概率統(tǒng)計(jì)課件概統(tǒng)511.1節(jié)

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 本章要解決的問題 為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的 概率的估計(jì)？為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ) 是什么？答復(fù)大數(shù)定律中心極限定理設(shè)非負(fù) r.v. X 的期望 E( X )存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) 0,證 僅證連續(xù)型 r.v.的情形 重要不等式 5.1 大數(shù)定律5.1設(shè)隨機(jī)變量 X 的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩 E( |X |k)存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) 0,推論 1設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差 D ( X )存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) 0,推論 2 切貝雪夫( chebyshev)不等式或當(dāng) 2 D(X) 無實(shí)際

2、意義,馬爾可夫 ( Markov ) 不等式例1 設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計(jì)在任選的 6000 粒種子中, 良種所占比例與1/6 比較上下小于1%的概率.解 設(shè) X 表示 6000 粒種子中的良種數(shù) ,X B (6000,1/6 )例1實(shí)際精確計(jì)算用Poisson 分布近似計(jì)算取 = 1000例2 設(shè)每次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的概率為 0.75, 試用 Chebyshev 不等式估計(jì), n 多大時(shí), 才能在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件 A 出現(xiàn)的頻率在0.74 0.76 之間的概率大于 0.90?解 設(shè) X 表示 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) , 則X B(n,0.

3、75)要使，求 n例2即即由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故令解得大數(shù)定律貝努里（Bernoulli） 大數(shù)定律設(shè) nA 是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù), p 是每次試驗(yàn)中 A 發(fā)生的概率, 則有或大數(shù)定律證 引入 r.v. 序列Xk設(shè)則相互獨(dú)立，記由 Chebyshev 不等式故在概率的統(tǒng)計(jì)定義中, 事件 A 發(fā)生的頻率 “ 穩(wěn)定于”事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率與 p 有較大偏差是小概率事件, 因而在 n 足夠大時(shí), 可以用頻率近似代替 p . 這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義定義a 是一常數(shù)，(或則稱 r.v

4、. 序列依概率收斂于常數(shù) a , 記作故是一系列 r.v.設(shè)有若 在 Bernoulli 定理的證明過程中，Y n 是相互獨(dú)立的服從 (0 , 1) 分布的 r.v. 序列 Xk 的算術(shù)平均值, Y n 依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望 p . 結(jié)果同樣適用于服從其它分布的獨(dú)立r.v. 序列Chebyshev 大數(shù)定律相互獨(dú)立，設(shè) r.v. 序列(指任意給定 n 1, 相互獨(dú)立)且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差則有或辛欽大數(shù)定律：若去掉切貝雪夫大數(shù)定律中方差存在這一條件，添上服從同分布這一條件，則切貝雪夫大數(shù)定律變?yōu)橄嗷オ?dú)立，設(shè) r.v. 序列服從同一分布，且具有相同數(shù)學(xué)期望則有當(dāng) n 足夠大時(shí), 算術(shù)平均值

5、幾乎是一常數(shù).具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立 r.v.序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望近似代替可被大數(shù)定律意義思考題五 在電子計(jì)算機(jī)上能生成相互獨(dú)立試考慮怎樣利用切且服從區(qū)間 上均勻分布的隨機(jī)數(shù)貝雪夫大數(shù)定律計(jì)算連續(xù)函數(shù) f(x)的的定積分思 考 題 五 每周一題11 電視臺(tái)需作節(jié)目A 收視率的調(diào)查.每天在播電視的同時(shí), 隨機(jī)地向當(dāng)?shù)鼐用翊螂娫捲儐柺欠裨诳措娨? 若在看電視, 再問是否在看節(jié)目A. 設(shè)回答 第12周 問 題看電視的居民戶數(shù)為 n. 若要保證以 95%的概率使調(diào)查誤差在10%之內(nèi), n 應(yīng)取多大？每晚節(jié)目A 播出一小時(shí), 調(diào)查需同時(shí)進(jìn)行, 設(shè)每小時(shí)每人能調(diào)查20戶, 每戶居民每晚看電視的概率為70%, 電視臺(tái)需安排多少人作調(diào)查. 又，若使調(diào)查誤差在 1 %之內(nèi), n 應(yīng)取多大？注2相互