新編第三章數(shù)列課件

1、第1節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列第三章 數(shù)列要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)1.等差(比)數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差(比)等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等差(比)數(shù)列. 2.通項(xiàng)公式 等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1 3.等差(比)中項(xiàng) 如果在a、b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a、A、b成等差(比)數(shù)列，則A叫a、b的等差(比)中項(xiàng)A(a+b)/2或Aab 4.重要性質(zhì)： am+anap+aq(等差數(shù)列)amanapaq(等比數(shù)列)m+n=p+q(m、n、p、qN*)特別地 m+n=2pam+an2ap(等差數(shù)列) amana2p(等比數(shù)列) 課 前 熱 身31D1.觀察數(shù)列

2、：30，37，32，35，34，33，36，( )，38的特點(diǎn)，在括號(hào)內(nèi)適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)數(shù)是_.2.若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,bR且ab)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為1/4的等差數(shù)列，則a+b的值為( ) A. 3/8 B. 11/24 C. 13/24 D. 31/72 3.已知b0，則b=- 是a、b、c成等比數(shù)列的( ) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分也非必要條件A 5.在等差數(shù)列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,則2a10-a12的值為( ) A.20 B.22 C.24 D.28 C4.在等比數(shù)列an中，a5、

3、a9是方程7x2+18x+7=0的兩個(gè)根，則a7( ) (A)-1 (B)1 (C)1 (D)以上都不正確A能力思維方法【解題回顧】本題是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的條件設(shè)未知數(shù)，充分分析題設(shè)條件中量與量的關(guān)系，從而確定運(yùn)用哪些條件設(shè)未知數(shù)，哪些條件列方程是解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵所在.1.四個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，若順次加上2，4，8，15后成等比數(shù)列，求原數(shù)列的四個(gè)數(shù).2.an是等差數(shù)列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值. 【解題回顧】本題若用通項(xiàng)公式將各項(xiàng)轉(zhuǎn)化成a1、d關(guān)系后再求，也是可行的，但運(yùn)算量較大.【解題回顧】本題將函數(shù)、不等式穿插到數(shù)列中考查，用到了數(shù)學(xué)中重要的思想方法

4、. 3.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)F1y=x2+1上的點(diǎn)，Bn(n,bn)為函數(shù)F2y=x上的點(diǎn)，其中nN+，設(shè)cn=an-bn(nN+). (1)求證：數(shù)列cn既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列； (2)試比較cn與cn+1的大小. 【解題回顧】本題對(duì)sin2a2降次非常關(guān)鍵，不宜盲目積化和差4.若a1，a2，a3成等差數(shù)列，公差為d；sina1，sina2，sina3成等比數(shù)列，公比為q，則公差d=k，kZ 延伸拓展【解題回顧】依定義或通項(xiàng)公式，判定一個(gè)數(shù)列為等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列中的基本問(wèn)題之一. 5.數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式分別為an=2n，bn=3n+2，它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列

5、是cn. 寫(xiě)出cn的前5項(xiàng). 證明cn是等比數(shù)列. 誤解分析2.延伸拓展5中，證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列(或等差數(shù)列)，用有限項(xiàng)作比(差)得出常數(shù)是典型錯(cuò)誤，應(yīng)用an+1與an關(guān)系. 1.在用性質(zhì)m+n=p+q則am+an=ap+aq時(shí)，如果看不清下標(biāo)關(guān)系，常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 第2節(jié) 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)3.在等差(比)數(shù)列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，Skn-S(k-1)n成等差(比)數(shù)列.其中Sn為前n項(xiàng)的和. 1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和 等比數(shù)列前n項(xiàng)和2.如果某個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則2.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=18-a5，則S8等于（ ）A.18

6、B.36 C.54 D.72 課 前 熱 身1.在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白( )內(nèi).年齡(歲)30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓(水銀柱 毫米)110 115 120 125 130 135 ( ) 145舒張壓(水銀柱 毫米)70 73 75 78 80 83 ( ) 8814085D5.在等差數(shù)列an中，a2+a4=p，a3+a5=q則其前6項(xiàng)的和S6為( ) (A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)4.等比數(shù)列an前n項(xiàng)的乘積為T(mén)n，若T

7、n=1，T2n=2，則T3n的值為( )(A)3 (B)4 (C)7 (D)8 DB3.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和.若Sn是等差數(shù)列，則q=_1 能力思維方法1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=2n2+3n+2，求通項(xiàng)an的表達(dá)式，并指出此數(shù)列是否為等差數(shù)列.【解題回顧】公式 給出了數(shù)列的項(xiàng)與和之間的關(guān)系，很重要.在利用這個(gè)關(guān)系時(shí)必須注意：(1)公式對(duì)任何數(shù)列都適用；(2)n1的情形要單獨(dú)討論. 2.已知等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)的和為Sn，且S3，S9，S6成等差數(shù)列. (1)求q3的值； (2)求證a2，a8，a5成等差數(shù)列. 【解題回顧】本題方法較多，用等比數(shù)列Sn公

8、式時(shí)一定要注意討論q. 【解題回顧】在等差數(shù)列an中：(1)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，則S偶-S奇nd，S奇 / S偶an / an+1；(2)項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)，則S奇-S偶an，S奇/ S偶n/(n-1)，S2n-1=(2n-1)an，當(dāng)an為等比數(shù)列時(shí)其結(jié)論可類(lèi)似推導(dǎo)得出3.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為3227，求公差d.4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=32n-n2，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn 【解題回顧】 一般地，數(shù)列an與數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn與 ：當(dāng)ak0時(shí)，有 ；當(dāng)ak0時(shí)， ( k =1，2，n).若在a1，a2,，an中，有一些項(xiàng)不小于零，而其

9、余各項(xiàng)均小于零，設(shè)其和分別為S+、S-，則有Sn=S+S-，所以【解題回顧】這是一道高考題，開(kāi)放程度較大，要注意含有字母的代數(shù)式的運(yùn)算，特別要注意對(duì)公比q=1的討論. 延伸拓展5.數(shù)列an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)的和，是否存在正常數(shù)c，使得 對(duì)任意的nN+成立?并證明你的結(jié)論. 誤解分析1.用公式an=Sn-Sn-1解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要注意條件n2，因n=1時(shí)，a1=S1. 2.等比數(shù)列的和或利用等比數(shù)列求和公式 解題時(shí)，若忽視q=1的討論.常會(huì)招致“對(duì)而不全”.第3節(jié) 等差、等比數(shù)列的運(yùn)用要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)1.差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 設(shè)Sn是an的前n項(xiàng)和，則an為等差數(shù)列 Sn=An

10、2+Bn，其中A、B是常數(shù). an為等差數(shù)列，若a10，d0，則Sn有最大值，n可由 確定若a10，d0，則Sn有最小值，n可由 確定. an 0an+10an0an+102.遞推數(shù)列 可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)或 求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 課 前 熱 身1.an為等比數(shù)列，bn為等差數(shù)列，且b1=0,Cnan+bn，若數(shù)列Cn是1，1，5，則Cn的前10項(xiàng)和為_(kāi). 2.如果b是a，c的等差中項(xiàng)，y是x與z的等比中項(xiàng)，且x，y，z都是正數(shù)，則(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_. 3.下列命題中正確的是( ) A.數(shù)列an的前n

11、項(xiàng)和是Sn=n2+2n-1，則an為等差數(shù)列 B.數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn=3n-c，則c=1是an為等比數(shù)列的充要條件 C.數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D.等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，則公比q大于1 90或294340B4.等差數(shù)列an中，a10，且3a8=5a13，則Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 5.等差數(shù)列an中，Sn為數(shù)列前n項(xiàng)和，且Sn/Smn2/m2 (nm)，則an / am值為( ) (A)m/n (B)(2m-1)/n (C)2n/(2n-1) (D)(2n-1)/(2m-1)CD能力思維方法【解題回顧】這是2000年高考題，因

12、是填空題，本題也可由條件求出a1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4后，猜想an=1/n1.設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，則它的通項(xiàng)公式是an= 1/n. 2.一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項(xiàng)和等于前11項(xiàng)和，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大? 【解題回顧】另外，本例還可通過(guò)考查項(xiàng)的符號(hào)確定n取何值時(shí)Sn取得最大值，即尋求這樣的一項(xiàng)：使得這項(xiàng)及它前面所有項(xiàng)皆取正值或0，而它后面所有各項(xiàng)皆取負(fù)值，則第一項(xiàng)起到該項(xiàng)的和為最大.這是尋求Sn最大值或最小值的基本方法之一.還有在學(xué)習(xí)研究中我們不難發(fā)現(xiàn)在等差數(shù)列an中，若a10，且

13、Sp=Sq(pq)，(1)當(dāng)p+q為偶數(shù)時(shí)，則n=p+q2時(shí)，Sn取得最大值；(2)當(dāng)p+q為奇數(shù)時(shí)，則n=p+q-12或p+q+12時(shí)Sn取得最大值這一規(guī)律. 3.已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a10，公比q0.設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn=an+1+an+2(nN*)，數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別記為An與Bn，試比較An與Bn的大小. 【解題回顧】遇到涉及等比數(shù)列的和的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題意作具體分析，不要貿(mào)然使用求和公式，如本例就是直接利用數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，從而避免了運(yùn)用求和公式所帶來(lái)的繁雜運(yùn)算. 【解題回顧】本例解法一是依據(jù)等差數(shù)列均勻分段求和后組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列；解法二是依據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的算

14、術(shù)平均數(shù)組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列；解法三是利用數(shù)列的求和定義及等差數(shù)列中兩項(xiàng)的關(guān)系，熟記等差數(shù)列的這些性質(zhì)常可起到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的作用. 4.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S10=100，S100=10，試求S110. 延伸拓展【解題回顧】題設(shè)中有a1+2a2+nan，應(yīng)將其看做數(shù)列nan的和Sn而本題要證an+1-an為常數(shù)，故應(yīng)在等式中消去a1+2a2+(n-1)an-1，即消去Sn-1，因此，利用Sn-Sn-1，就達(dá)到了用bn中的項(xiàng)表示an的目的.作差法是解決與數(shù)列和有關(guān)的問(wèn)題的常用方法. 5.已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足 (nN+)，試證明：an成等差數(shù)列的充分條件是bn成等差數(shù)列. 1.在

15、利用an0，an+10或an0、an+10求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，符號(hào)不能丟掉. 誤解分析2.在能力思維方法4中，如果數(shù)不清項(xiàng)數(shù)，看不清下標(biāo)，將會(huì)出錯(cuò). 第4節(jié) 等差、等比數(shù)列的應(yīng)用要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)1.復(fù)利公式 按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y=a(1+r)x 2.產(chǎn)值模型 原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y=N(1+p) x 3.單利公式 利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y=a(1+xr)1.某種細(xì)胞開(kāi)始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去

16、一個(gè)，按此規(guī)律，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是( ) (A)63 (B)65 (C)67 (D)71 課 前 熱 身2.某產(chǎn)品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，則現(xiàn)在的成本是( )(A)a(1+q%)3元 (B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元 (D)a(1+q%)-3元3.某債券市場(chǎng)發(fā)行的三種債券：A種面值100元，一年到期本利共獲103元B種面值50元，半年到期，本利共50.9元，C種面值為100元，但買(mǎi)入時(shí)只需付97元，一年到期拿回100元，則三種投資收益比例便從小到大排列為( ) (A)BAC (B)ACB (C)ABC (D)CAB BCBD根據(jù)某市城區(qū)家庭抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)

17、，2019得初至2019年底，每戶(hù)家庭消費(fèi)支出總額每年平均增加680元，其中食品消費(fèi)支出總額每年平均增加100元.2019年初該市城區(qū)家庭剛達(dá)到小康，且該年每戶(hù)家庭消費(fèi)支出總額為8600元，則該市城區(qū)家庭達(dá)到富裕的是( )(A)2019年底 (B)2000年底 (C)2019年底 (D)2019年底 4.國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)(記作n)來(lái)衡量一個(gè)國(guó)家和地區(qū)人民生活水平的狀況，它的計(jì)算公式為 ，各種類(lèi)型家庭的n如下表所示： 食品消費(fèi)支出總額消費(fèi)支出總額n=100%n30% 最富裕 30%n40%富 裕 40%n50%小 康 50%n60%溫 飽 n60% 貧 困 n家庭類(lèi)型 5.某林場(chǎng)年初有森林木

18、材存量Sm3，木材以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年末要砍伐固定的木材量為 xm3.為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)2次砍伐以后木材存量增長(zhǎng)50%，則x的值應(yīng)是( ) (A) (B) (C) (D)C能力思維方法1.一梯形的上、下底長(zhǎng)分別是12cm，22cm，若將梯形的一腰10等分，過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于底邊的直線(xiàn)，求這些直線(xiàn)夾在兩腰之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度的和. 【解題回顧】本題易誤認(rèn)為答案是187cm，即將梯形的上、下底也算在了其中. 2.某電子管廠2019年全年生產(chǎn)真空電子管50萬(wàn)個(gè)，計(jì)劃從2019年開(kāi)始每年的產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)20%，問(wèn)從哪一年開(kāi)始，該廠的真空電子管年產(chǎn)量超過(guò)200萬(wàn)個(gè)? 【解題回顧】本題容易忽視不等式1

19、.2n-150200. 3.某村2019年底全村共有1000人，全年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值為840萬(wàn)元. (1)若從2019年起該村每年的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值較上年增加14萬(wàn)元，每年人口較上年凈增數(shù)相同，要使該村人均產(chǎn)值年年都增長(zhǎng)，那么該村每年人口的凈增不超過(guò)多少人? (2)若從2019年起該村每年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值較上年增長(zhǎng)10%，每年人口較上年凈增10人，則到2019年該村能否實(shí)現(xiàn)年人均產(chǎn)值較2019年翻一番(增加一倍)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)? 【解題回顧】本題(2)用到了近似估算法. 【解題回顧】本題第(1)小題得到1.2n=7/3后，也可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)求n，同理第(2)小題得1.2n6后，也可兩邊取對(duì)數(shù). 4.某林場(chǎng)

20、去年有木材貯量2萬(wàn)m3，從今年開(kāi)始，林場(chǎng)加大了對(duì)生產(chǎn)的投入量，預(yù)測(cè)林場(chǎng)的木材貯量將以每年20%的速度增長(zhǎng)，每年年底砍伐1000m3的木材出售作為再生產(chǎn)的資金補(bǔ)貼，問(wèn)：(1)多少年后木材貯量達(dá)到翻番的目標(biāo)?(2)多少年后木材貯量達(dá)到翻兩番的目標(biāo)? 延伸拓展【解題回顧】從數(shù)字角度看，本例是解決與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.必須認(rèn)真審題，弄清題意，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于理解復(fù)利的概念及其運(yùn)算，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí).5.某下崗職工準(zhǔn)備開(kāi)辦一個(gè)商店，要向銀行貸款若干，這筆貸款按復(fù)利計(jì)算(即本年利息計(jì)入下一年的本金生息)，利率為q(0q1).據(jù)他估算，貸款后每年可償還A元，30年后還清.求貸款金額； 若貸款后前7年暫不償

21、還，從第8年開(kāi)始，每年償還A元，仍然在貸款后30年還清，試問(wèn)：這樣一來(lái)，貸款金額比原貸款金額要少多少元? 1.數(shù)列應(yīng)用題的誤解往往是由審題不清，誤解題意引起的，因此仔細(xì)審題，準(zhǔn)確地找出模型是解題關(guān)鍵. 誤解分析2.數(shù)列應(yīng)用題的計(jì)算往往較復(fù)雜，需認(rèn)真仔細(xì).第5節(jié) 數(shù)列的通項(xiàng)與求和要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，重點(diǎn)應(yīng)掌握以下幾種方法： 1.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱(chēng)為倒序相加法. 2.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可

22、采用錯(cuò)位相減法. 3.分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列的項(xiàng)“集”在一塊重新組合，或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一求和方法稱(chēng)為分組轉(zhuǎn)化法. 4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱(chēng) 為裂項(xiàng)相消法. 5.公式法求和：所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式，此時(shí)求和可采用公式法求和，常用的公式有：課 前 熱 身1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+1，則an=_. 2.已知an的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1，則|a1|+|a2|+|a10|=( ) (A)67 (B)65 (C)61 (D)56 3.一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 AC5.數(shù)列 的前n項(xiàng)之和為Sn，則Sn的值得等于( )(A