傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)

1、第二講無(wú)失真?zhèn)鬏敽拖柌刈儞Q123(7通信系統(tǒng)的一個(gè)主要任務(wù)就是有效而可靠地傳輸信號(hào)。從信號(hào)的角度來(lái)看，希望所要傳送的信號(hào)能夠毫無(wú)阻礙地、毫無(wú)畸變地按照一定的方式通過(guò)傳輸系統(tǒng)。例如信息傳輸系統(tǒng)，總希望在接受端獲得和發(fā)送信號(hào)（語(yǔ)音、圖像和數(shù)據(jù)信號(hào)等）完全一樣的信號(hào)，即實(shí)現(xiàn)所謂波形的無(wú)失真?zhèn)鬏?；但是另一個(gè)方面，從傳輸系統(tǒng)的角度看，卻要求在最經(jīng)濟(jì)的條件下達(dá)到傳送信號(hào)的目的，這包括了功率的節(jié)省、設(shè)備的簡(jiǎn)易性、頻帶的壓縮和作用的有效性等。因此，信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的傳輸過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是限制傳輸（有效性）和反限制傳輸（可靠性）之間取得最佳匹配的過(guò)程。一般情況下，傳輸系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵(lì)波形不相同，也就是說(shuō)信號(hào)在

2、傳輸過(guò)程中將產(chǎn)生失真。信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏敽吞幚淼臈l件所謂無(wú)失真?zhèn)鬏敚侵篙敵鲂盘?hào)是輸入信號(hào)的準(zhǔn)確復(fù)制品，這個(gè)復(fù)制品可以有不同的幅度和出現(xiàn)時(shí)間，但是要求其波形形狀相同。systeme(I圖5-2-1無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)假設(shè)輸入信號(hào)為員*）,輸出信號(hào)為廠卩）,則信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件在時(shí)域表示為：廠（“二慮（才一島）。式中，肚是一個(gè)常數(shù)，是滯后時(shí)間。當(dāng)此條件滿足時(shí)，輸出波形尸（門(mén)就是輸入波形滅）滯后時(shí)間5的復(fù)制品，雖然其幅度變?yōu)樵瓉?lái)的疋倍，但是其波形形狀保持不變。如果從頻域來(lái)看，無(wú)失真?zhèn)鬏斁褪菍?duì)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)提出約束條件:氏0盤(pán)）=書(shū)）曠曲遺=J-CO0LJ-M=危-嘰E（j）又=:Ke由此我們可以得出，要使

3、任意波形的信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不產(chǎn)生波形失真，系統(tǒng)必須滿足的兩個(gè)條件是：系統(tǒng)的幅頻特性在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為常數(shù)，即系統(tǒng)有無(wú)限帶寬的通頻帶。系統(tǒng)的相頻特性是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線。這兩個(gè)條件的物理意義是不難理解的。因?yàn)閺S?。┰诿奎c(diǎn)上都比HD大懇倍，所以尸（才）的每個(gè)頻率分量都應(yīng)當(dāng)比總吐）的相應(yīng)分量大広倍，從而有冋0）|二疋，即對(duì)所有的頻率都是常數(shù)。另外，因?yàn)?）較炎）滯后一段時(shí)間5,所以的每個(gè)頻率分量都要比（*）的相應(yīng)分量滯后時(shí)間5,在角頻率上，對(duì)應(yīng)的是各個(gè)點(diǎn)的相位滯后了，即如。群延時(shí)和相位延時(shí)描述系統(tǒng)相移特性的另一種方法是群延時(shí)（或稱群時(shí)延）特性來(lái)表示。群延時(shí)定義為相移特性的微分:如）。群延時(shí)表示了一個(gè)載頻

4、信號(hào)的包絡(luò)的延遲，包絡(luò)是包含著一定的帶寬的，所以群延時(shí)表示了一定帶寬的一組頻率成分的延遲。在沒(méi)有產(chǎn)生相位失真的條件下，系統(tǒng)的群時(shí)延特性為常數(shù)。相位延時(shí)定義為：如普，它是系統(tǒng)對(duì)給定角頻率的簡(jiǎn)諧信號(hào)所產(chǎn)生的延遲。相位延時(shí)出現(xiàn)在載波因子中，它表明的是單一頻率的載波的延遲。第二講無(wú)失真?zhèn)鬏敽拖柌刈儞Q123滿足不失真條件的系統(tǒng)只有兩種：一種是即時(shí)系統(tǒng)，也就是只有純電阻組成的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)對(duì)信號(hào)只有衰減作用，系統(tǒng)在某時(shí)刻的響應(yīng)僅僅取決于該時(shí)刻的激勵(lì)。另一種是匹配的高頻傳輸線，此時(shí)線上只有行波的作用。實(shí)際上，具有儲(chǔ)能元件的系統(tǒng)在傳輸信號(hào)的過(guò)程中都會(huì)產(chǎn)生失真，它是由兩個(gè)因素造成的：幅度失真和相位失真。幅度

5、失真和相位失真由于冋（j曲）卜K不能滿足而產(chǎn)生的失真叫做幅度失真。在這種情況下，系統(tǒng)對(duì)信號(hào)各個(gè)頻率分量的幅度有不同程度的衰減或放大，使得響應(yīng)信號(hào)各頻率分量的相對(duì)幅度產(chǎn)生變化，從而引起幅度失真。由于）=-0不能滿足而引起的失真。在這種情況下，系統(tǒng)對(duì)信號(hào)各個(gè)頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，結(jié)果各個(gè)頻率分量的相位位置產(chǎn)生變化，造成相位失真。無(wú)論是振幅失真還是相位失真，信號(hào)并沒(méi)有產(chǎn)生新的頻率分量，所以它們屬于線性失真。它不同于非線性系統(tǒng)由于非線性特性而對(duì)所傳輸信號(hào)引起的非線性失真，非線性失真可能產(chǎn)生新的頻率分量。我們討論的是線性系統(tǒng)的幅度失真和相位失真，一般情況下，這兩種失真是同時(shí)存在而且無(wú)法區(qū)分的

6、。但是在某些情況下，一種失真所占的比重很小，可以忽略不計(jì)，從而另一種失真就突出地表現(xiàn)出來(lái)。實(shí)際上，前面所述的不失真條件沒(méi)有必要在無(wú)限寬的頻帶范圍內(nèi)都滿足，而是只要在信號(hào)有效占有的頻帶內(nèi)得到近似滿足就可以了。而且，如果滿足這兩個(gè)條件的頻帶太寬，即系統(tǒng)的通頻帶太寬，則不需要的信號(hào)也會(huì)通過(guò)系統(tǒng)，同時(shí)系統(tǒng)的噪聲也隨著頻帶的加寬而增大，這顯然是我們不希望的。所以，實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后，不可避免地要產(chǎn)生一些失真。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)離開(kāi)不失真到了怎樣的程度后，信號(hào)的失真仍然是可以允許的。這是一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題，不可能有一個(gè)普遍的解答，而要根據(jù)信號(hào)、具體系統(tǒng)以及給定的技術(shù)要求來(lái)分析。比如，如果我們的目的只

7、是要產(chǎn)生一個(gè)寬度與輸入脈沖的寬度大小接近的輸出脈沖，而保真度并不重要，則系統(tǒng)的通頻帶只要大約等于輸入脈沖的占有頻帶就夠了。在一個(gè)搜索雷達(dá)系統(tǒng)就是這樣，它只要求有一個(gè)可以辨認(rèn)出來(lái)的脈沖，而波形是次要的。但是如果要求波形保真，則系統(tǒng)的通頻帶要數(shù)倍于信號(hào)的占有頻帶，實(shí)際上由所規(guī)定的脈沖上升時(shí)間來(lái)決定。例如，在跟蹤雷達(dá)系統(tǒng)中，各個(gè)脈沖到達(dá)的準(zhǔn)確時(shí)刻必須準(zhǔn)確地知道，因此,雷達(dá)接受機(jī)的輸出脈沖必須上升得很陡，以便準(zhǔn)確地決定脈沖前沿的位置。在某些導(dǎo)航系統(tǒng)和脈沖調(diào)制系統(tǒng)中，通頻帶也取決于脈沖的上升時(shí)間。頻域均衡和時(shí)域均衡在實(shí)際的通信和信號(hào)處理問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到無(wú)滿足上述帶限無(wú)失真?zhèn)鬏敾蛱幚項(xiàng)l件的情況。但實(shí)際上

8、，并非絕對(duì)不允許失真，通常只要求把失真度限定在某個(gè)可接受的程度內(nèi)。若失真較嚴(yán)重時(shí)，將是不能接受的，一般需采用均衡技術(shù)來(lái)解決。所謂均衡就是信號(hào)通過(guò)實(shí)際傳輸或處理系統(tǒng)后，用另一個(gè)系統(tǒng)補(bǔ)償或校正該系統(tǒng)的非理想特性，使級(jí)聯(lián)后整個(gè)系統(tǒng)滿足或近似滿足無(wú)失真?zhèn)鬏敾蛱幚項(xiàng)l件。這個(gè)用于補(bǔ)償或校正的系統(tǒng)成為均衡器。在許多實(shí)際應(yīng)用中，連續(xù)或離散時(shí)間傳輸或處理系統(tǒng)都可以等效成一個(gè)LTI系統(tǒng)，它們的均衡器也是LTI系統(tǒng)。這里要特別指出，對(duì)于一般的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，同時(shí)滿足兩個(gè)理想條件,不僅是在實(shí)際中，就是在理論上也是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。這是因?yàn)?，理論上可以證明，也）|和炒（）之間存在著依賴關(guān)系，選定了一個(gè)，另一個(gè)也就隨之而定了。

9、第五章傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)第二講無(wú)失真?zhèn)鬏敽拖柌刈儞Q123希爾伯特變換的概念由于系統(tǒng)因果性的限制，系統(tǒng)函數(shù)的冋（j血）1和0（釦之間存在著某種相互制約的關(guān)系，這種關(guān)系通過(guò)希爾伯特（Hilbert）變換的形式表現(xiàn)出來(lái)。希爾伯特變換在信號(hào)分析領(lǐng)域有著重要的作用，一方面它使得實(shí)信號(hào)可以很方便的表示成復(fù)解析信號(hào)，另一方面，它可以簡(jiǎn)單地表明因果信號(hào)頻譜的實(shí)部和虛部之間的關(guān)系。希爾伯特變換的定義：正變換：召（0T邑飛）=丄廣如血jt，一0=1（i-r）1門(mén)/($)7T丄。=1(-T)dr因果系統(tǒng)H（j）的實(shí)部與虛部之間的關(guān)系假設(shè)對(duì)因果系統(tǒng)有町）=血（境，汕和山分別是其偶分量和奇分量，”九（門(mén)+札（

10、門(mén)。下面我們由此來(lái)證明系統(tǒng)函數(shù)的實(shí)部與虛部之間滿足希爾伯特變換關(guān)系。呻）二鵝+認(rèn)）-力（一才）=九一日0則有：鵝（苦他丫（”對(duì)因果系統(tǒng)有：om因?yàn)槭鲂膆（詢）=R（）+j（a），由傅里葉變換的奇偶虛實(shí)關(guān)系可知，一個(gè)偶函數(shù)的傅里葉變換是實(shí)函數(shù)，一個(gè)奇函數(shù)的傅里葉變換為純虛函數(shù)。所以有：%（0R3久（右）o九（t）sgn（OjR（a）.hs（f）sgn（Qjl（勁應(yīng)用傅里葉變換的頻域卷積定理，得：2兀juj-m7）s二丄鳳刃心7TJ-m（如一應(yīng)（眄二丄口9）*，_二丄2ttjuJ_wy結(jié)論：實(shí)因果信號(hào)頻譜的實(shí)部和虛部是不獨(dú)立的，它們各自都包含了信號(hào)頻譜的全部信息。如果系統(tǒng)函數(shù)頻譜的實(shí)部和虛部滿足希爾伯特變換，那么該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，反之亦然。波特關(guān)系式如果從系統(tǒng)函數(shù)的模與相位函數(shù)的角度考察，則有：H（斑）二舊0礪刃l(wèi)nR（j）二ln|F（j）|-b可以證明，對(duì)于最小相移函數(shù)，山冋（j砒和9）之間也存在著約束關(guān)系。對(duì)于可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，如果給定了1訶刃如）L那么卩（）也就被確定，它們構(gòu)成一個(gè)最小相移函數(shù)。具體可以查閱有關(guān)的參考文獻(xiàn)。（下面舉一個(gè)例子，進(jìn)一步來(lái)說(shuō)明希爾伯特的含義）設(shè)有一全通網(wǎng)絡(luò)，其幅頻特性和相頻如圖a、b所示。求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。證明系統(tǒng)的輸入為e(t)時(shí)，其響應(yīng)r(t)