即可得到有關余（正）弦的相應很等式恒等式.3.3.4導數(shù)法在求函數(shù)極值、最大（?。┲抵械膽靡?、求函數(shù)極值的方法3一般地，求函數(shù)的極值的方法是：解方程，當時：如果在附近的左側，右側，那么是極大值；如果在附近的左側，右側，那么是極小值.二、求函數(shù)最值的方法我們知道，如果在閉區(qū)間上連續(xù)，那么必可在上取得最大值和最小值.求最值的方法是：先求出在上的所有極值點，設，則如果確知的最值存在的話，這個方法也適用于開區(qū)間和無窮區(qū)間.例5求的極值解：因為，所以令，解得或.

24、下面分兩種情況討論：當時，或；當時，當變化時，的變化如下表：+單調遞增單調遞減單調遞增因此，當時，有極大值，極大值為當時，有極小值，極小值為例6求在上的最大值與最小值.解：由例4可知，在上，當時，有極小值，并且極小值為又由于，因此函數(shù)在上的最大值是4，最小值是.通過這兩個例題我們看到，求函數(shù)極大（?。┲岛妥畲螅ㄐ。r，運用導數(shù)在計算過程中簡單快捷.通過例題我們看到，初等方法只能處理一些特殊問題，有很大的局限性，并且往往需要一定的技巧，還容易遺漏一些極值點，導數(shù)法不但方法簡單、統(tǒng)一，易于掌握和運用，而且不會漏掉極值點，更重要的是它的應用范圍比初等方法廣得多.3.3.5導數(shù)在幾何上的應用3.3.6

25、導數(shù)在方程解的問題上的應用利用導數(shù)判定單調性，可研究方程根的個數(shù)問題.例 若，則方程在上有多少根？ 解：設，則， 當且時， 故在上單調遞減，而在與處都連續(xù)，且， 故在上只有一個根3.3.7導數(shù)在數(shù)列問題中的應用導數(shù)是解決函數(shù)問題的有力工具, 更為數(shù)學解題注入了新的活力. 由于數(shù)列可看作特殊的函數(shù), 所以自然可聯(lián)想、嘗試、應用導數(shù)知識解決數(shù)列問題.例已知數(shù)列滿足：，且，求證：證明：構造函數(shù)，則：當時，所以在上是增函數(shù).因為，即：故時，原不等式成立.設時，原不等式成立，即因為在上是增函數(shù)，所以又，所以，即即時，原不等式成立，故：當時，導數(shù)在數(shù)列中的應用還遠不止這些，如利用導數(shù)還可以確定數(shù)列的最大項

26、和最小項、研究數(shù)列的增減性、求數(shù)列的前項和等，但基本思想方法是一樣的，在這里就不一一例舉.3.3.8運用微分學知識研究函數(shù)圖像4函數(shù)圖像的直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個函數(shù)的整體情況及其特性的時候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖形學微分學之前，用描點法作圖是十分必要的，不過它有缺陷，帶有一定的盲目性、點取得不夠多也許就會得到一個錯誤的圖像等而運用微分學作出的函數(shù)圖像，就能克服描點法作圖的缺點，可有效地對函數(shù)的增減性、極值點、凹凸性等重要性態(tài)和關鍵點作出準確的判斷一般來說，討論函數(shù)圖像的步驟是： 例4定積分在中學數(shù)學中的應用定積分是新課標中選修22新加的內容

27、，課標對定積分的定位如下：“（1）通過求曲邊梯形的面積、變力做功等實例，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎；（2）通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價值可見，高中課程學習定積分，重在粗淺地領略其主要思想和基本方法，從一些實例中初步認識定積分的工具作用縱觀這幾年新課改地區(qū)高考主要在定積分的求法，定積分的簡單應用尤其是利用定積分求面積上作文章4.1定積分在求曲邊形面積上的應用定積分的幾何意義3：如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示直線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.例(2013年北京卷理科) 求直線過拋物線的焦點且與軸垂直，則與所圍成的圖形的面積等于 解析：本題考查拋物線的性質，定積分的計算.利用微積分基本定理求解.因為的方程是，所求面積等于一個矩形的面積減去一個積分值，即例4.2積分在不等式證明中的應用利用導數(shù)之所以能證明不等式，主要是因為導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調性，可以求函數(shù)的極值和最值，此外還可以應用微分中值定理等等.而積分與微分互為逆運算，積分本身又具有單調性，此外也有積分中值定理，再加上積分明顯的幾何直觀，使積分在不等的證明中也有廣泛的應用.例 比較和的大小解： 而當時，有由積分單調性得 4.3定