利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)卷，壓軸題很多是數(shù)列型不等式，其中通常需要證明數(shù)列型不等式，它不但可以考查證明不等式和數(shù)列的各種方法，而且還可以綜合考查其它多種數(shù)學(xué)思想方法，充分體現(xiàn)了能力立意的高考命題原則。處理數(shù)列型不等式最重要要的方法為放縮法。放縮法的本質(zhì)是基于最初等的四則運(yùn)算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點(diǎn)是能迅速地化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到事半功倍的效果；其難點(diǎn)是變形靈活，技巧性強(qiáng)，放縮尺度很難把握。對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，在面對(duì)這類考題時(shí)，往往無(wú)從下筆本文以數(shù)列型不等式壓軸題的證明為例，探究放縮法在其中的應(yīng)用，希望能拋磚引玉，給在黑暗是摸索的娃帶來(lái)一盞明燈。一、

2、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應(yīng)用1、裂項(xiàng)放縮法：放縮法與裂項(xiàng)求和的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造裂項(xiàng)求和，用于解決和式問(wèn)題。裂項(xiàng)放縮法主要有兩種類型：（1）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，在求和時(shí)消去中間的項(xiàng)。STni1例1設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)的和Sn3。2i41232n13nan3，n1,2,3,2n。設(shè)T，n1,2,3,nn，證明：32證明：易得S(2n11)(2n1),Tnn32n311()，2(2n11)(2n1)22n12n11T3(221nnii1i11131111)(i12i1122112212212311)2n12n11=3113()22112n112點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是將

3、2n11裂項(xiàng)成(2n11)(2n1)2n12n11，然后再求和，即可達(dá)到目標(biāo)。（2）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成n(n3)項(xiàng)之和，然后再結(jié)合其余條件進(jìn)行二次放縮。例2已知數(shù)列a和b滿足a2,a1a(ann1nnn11)，ba1，數(shù)列b的前n和為S，nnnnTSS；（I）求證：Tn2nnn1T；（II）求證：當(dāng)n2時(shí)，Sn2n7n1112。T1n2n3證明：（I）Tn1n1111(2n2n1n21)2n2n12n2n1(2n1)(2n2)11110Tn1Tn2n1（II）n2,SSS2n2n2n1S2n1S2n2SSST211T2n2TTS211學(xué)習(xí)必備歡迎下載n212由（I）可知T遞增，從而T2n

4、1T2n217T，又T,S1,T，211212212ST2n2n1T2n2717n11TTS(n1)TTS(n1)1211211即當(dāng)n2時(shí)，S2n7n1112。n點(diǎn)評(píng)：此題（II）充分利用（I）的結(jié)論，T遞增，將S裂成S2n2nS2n1S2n1S2n2SSS的211和，從而找到了解題的突破口。2、迭乘放縮法：放縮法與迭乘法的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造迭乘形式，相乘時(shí)消去中間項(xiàng)。用于解決積式問(wèn)題。例3已知數(shù)列a的首項(xiàng)為an13,點(diǎn)a,ann1在直線3xy0(nN*)上。若cloga32(nN*),證明對(duì)任意的nN*，不等式(11ccc13n13n13n3n13n1c3n23n23n13n3n211)(1

5、+)(1+)33n1恒成立n3n12n證明：c3n2，(1+)3()3nn143n1所以(11c11)(1+)c2(1+1cn47)33n23n1即(11c11)(1+)c2(1+1)33n1。cn點(diǎn)評(píng)：此題是證明積式大于根式，由于左邊沒有根式，右邊是三次根式，立方后比較更容易處理。(1+1cn3n1)3()3可以看成是三個(gè)假分式的乘積，保持其中一項(xiàng)不變，另兩項(xiàng)假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加1，加3n22，則積變小，(3n1例4已知數(shù)列x滿足，x1n1,nN*，證明：|x21x653n13n3n13n13n1，而通項(xiàng)式為)3的數(shù)列在迭乘時(shí)剛好相消，3n23n23n13n3n23n2從而達(dá)到目標(biāo)。3、迭代

6、放縮法：通過(guò)放縮法構(gòu)造遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，從而求解。112,xx|()n1。n1n1nn證明：當(dāng)n1時(shí)，|xn1x|xx|n2116，結(jié)論成立。n11x21x2當(dāng)n2時(shí)，易知0 xn11,1xn12,xn1115(1x)(1x)(1)(1x)2xnn1n1n1n1(1x)(1x)55565|xn1x|n11|1x1xnn1nn1|xx|22nn1|xx|()2|xxnn1nn1|212()n1|xx|()n121點(diǎn)評(píng)：此題將目標(biāo)式進(jìn)行放縮得到遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，找到解題途徑。4、等比公式放縮法：先放縮構(gòu)造成等比數(shù)列，再求和，最后二次放縮實(shí)現(xiàn)目標(biāo)轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)必備歡迎下載a1a例5已知數(shù)列a

7、的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足an11的前n項(xiàng)和為x，且f(x)x2nnn（I）數(shù)列b和a的通項(xiàng)公式；nn2,a12ann1n1n(nN),記bna2a，數(shù)列bnnn（II）求證：n1f(x)f(x)f(x)122f(x)f(x)23f(x)2n1nn(nN)2112n2略解：（I）b2n，a，f(x)2n1。nnn2(2n)22f(x)證明：（II）f(x)2n12n11n,f(x)2n111n1f(x)f(x)21f(x)f(x)23f(x)2n1nnf(x)2n111nf(x)2n1122(2n11)n11111,22n1(2n12)22n1f(x)f(x)f(x)f(x)22223f(x)21

8、f(x)n11n(23n11n11n1)=(1)2n1222n2n12f(x)f(x)f(x)f(x)1223f(x)nnf(x)2n12n11n1n1反思：右邊是，感覺是n個(gè)的和，而中間剛好是n項(xiàng)，所以利用；左邊是2n112222不能用2222同樣的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，想到2n1n1n11(f(n)(f(n)0)，試著考慮將縮小成c(c是等比數(shù)nn列），從而找到了此題的突破口。5、二項(xiàng)式定理放縮法：在證明與指數(shù)有關(guān)的數(shù)列型不等式時(shí)，用二項(xiàng)式定理放縮特別有效。二項(xiàng)式定理放縮法有兩種常見類型：（1）部分二項(xiàng)式定理放縮法：即只在式子的某一部分用二項(xiàng)式定理放縮。例6已知數(shù)列an滿足aa(a2)，an1(4n

9、6)a4n102n1（）證明數(shù)列n是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)an；a22n11n（nN）（）如果a1時(shí)，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，試求出Sn，并證明當(dāng)n3時(shí)，有11SS341Sn12110略解：an(a2)(2n1)32n12（nN*），則S(2n1)(2n1)n學(xué)習(xí)必備歡迎下載2nC0C1Cn1Cn，nnnn當(dāng)n3時(shí)，2nC0C1Cn1Cn2(n1)，則2n12n1nnnnSS(2n1)(2n1)，則1nn1111()(2n1)(2n1)22n12n1因此，1S31111111111111()()()()SS257792n12n1252n1104n反思：為什么會(huì)想到將111放縮成？聯(lián)想到S(2

10、n1)(2n1)(2n1)(2n1)nn(n1)n1101112231111111，因?yàn)橐C明，而SS341Sn是一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)的和，最后通過(guò)放縮很可能變成1111337()f(n)(fn0的形式，而應(yīng)是由1010S放縮后裂項(xiàng)而成，335235S11111111111()，()，此時(shí)剛好得到S(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)22n12n1n11SS341Sn1111()，接下來(lái)就要處理2n12n1，想到用二項(xiàng)式定理。252n110（2）完全二項(xiàng)式定理放縮法：整個(gè)式子的證明主要借助于二項(xiàng)式定理。例7設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，且對(duì)任意的nN*，都有a0,Snnnna3a312a3.n2n1。

11、(I)求a,a的值；（II）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式a；（III）證明：an12nn2n1略解：（I）（II）a1,a2，an；12nanan2n證明（III）(1x)nC0C1xC2x2C3x3nnnn,(1x)nC0C1xC2x2C3x3,nnnn(1x)n(1x)n2C1x2C3x32C5x5nnn2C1x2nx，令xn12n，則有(112n2n2n1。1)n(1)n1，從而(2n1)n(2n)n(2n1)n，即an2n1anan2n點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理結(jié)合放縮法證明不等式時(shí)，一定要緊密結(jié)合二項(xiàng)式展開式的特點(diǎn)，聯(lián)系需證不等式的結(jié)構(gòu)，通過(guò)化簡(jiǎn)、變形、換元等手段使問(wèn)題得以解決。6、比較放縮法：比較

12、法與放縮法的結(jié)合，先進(jìn)行比較（作差或作商），再進(jìn)行放縮。例8在單調(diào)遞增數(shù)列a中，a1，a2，且an122n1,a2n,a2n1成等差數(shù)列，a2n,a2n1,a2n2成（III）設(shè)數(shù)列1an2(n1)(n3)82(n2)2,n為偶數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載等比數(shù)列，n1,2,3,（I）分別計(jì)算a，a和a，a的值；3546（II）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式（將a用n表示）；nn4n的前n項(xiàng)和為S，證明：S，nN*nnn,n為奇數(shù)9略解：（I）（II）得a3，a，a6，a8a3456n8n8,n為偶數(shù)a312證明：（III）由（II），得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a81(n1)(n3),n為奇數(shù)(n2)214411顯然，S；1

13、18(n2)2n2Sn14n111n2244246621n(n2)14n88nn2n21111114n24244646n(n2)n(n2)n2111111114n2446688114n2n2n20；n1當(dāng)n為奇數(shù)（n3）時(shí)，Sn4n14n4(n1)84nSn2an2(n1)2(n1)(n3)n2n40.n12n8n1(n1)(n3)n2(n1)(n2)(n3)n2n2綜上所述，Sn4n4n0，即Sn，nN*例9設(shè)函數(shù)f(x)x2bln(x1)，其中b0證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln1點(diǎn)評(píng)：此題在作差比較中實(shí)施裂項(xiàng)放縮，進(jìn)而得到最后結(jié)果小于0，從而得證。7、單調(diào)函數(shù)放縮法：根據(jù)題目特征，構(gòu)造特

14、殊的單調(diào)函數(shù)，再進(jìn)行放縮求解。成立111nn2n3都分析：欲證上述結(jié)論，直接作差比較ln1(111nn2n3)，無(wú)從下手；接著想到令g(n)ln1(nnn11123)，判斷函數(shù)g(n)(nN*)的單調(diào)性，由于定義域?yàn)檎麛?shù)，不能用導(dǎo)數(shù)，只能計(jì)算g(n1)g(n)，其結(jié)果還是很難處理；聯(lián)想到數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，將命題加強(qiáng)，令1x(0，)，n學(xué)習(xí)必備歡迎下載判斷函數(shù)h(x)x3x2ln(x1)(x0)的單調(diào)性，如果在(0,)單調(diào)，則函數(shù)g(n)也單調(diào)。13x3(x1)2解：令函數(shù)h(x)x3x2ln(x1)x3x2ln(x1)，則h(x)3x22xx1x1，當(dāng)x0時(shí)，h(x)0，所以函數(shù)h(x)

15、在0，上單調(diào)遞增，x(0，)時(shí)，恒有h(x)h(0)0，即x2x3ln(x1)恒成立(0，)，則有l(wèi)n1故當(dāng)x(0，)時(shí)，有l(wèi)n(x1)x2x3對(duì)任意正整數(shù)n取x1111nnn2n3二、放縮法的注意問(wèn)題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個(gè)項(xiàng)，則縮小。2、放縮的項(xiàng)數(shù)：有時(shí)從第一項(xiàng)開始，有時(shí)從第三項(xiàng)，有時(shí)第三項(xiàng)，等等，即不一定是對(duì)全部項(xiàng)進(jìn)行放縮。3、放縮法的常見技巧及常見的放縮式：（1）根式的放縮：111kk12kkk1；（2）在分式中放大或縮小分子或分母：111(k2)；k(k1)k2k(k1)真分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變大；，nn

16、1n1n；假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變小，如2n12n2n2n1；nn2nn222；（3）應(yīng)用基本不等式放縮：n2nn2n（4）二項(xiàng)式定理放縮：如2n12n1(n3)；（5）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)，如：|aa|aa|aa|aan12132nn1|(n2)。4、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過(guò)當(dāng)，是應(yīng)用放縮法證明中最關(guān)鍵、最難把握的問(wèn)題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點(diǎn)，只有這樣，才能使問(wèn)題迎刃而解。再看例2，若構(gòu)造函數(shù)f(n)S2nn1117n11(1)1(nN*)，2232n121117n181117n11則f(n1)f(n)(1)(1)n1n2321223212211

17、11171712n0n12n22n2n22n2n1221212前后不等號(hào)不一致，不能確定f(n)的單調(diào)性，此時(shí)放縮過(guò)當(dāng)，此題不適宜用單調(diào)函數(shù)放縮法。若要證明n111n3S(1)，則f(n1)f(n)(1)2n2232n12111n21111(1)232n22n12n22n2n2學(xué)習(xí)必備歡迎下載1111132n0，所以f(n1)f(n)，從而f(n)(nN*)遞增，f(n)f(1)10，2n2n22222所以Sn2n(12)成立，此時(shí)用單調(diào)函數(shù)放縮法可行。同樣的題干，稍有調(diào)整，我們所用的方法便有不同。25、放縮法的策略以及精度的控制1例10已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，且滿足a,a2SSnn1nnn

18、10(n2)。S（I）數(shù)列1是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；（II）求S和a；nnn2S2（III）求證：S2S2S21123n。2(n1),a(n2)簡(jiǎn)解：（1）（2）Sn12n1n12n(n1)；424n24n1n（3）證法一：當(dāng)n1時(shí)，S21111111成立；當(dāng)n2,S2()，n1441223S2S2S2123S2n111111111(1(n1)n4422311)=n1n44n2n2111111(1)綜上所述，S2S2S2123S2n12。證法二：S2n111111()4n24n21(2n1)(2n1)22n12n12335S2S2S21231111S2(1n11111)(1)。2n12n122n12點(diǎn)評(píng)：兩種證法的不同在于策略的選擇不同。方法一是將11放大成4n24n24n，需從第二項(xiàng)起，要分類討論；而方法二是將11111放大成。明顯4n21比4n24n大很多，比更接近4n24n214n214n24n4n2。從中可以發(fā)現(xiàn)放縮后的式子越接近放縮前的式子，即放縮程度越小，