新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)全書(shū)綜合測(cè)評(píng)

1、全書(shū)綜合測(cè)評(píng)(滿(mǎn)分:150分;時(shí)間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1-i)z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.水平放置的ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示,若A1C1=2,A1B1C1的面積為22,則AB的長(zhǎng)為()A.2B.217C.2D.83.設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九

2、章算術(shù)中有如下問(wèn)題:“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八,西鄉(xiāng)算七千二百三十六,南鄉(xiāng)算八千三百五十六,凡三鄉(xiāng),發(fā)役三百七十八人,欲以算數(shù)多少出之,問(wèn)各幾何?”意思是:北鄉(xiāng)有8 758人,西鄉(xiāng)有7 236人,南鄉(xiāng)有8 356人,現(xiàn)要按人數(shù)多少?gòu)娜l(xiāng)共征集378人,問(wèn)從各鄉(xiāng)征集多少人?在上述問(wèn)題中,需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是()A.102B.112C.130D.1365.奧林匹克會(huì)旗中央有5個(gè)互相套連的圓環(huán),顏色自左至右,上方依次為藍(lán)、黑、紅,下方依次為黃、綠,象征著五大洲.在手工課上,老師將這5個(gè)顏色的環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)作為模型進(jìn)行制作,每人分得1個(gè),則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是()A

3、.對(duì)立事件B.不可能事件C.互斥但不對(duì)立事件D.無(wú)法判斷6.已知向量a=8,12x,b=(x,1),其中x0,若(a-2b)(2a+b),則x的值為()A.4B.8C.0D.27.在四面體A-BCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,則直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為()A.-13B.-14C.14D.138.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿(mǎn)足cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,且sin A+sin C=1,則ABC的形狀為()A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.頂角為56的等腰三角形D.頂角為23的等腰三角形二、多項(xiàng)選擇題(

4、本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題是()A.做100次拋硬幣的試驗(yàn),結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上,因此,出現(xiàn)正面朝上的概率是51100B.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率C.拋擲骰子100次,得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次,則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是950D.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率不一定是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率10.已知m,n是兩條不重合的直線(xiàn),是三個(gè)兩兩不重合的平面,下列命題是真命題的是()A.若m,m,則B.若m,n,mn,則C.若m,n是異面直線(xiàn),m,m,n,n,

5、則D.若,則11.已知向量a,b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量,則下列結(jié)論正確的是()A.若存在實(shí)數(shù),使得b=a,則a與b共線(xiàn)B.若a與b共線(xiàn),則存在實(shí)數(shù),使得b=aC.若a與b不共線(xiàn),則對(duì)平面內(nèi)的任一向量c,均存在實(shí)數(shù),使得c=a+bD.若對(duì)平面內(nèi)的任一向量c,均存在實(shí)數(shù),使得c=a+b,則a與b不共線(xiàn)12.甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次,甲的成績(jī)分別是8,6,8,6,9,8;乙的成績(jī)分別是4,6,8,7,10,10,則以下說(shuō)法正確的是()A.甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等B.甲打靶環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙打靶環(huán)數(shù)的中位數(shù)大C.甲打靶環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙打靶環(huán)數(shù)的眾數(shù)大D.甲打靶的成績(jī)比乙打靶的成績(jī)穩(wěn)定三、填空

6、題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線(xiàn)上)13.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如下,數(shù)據(jù)的分組依次是20,40),40,60),60,80),80,100,則可估計(jì)這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第40百分位數(shù)是.14.如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),BACA=4,BFCF=-1 ,則BECE的值是.深度解析15.已知圓錐的高是底面半徑的3倍,側(cè)面積為,P為圓錐頂點(diǎn),若正方形ABCD內(nèi)接于底面圓O,則四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為.16.在一次數(shù)學(xué)考試中,第22題和第23題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)四名考生選做這兩

7、題的可能性均為12,則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率為;甲、乙兩名學(xué)生都選做第22題的概率為.(本題第一空2分,第二空3分)四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿(mǎn)分10分)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.(1)設(shè)甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中,7:30之前到校的天數(shù)為X,求X=0,X=1,X=2,X=3時(shí)的概率P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3);(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30

8、之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,在OAB中,已知P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn),OP=xOA+yOB.(1)若BP=PA,求實(shí)數(shù)x,y的值;(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA與OB的夾角為60,求OPAB的值.19.(本小題滿(mǎn)分12分)在銳角ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且bsin A=32a.(1)求B的大小;(2)若AB=2,BC=32,點(diǎn)D在邊AC上,求BD的長(zhǎng).請(qǐng)?jiān)贏D=DC;DBC=DBA;BDAC這三個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上,并完成解答.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.20.(本小

9、題滿(mǎn)分12分)在如圖所示的幾何體中,PBEC,PB=2CE=2,PB平面ABCD,在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD=2,BAD=60.(1)求證:AC平面PDE;(2)求CD與平面PDE所成角的正弦值.21.(本小題滿(mǎn)分12分)2020年4月23日“世界讀書(shū)日”來(lái)臨時(shí),某校為了解中學(xué)生課外閱讀情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),整理得到下表.組號(hào)分組頻數(shù)頻率10,5)50.0525,10)a0.35310,15)30b415,20)200.20520,25100.10合計(jì)1001(1)求a,b的值,并在下圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(用陰

10、影涂黑)(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)及中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.01);(3)現(xiàn)從第4、5組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人參加校中華詩(shī)詞比賽,經(jīng)過(guò)比賽后,第4組得分的平均數(shù)x=7,方差s2=2,第5組得分的平均數(shù)y=7,方差t2=1,則這6人得分的平均數(shù)a和方差2分別為多少(方差精確到0.01)?22.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖甲,在矩形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),AB=2,BC=2,以AE、BE為折痕將ADE與BCE折起,使D,C重合(仍記為D),如圖乙(以ABD所在平面為底面).(1)探索折疊形成的幾何體中直線(xiàn)DE的幾何性質(zhì)并證明(寫(xiě)出一條即可,不含DEDA,DEDB);

11、(2)求翻折后幾何體E-ABD外接球的體積.答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1.D(1-i)z=2+i,z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=12+32i,z=12-32i,z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為12,-32,即z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選D.2.B因?yàn)锳1B1C1的面積為22,所以22=12A1C1B1C1sin 45=122B1C122,解得B1C1=4,所以BC=8,易知ACBC,由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+82=217.故選B.3.AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+4

12、3AC.故選A.4.B因?yàn)楸编l(xiāng)有8 758人,西鄉(xiāng)有7 236人,南鄉(xiāng)有8 356人,現(xiàn)要按人數(shù)多少?gòu)娜l(xiāng)共征集378人,所以需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是3787 2368 758+7 236+8 356112.5.C結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的概念可知C正確.6.A因?yàn)閍=8,12x,b=(x,1),所以a-2b=8-2x,12x-2,2a+b=(16+x,x+1).因?yàn)?a-2b)(2a+b),所以(8-2x)(x+1)=(16+x)12x-2,即-52x2+40=0,解得x=4,又x0,所以x=4,故選A.7.D因?yàn)樗拿骟w的對(duì)邊分別相等,所以該四面體的頂點(diǎn)為長(zhǎng)方體的不相鄰的四個(gè)頂點(diǎn),如圖所示,設(shè)長(zhǎng)方

13、體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,則a2+b2=5,a2+c2=4,b2+c2=3,解得a=3,b=2,c=1.連接DC,交AB于點(diǎn)O,則DCDC,所以AOD是異面直線(xiàn)AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角).在AOD中,cosAOD=AO2+DO2-AD22AODO=34+34-223232=-13,所以異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為13,故選D.8.Dcos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,即1-sin2A-(1-sin2B)+1-sin2C=1+sin Asin C,即sin2A+sin2C-sin2B=-sin Asin C,由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,由余弦

14、定理得cos B=a2+c2-b22ac=-12,因?yàn)锽(0,),所以B=23,故sin A+sin3-A=1,整理得sinA+3=1,故A=6,所以C=6,故ABC為頂角為23的等腰三角形.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9.CD對(duì)于A,B,混淆了頻率與概率的區(qū)別,故A,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,拋擲骰子100次,得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次,則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是950,符合頻率的定義,故C正確;對(duì)于D,頻率是概率的估計(jì)值,故D正確.故選CD.10.AC顯然A正確;兩條在不同平面的直線(xiàn)平行不能說(shuō)明這兩個(gè)平面平行,故B錯(cuò)誤;由兩條分別在不同平面的異面直線(xiàn)分別平行于這兩個(gè)平面,可得這兩個(gè)平面平行,故C正確;垂直于同一平面

15、的兩平面不一定平行,故D錯(cuò)誤.故選AC.11.ACD根據(jù)平面向量共線(xiàn)的知識(shí)可知A選項(xiàng)正確;當(dāng)a=0,b為非零向量時(shí),a與b共線(xiàn),但不存在實(shí)數(shù),使得b=a,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)平面向量基本定理可知C、D選項(xiàng)正確.故選ACD.12.ABD甲的平均環(huán)數(shù)為16(8+6+8+6+9+8)=152,乙的平均環(huán)數(shù)為16(4+6+8+7+10+10)=152,兩人的平均環(huán)數(shù)相等,A正確;甲的中位數(shù)是8,乙的中位數(shù)是152,甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大,B正確;甲的眾數(shù)是8,乙的眾數(shù)是10,甲的眾數(shù)比乙的眾數(shù)小,C錯(cuò)誤;甲的數(shù)據(jù)比乙的數(shù)據(jù)集中,更穩(wěn)定,D正確.三、填空題13.答案65解析由題圖得,成績(jī)?cè)?0,60)

16、的頻率是(0.005+0.010)20=0.3,成績(jī)?cè)?0,80)的頻率為0.3+0.02020=0.7,故第40百分位數(shù)一定位于60,80)內(nèi),則這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第40百分位數(shù)為60+0.4-0.30.420=65.14.答案78解析BACA=12BC-AD-12BC-AD=4AD2-BC24=36FD2-BC24=4,BFCF=12BC-13AD-12BC-13AD=19AD2-14BC2=4FD2-BC24=-1,所以FD2=58,BC2=132,所以BECE=12BC-ED-12BC-ED=4ED2-BC24=16FD2-BC24=78.方法總結(jié)研究向量的數(shù)量積時(shí),一般有兩個(gè)思路,一

17、是建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)研究向量的數(shù)量積;二是利用一個(gè)基底表示所有向量.兩種思路實(shí)質(zhì)相同.對(duì)于涉及中線(xiàn)的向量問(wèn)題,一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進(jìn)行求解.15.答案7解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,則高為3r,母線(xiàn)長(zhǎng)為2r.圓錐的側(cè)面積為,r2r=,即r2=12.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,則2a2=4r2,整理得a=2r,易知四棱錐P-ABCD為正四棱錐,其斜高為(3r)2+22r2=72r,正四棱錐的側(cè)面積為4122r72r=27r2=7.16.答案12;14解析設(shè)事件A表示“甲選做第22題”,事件B表示“乙選做第22題”,則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“ABAB”,事件A,B相互獨(dú)立

18、,P(ABAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=1212+1-121-12=12.甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率為12.P(A)P(B)=1212=14,甲、乙兩名學(xué)生都選做第22題的概率為14.四、解答題17.解析(1)由獨(dú)立事件的概率乘法公式可得P(X=0)=1-233=127,P(X=1)=3231-232=29,P(X=2)=32321-23=49,P(X=3)=233=827.(4分)(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中,7:30之前到校的天數(shù)為Y,則P(M)=P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=1)=P(X=2)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)=49127+82729=2

19、0243.(10分)18.解析(1)BP=PA,BO+OP=PO+OA,即2OP=OB+OA,(2分)OP=12OA+12OB,即x=12,y=12.(4分)(2)BP=3PA,BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,(6分)OP=34OA+14OB,(8分)OPAB=34OA+14OB(OB-OA)=14OB2-34OA2+12OAOB=1422-3442+124212=-9.(12分)19.解析(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB及bsin A=32a,得sin Bsin A=32sin A.(2分)因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以A0,2,所以sin A0,(3分)

20、所以sin B=32,(4分)又因?yàn)锽0,2,所以B=3.(5分)(2)若選,在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=22+322-2232cos 3=134,所以AC=132(負(fù)值舍去),所以AD=DC=134.(7分)在ABD中,由余弦定理,得AB2=BD2+DA2-2BDDAcosADB,即4=BD2+1316-132BDcosADB.(9分)在DBC中,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosCDB,即94=BD2+1316-132BDcosCDB.因?yàn)锳DB+CDB=,所以cosADB+cosCDB=0.所以4+94=2BD2+138,

21、所以BD=374(負(fù)值舍去).(12分)若選,在ABC中,SABC=SABD+SCBD,(7分)即12BABCsin 3=12BABDsin 6+12BDBCsin 6,(9分)即1223232=122BD12+12BD3212,解得BD=637.(12分)若選,在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=22+322-2232cos 3=134,所以AC=132(負(fù)值舍去),(8分)因?yàn)镾ABC=12BABCsinABC=334,又SABC=12BDAC=134BD,所以134BD=334,解得BD=33913.(12分)20.解析(1)證明:如圖,連接BD,交

22、AC于O,取PD的中點(diǎn)F,連接OF、EF,O、F分別為BD、PD的中點(diǎn),OFPB,且OF=12PB.又PBCE,且CE=12PB,OFCE,且OF=CE,(2分)四邊形OCEF為平行四邊形,OCEF,即ACEF,又AC平面PDE,EF平面PDE,AC平面PDE.(4分)(2)連接PC,BE.在ABD中,AB=1,AD=2,BAD=60,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcosBAD=4+1-2=3,(5分)AB2+BD2=AD2,ABBD.(6分)ABCD,CDBD.PB平面ABCD,PBBD,PD=PB2+BD2=7.PBCE,CE平面ABCD,CEBD,CECD,DE=CD2+

23、CE2=2.(8分)又CDCE=C,BD平面DCE,又易得PB平面DCE,P到平面DCE的距離為BD,PE=BC2+(PB-CE)2=5,PD2=DE2+PE2,PEDE,SPDE=12PEDE=102,SDCE=12CDCE=12.(10分)設(shè)點(diǎn)C到平面PDE的距離為h,則由VP-DCE=VC-PDE,VP-DCE=VB-DCE,得VB-DCE=VC-PDE,13BDSDCE=13hSPDE,即312=h102,h=3010,CD與平面PDE所成角的正弦值為hCD=3010.(12分)21.解析(1)5+a+30+20+10=100,a=35.(1分)0.05+0.35+b+0.20+0.10=1,b=0.30.(2分)頻率分布直方圖如下.(4分)(2)該組數(shù)據(jù)眾數(shù)的估計(jì)值為7.50.(5分)易知中位數(shù)應(yīng)在10,15)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為x,則0.05+0.35+(x-10)0.06=0.5,解得x11.67,故中位數(shù)的估計(jì)值為11.67.(7分)(3)因?yàn)榈?組和第5組的頻數(shù)之比為21,所以從第4組抽取4人,第5組抽取2人.(8分)所以這6人得分的平均數(shù)a=4x+2y6=47+276=7,(10分)方差2=4s2+(x-a)2+2t2+(y-a)26=4(2+0)+2(1+0)61.67,即這6人得分的平均數(shù)