033相似形及應(yīng)用(D)

1、一、選擇題（2014年廣東佛山，4, 3分）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1:4,則它們的周長之比為（）A. 1:4B. 1:2C. 2:1D. 1:16【答案】B.（2014 湖南湘西州，9, 4 分）如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB =90 , CA= CB , AB= 2,過點(diǎn) C 作 CD 丄 AB, 垂足為D，則CD的長為 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark193 o Current Document 11A 丄B .丄C. 1D. 2 HYPERLINK l bookmark128 o Current Document 42【答案】C.（201

2、4內(nèi)蒙古巴彥淖爾，6, 3分）如圖，在 ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連結(jié) BE , BE、CD的延長線 父于點(diǎn)F,則Saedf : S四邊形ABCD的值為（）A.1 : 2B.1 : 3C.1:4【答案】C4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題（2014年湖南省張家界市，12, 3分）如圖, ABC中,D、E分別為AB, AC的中點(diǎn)，則 ADE與厶ABC的面積【答案】1:4（ 2014吉林省長春市，13，3分）如圖，

3、在邊長為 3的菱形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F為BE延長線 與AD延長線的交點(diǎn)，若 DE=1,則DF的長為 .3【答案】（2014遼寧朝陽，16，3分）如圖，正方形 ABCD的邊長為2cm， PMN是直角一塊三角板（/ N= 30）， PM 2cm，PM與BC均在直線I上，開始時(shí)M點(diǎn)與B點(diǎn)重合，將三角板向右平行移動，直至 M點(diǎn)與C點(diǎn)重合 為止.設(shè)BM = xcm，三角板與正方形重疊部分的面積外 ycm2.下列結(jié)論：2DPH MC 1第16題圖當(dāng)Ow xw時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=；2當(dāng)2、3 w xw 2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y =2x-23 ;3當(dāng)MN經(jīng)過AB的中點(diǎn)時(shí)，y

4、二（cm2）;21 1一、存在x的值，使y= S正方形ABCD （ S正方形ABCD表示正方形 ABCD的面積）.2其中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）.【答案】（2014年遼寧省葫蘆島，13, 3分）如圖6, AE, BD交于點(diǎn)C, BA丄AE于點(diǎn)A, ED丄BD于點(diǎn)D，若AC =4, AB =3, CD =2,貝U CE = .E【答案】2.5（2014青海，5, 2分）如圖1，為了測量一水塔的高度，小強(qiáng)用2米的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、水塔的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8米，與水塔相距 32米，則水塔的高度為【答案】106.7.8.9.10.11.12

5、.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答題（2014廣東省茂名市，24, 8分）如圖，己知直線 AB經(jīng)過O 0上的點(diǎn) C,且OA=OB , CA=CB , OA交O O于點(diǎn)E.證明：直線AB與O O相切；（2）若AE=a, AB=b，求O O的半徑；（結(jié)果用a, b表示）（3）過點(diǎn)C作弦CD丄OA于點(diǎn)H，試探究O O的直徑與OH、OB之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.第24題圖【答案】（1）證明：連接 OC, / OA=OB, CA=CB ,二OC丄AB（三線合一），直

6、線 AB與O O相切.（也可先證 OCABA OCB，再證/ OCA= / OCB=9O 得直線 AB與O O相切）AE(2 )在RtA OCA中，設(shè)O O的半徑為r，由勾股定理得2= ：r a ,解得rb2 -4a28aO O的半徑r二b2-4a28a(3)答：0 O的直徑的平方等于 OH、OB乘積的4 倍.證明： CD 丄 OA，直線 AB 與O O 相切，CHO = Z OCB=9O/ OA=OB,./ COH= / BOC,.A COHsABOC ,OCOHOB OC，即 OC2 =OB OH ,/ OC是直徑的一半，直徑的平方等于OH、OB乘積的4 倍.(2014河池，25,10分)

7、0 O的半徑為5,AB是O O的直徑，點(diǎn)C在O O上，點(diǎn)D在直線 AB上.如圖(1)，已知/ BCD=Z BAC,求證:CD是O O的切線；如圖(2) ,CD與O O交于另一點(diǎn) E,BD： DE : EC=2 : 3 : 5,求圓心 O到直線CD的距離； 若圖(2)中的點(diǎn)D是直線AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，會出現(xiàn)在C,D,E三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連 線的中點(diǎn)的情形，問這樣的情形出現(xiàn)幾次 ？解答：(1)證明：T AB 是O O 的直徑，/ ACB=90,即/ BAC + Z ABC=9 0;連結(jié) OC ,V OC=OB, / OBC= / OCB , v/ BCD =Z BAC，/ BC

8、D+Z OCB=90,. OCL CD, CD 是O O 的切線；(2)連結(jié) BE、AC , v AB 是O O 的直徑，/ ACB=9 0,/ AEB=9 0 ,又 v/ DBE= / AEB+/ BAE=9 0+/ BAE , / ACE= / ACB+/ BCE=9 0+/ BCE, / BAE= / BCE, / DBE= / ACE , v/ EDB= / ADC , EBDA ACDED BD,設(shè) BD=2X ,貝U由 BD： DE : EC=2 : 3 : 5可得：DE=3 X , CE=5 X , CD=8 X ,AD CD3x 2x AB=10 , AD=1 0+ 2x ,，

9、解得：x=1 , CE=5。10+2x 8x連結(jié)OC,過點(diǎn)O作OF丄CD CF=5 , OF= 5 I 3，圓心O到直線CD的距離為 3。2 2 2(3)四次.當(dāng)D點(diǎn)在線段AB外部運(yùn)動到某一位置時(shí)，會出現(xiàn)E是線段CD的中點(diǎn)；(H)當(dāng)D點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動時(shí)，CD丄AB,此時(shí)CD交O O于一點(diǎn)E,則由垂徑定理可判斷出D是CE的中點(diǎn);當(dāng)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，CD交O O于一點(diǎn)E,此時(shí)CE恰好為O O的直徑，則有 DE=DC，故D是CE的中點(diǎn).(2014廣西省貴港市，25 , 10分)如圖所示，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點(diǎn)P是大半 圓O上一點(diǎn)，PA與小半圓 M交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD丄OP

10、于點(diǎn)D .求證：CD是小半圓M的切線；若AB = 8,點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(點(diǎn)P不與A, B兩點(diǎn)重合)，設(shè)PD = x, CD2= y.求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；當(dāng)y= 3時(shí)，求P, M兩點(diǎn)之間的距離.第25題圖【答案】解：(1)連接 MC,/ OA= OPA=Z P/ MA = MCA =Z MCA/ P = Z MCA MC / OPMCD =Z CDP/ CD 丄 OPCDP = 90/ MCD = 90 CD是小半圓M的切線(2)如圖，連接 OC,./ OCA = Z OCP = 90/ CD 丄OPCDP = 90 CDO PDC CDCD2= OD PDP

11、D CD/ AB = 8, PD = x OP = 4, OD = 4 x,/ CD2= y y= x ( 4 x)(0v xv 4)當(dāng) y= 3 時(shí)，x (4 x)= 3 解得：x1= 1, x2= 3,當(dāng)x= 1時(shí)，如圖1,則 CD =73 , OD = 3,./ COD = 30 OC = 2詬COA = 30/ DOA = Z CAO= 60 PAO 是等邊三角形 PM = 2 3AMO ER當(dāng)x= 3時(shí)，如圖2,則 CD = (3 , OD = 1,./ COD = 60 OC = 2,./ COP = Z COA = 60 / CAO = 30 過點(diǎn)P作PE丄AB,連接PB則 PE

12、= ,3 , BE = 2,. ME = 4(2014湖北省潛江、天門、仙桃市，24, 10分)如圖，ABC與ADEF是將ACF沿過A點(diǎn)的某條直線剪開得到的(AB、DE是同一條剪切線)平移DEF使頂點(diǎn)E與AC的中點(diǎn)重合，再繞點(diǎn) E旋轉(zhuǎn)DEF，使ED , EF分別與 AB, BC交于M , N兩點(diǎn)圖EM與EN有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論;(1 )如圖，ABC中，若 AB=BC，且/ABC=90 ,則線段如圖，AABC中，若AB=BC，那么(1 )中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明 理由； 如圖，ABC中，若AB:BC =m:n,探索線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論

13、【答案】圖D圖圖解：(1) EM=EN(2) EM = EN仍然成立.證明：過點(diǎn)E作EG丄BC,EH JAB,G、H為垂足，連接BE,如圖B圖/EHB= /EGB=90 / HBG+/HEG=180 在四邊形BHEG中，/ZHBG+ ZHEG=180 ./HEG= /DEFAB=BC,E 為 AC 中點(diǎn)， BE 平分/ ABC, aEH = EG HEM GEN EM=EN線段 EM與EN滿足關(guān)系：EM:EN = n : m證明：過點(diǎn) E作EG丄BC, EH丄AB, G、H為垂足，連接 BE,如圖/EHB= ZEGB=90 在四邊形 BHEG 中，/ HBG + ZHEG=180 ./HBG+

14、 ZHEG=180 /HEG= /DEF /HEM=/GENHEM sGENEM:EN = EH:EG-E 為 AC 中點(diǎn)，SAbe = S.cbe11即：丄 AB EH BC EG22 EH:EG = BC:ABEM:EN=BC:AB= n:m(2014年湖北省恩施州，23, 10分)如圖13, AB是O O的直徑，CD是弦,AB丄CD,垂足為E.連接AC、AD , 延長AB交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn) P,且/ DCP= / DAC.求證：PC是O O的切線；(2 )若 AC=5 , CD=6，求 PC 的長.A【答案】解:如圖，連接OC, AB丄CD, AB是O O的直徑，弧 BC=弧 BD，/

15、CEO=90 ,/ CAB= / DAB ,/ DAC= 2 / CAB,又/ COB=2/CAB,/ DAC= / COB,/ DCP= / DAC,又在 RtA ABE 中，/ CEO=90,/ ECO+ / COB=90 / ECO + / DCP =90 / PCO=90 .OC丄PC,又OC為O O的半徑.PC是O O的切線./ AB 丄CD ,11CE=DE= CD= X 6=3,22在 Rt AACE 中，AC=5 , CE=3 , AE= ,AC2- CE2=4,設(shè)O O的半徑為R,在 RtOCE 中，OC=R , OE=AE-OA=4-R ,oe2+ce2=oc2,( 4-R

16、) 2+32=R2，解得 R= 25 ,8OC= 25, OE=4- 25 = 7,8t/ EOC= ZDCP, Rt PCERt COE,匹= CE,即PCOC OE258 PC= 75 .7(2014年湖南省張家界市，24, 10分)(滿分10分)如圖，在四邊形 ABCD中，AB = AD , CB= CD , AC與BD 相交于O點(diǎn)，OC = OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連結(jié) BE交AC于點(diǎn)F，連結(jié)DF.證明：CBF CDF ;若AC = 2.3 , BD = 2，求四邊形 ABCD的周長；請你添加一個(gè)條件，使得/ EFD =ZBAD，并予以證明.CB =CD,【答案】解: (1)證明：

17、/ AB= AD, CB= CD , AC 是 BD 的垂直平分線, BF=DF 在CBF 與CDF 中，4=8.答案不唯一，第一種添加BE丄CD,或/ CEB= / FED.證明:t CBF CDF,/ CBE = Z EDF .又 BE丄 CD,/ CEB= /FED =90. CBEsAFDE./BCD= /EFD.又四邊形ABCD是菱形，/ BCD= /BAD./ EFD = /BAD.第二種：添加BCDFBEDE證明：/ cbf cdf , / CBE = / EDF. BC BE又,DF DE CBEsAFDE./ BCD= /EFD.又四邊形ABCD是菱形,/ BCD= /BAD

18、./ EFD = /BAD.(2014湖南湘西州，23, 10分)如圖，在8X 8的正方形網(wǎng)格中， CAB和厶DEF的頂點(diǎn)都在邊長為 1的小正方形的頂點(diǎn)上，AC與網(wǎng)格上的直線相交于點(diǎn) M .填空：AC=, AB=;求/ ACB的值和tan / 1的值；判斷 CAB和厶DEF是否相似？并說明理由.(/一BAD/-E第二題圖【答案】解：(1) 2 .5 , 2 ,10 ;T BC=AC= . 2242 =2 .5 , AB= . 2262 = 2.10 , BC2+AC2= (2 . 5)2+ (2 . 5)2 =40, AB2= (2 一 10)2 =40 ,2 2 2- BC +AC =AB

19、, ABC是直角三角形，且/ ACB=90 ./ 2 1tan / 1=.2相似，理由如下:DE= ,12 22 = 5 , DF= 12 22 = .5 , EF.12 32 = 10 ,AC=2 5=2, BC = 2 5=2, AB = 2 10=2DE 5 DF 5 EF 10AC = BC = AB DE DF EF CABs def .BC=3，點(diǎn)O為對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn) PC運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)PQMN與厶ABD重疊部分的面積為 S (平(2014吉林省長春市，24 , 12分)如圖，在矩形 ABCD中，AB=4,從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DO-OC以每秒一個(gè)單位長度的

20、速度向終點(diǎn)P作PQ丄AB于點(diǎn)Q,以PQ為邊向右作正方形 PQMN ,設(shè)正方形 方單位)，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(秒).求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值.直接寫出點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍. 當(dāng)點(diǎn)P在折線AO-DO上運(yùn)動時(shí)，求 S與t之間的函數(shù)關(guān)系式 4)直接寫出直線 DN平分 BCD的面積時(shí)t的值.第(24)題【答案】解：(1)當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，如圖3PN=PA=t, DP= PN=t .43 t+t =3 .4解得t=?當(dāng)t= 時(shí)，點(diǎn)N落在BD上.7(2)當(dāng)點(diǎn)O落在MN邊上時(shí)，如圖圖此時(shí)，AP=AM = 1AB=2, t=22當(dāng)點(diǎn)O落在PQ邊上時(shí)，如圖圖此時(shí)，AD+DP=3+- = 11

21、, t2 2 2當(dāng)點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍是2v tv 11當(dāng)0vtw 12時(shí)，如圖.7圖2 2S=S 正方形PQMN =12當(dāng)上v tw 3時(shí)，如圖圖S=S 正方形 PQMN SanFE=t2-1 7t_34 7t-32 43 4=-25t2 7t-6.2411當(dāng)3v tw時(shí)，如圖.2S= S 梯形 PQME=丄8-t3 8- t 3 8-t TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark109 o Current Document 2 IL205592= t -840 HYPERLINK l bookmark114 o Current Document

22、9 丄2 1872= t - t+ - HYPERLINK l bookmark118 o Current Document 4055作BC的中點(diǎn)E點(diǎn)，連結(jié)DE,如圖.圖 DN平分 BCD的面積，點(diǎn)N在DE上.作NG丄AD于點(diǎn)G , EH丄AD于點(diǎn)H ,/ GN / HE,DGNDHE ,GNDG 13，其中，HE=AB=4, DH=CE=BC= HED H22設(shè)正方形的邊長為 m,貝U DG=AD-MN=3-m,GN 3- m當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，如圖此時(shí)，GN=AM=m,3- m ?代入（1）得，m424解得m=.1124 AP=,11 t= 2411當(dāng)點(diǎn)P在線段DO上時(shí),此時(shí)，GN=AM

23、=AQ+QM =4-m代入（1）得，一412解得m= .7AD+DP=3+AQ X如圖333647 t=367當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，如圖圖+m=73m，i 3此時(shí)，GN=AM=2+imI 2丿317 m代入(1)得，蟲一48解得m= .5 AD+DO+OP=3+ 5 +21763 t=173當(dāng)直線DN平分 BCD的面積時(shí),t=24 或 t=36 或117t=1739. (2014遼寧朝陽,交線段AC、BC于25, 10分)已知Rt ABC中，AC = BC= 2.直角頂點(diǎn) P在AB上滑動，直角的兩邊分別 E、F兩點(diǎn).(1)如圖1,(2)如圖2,立AP 1 口亠亠、 PE 1當(dāng)且PE丄AC時(shí)，求

24、證：一PB 3PF 3AP當(dāng)1時(shí)(1)的結(jié)論是否仍然成立？為什么?PB(3)在( 2)的條件下，將直角/ EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)/ BPF = a ( 0V a V 90).連結(jié)EF，當(dāng) CEF的周長等于2-46時(shí)，請直接 寫出a的度數(shù).3.【答案】解：(1 )T PE 丄 AC,：/ PEA = 90=/ C. PE / BC.A AEPs PFBAP PE 1PE 1又.PF = PB -PB BF 3BF 3(2)BAP如圖，連接 CP T1 AP = PB , ACB 為等腰直角三角形， CP = AP = PB，/ A =Z PCF = 45PBPE/ APE +Z EPC=Z EPC

25、 +Z CPF = 90./ APE =Z CPF APE CPF PE= PF 1PF(3) 75 或 15(2014遼寧錦州，25, 12分)(1)已知正方形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點(diǎn) O,如圖 ，將？BOC 繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到？B OC OC與CD交于點(diǎn)M，OB與BC交于點(diǎn)N，請猜想線段 CM與BN的數(shù)量 關(guān)系，并證明你的猜想.(2)如圖，將(1)中的？BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到？BO C,連接AO DC 請猜想線段 AO與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.圖求出匹的值(用:的三角函數(shù)表示)CFC(3)如圖 ，已知矩形 ABCD 和Rt?AEF有公共點(diǎn) A，且/ AEF

26、=90,/ EAF = Z DAC =:,連接 DE、CF，請圖圖【答案】解：(1) BN=CM 理由如下：,四邊形ABCD是正方形，1 BO=CO ,Z BOC=9O,/ OBC = Z OCD = X9O=450.,2由旋轉(zhuǎn)可知，/ B OC 90,/ BON = Z COM, ,J2(2) AO =DC. ，”，”，”，”，”,5 分2由旋轉(zhuǎn)可知，/ OBC=/OBC=45,/ BO C=/BOC=90.BO _ 2BC 2又四邊形 ABCD是正方形， /ABO =1 X900=45,. AB2BDBO / ABO / OBCAB2BCBD ?ABO s?OBC AODC-，即 AO 2

27、DC ,2 -(3)在矩形 ABCD 中，/ ADC =90,/ AEF =90，/ AEF = / ADC/ EAF = Z DAC=: , ?AEF s ?ADCAE AF10分又/ EAF + Z FAD = Z DAC+Z FAD，/EAD =Z FAC, ?AED s?AFC, 匹CFAEcos：AF12分(2014內(nèi)蒙古巴彥淖爾，21, 8分) 如圖，O O是厶ABC的外接圓，BC為O O直徑，作/ CAD= / B且點(diǎn) D在BC的延長線上，CE丄AD于點(diǎn)E .求證：AD是O O的切線；若O O的半徑為6, CE=1，求CD的長.【答案】(1)證明：連接OA/ BC為O O的直徑/

28、 BAC=9 0 / B+ / ACB=9 0/ OA=OC/ OAC= / OCA/ CAD= / B/ CAD+ / OAC=9 0 即/ 0AD=9 0 0A 丄 AD點(diǎn)A在圓上AD是O O的切線.(2)解：T CE 丄 AD/ CED= / OAD=9 0CE/ OA CED OADCD CE,CE=1OD OA設(shè) CD=x，貝U OD=x+6解得*=，經(jīng)檢驗(yàn)* =是原分式方程的解.5所以CD =.5（2014內(nèi)蒙古巴彥淖爾，23 ,10分）如圖1，將三角板放在正方形 ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn) E 與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交 CD于點(diǎn)F,另一邊交CB的延長線于點(diǎn)

29、G .（1）求證：EF= EG:如圖2,移動三角板，使頂點(diǎn) E始終在正方形 ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.如圖3,將中的“正方形 ABCD ”改為“矩形 ABCD ”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn) B，其他條件不變，若AB = a, BC = b，求的值.EG，/ DEF+ / BEF=90【答案】 證明：/ GEB+ / BEF=9 0/ DEF= / GEB又 ED=BE , Rt FED 也 Rt GEB EF=EG(2)成立證明：如圖，過點(diǎn) E分別作BC CD的垂線，垂足分別為 HI，貝U EH=EI,Z HEI=9 0,同理可得 Rt FEI也Rt GEH EF=EG如圖，過點(diǎn) E分別作BC CD的垂線，垂足分別為 M N,貝MEN=9 0 , EM/ AB , EN/ AD .EM CE EN EM AB aAB _CA 一 AD EN 一 AD 一 b/ GEM + /M EF=90，/ FEN+ / MEF=9 0FEN= / GEM , Rt FEN s Rt GEM .EF EN bEG - EM a(2014青海，27, 8分)請你認(rèn)真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題(1)如圖15- 1，將角尺放在正方形 ABCD上，使角尺的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)D重合，角尺