曲線凹凸性以及曲率

1、關(guān)于曲線的凹凸性及曲率第一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月問題:如何研究曲線的彎曲方向?問題: 如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性?第二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凸的一、（一）曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月曲線凹凸的判定:第四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，(2)若時(shí)，恒有，則曲線在內(nèi)凸的(1)若時(shí)，恒有，則曲線 在內(nèi)凹的；第

2、五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例解注意到,第六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（二）曲線的拐點(diǎn) 第七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月求拐點(diǎn)的一般步驟：令，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；對(duì)步驟求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、右鄰近的的符號(hào)，如果異號(hào)則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；如果同號(hào)則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)第八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí). 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1) 求2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3) 列表判別故該曲線在及上是凹的,

3、是凸的 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及均為拐點(diǎn).凹凹凸第十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月xoyl二、 漸近線 第十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月03.08.202213 曲線漸近線的分類第十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月注意：只有當(dāng)函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間時(shí)，其曲線才有可能存在水平漸近線第十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解因?yàn)?，所以是曲線的水平漸近線又因?yàn)?是的間斷點(diǎn),且，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線例 求曲線的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線.第十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例 求曲線的水平漸

4、近線和鉛垂?jié)u近線.解因?yàn)?，所以是曲線的水平漸近線又因?yàn)?和-1是的間斷點(diǎn)，且，所以和是曲線的鉛垂?jié)u近線第十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月三、復(fù)雜函數(shù)圖形的描繪步驟 :1. 確定函數(shù)的定義域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點(diǎn) ;并考察其對(duì)稱性及周第十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 描繪的圖形.解: 1) 定義域?yàn)闊o對(duì)稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn)）(極小)4)第十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十張，PPT共三十二頁

5、，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2- 1-12o1第二十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月四、平面曲線的曲率-曲線的彎曲程度決定于描述曲線在一點(diǎn)的彎曲程度第二十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4、1 曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn) M 取弧段對(duì)應(yīng)切線轉(zhuǎn)角定義弧段 上的平均曲率點(diǎn) M 處的曲率曲率K 的計(jì)算公式第二十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .解: 如圖所示 ,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .第二十五張，PP

6、T共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月拋物線例上哪一點(diǎn)處的曲率最大？解：根據(jù)曲率的計(jì)算公式由代入公式得若 a, b 給定，則時(shí)，曲率 K 最大，即即拋物線的頂點(diǎn)處曲率最大第二十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4、2 曲率圓與曲率半徑設(shè) P 為曲線 C 上任一點(diǎn) ,在點(diǎn)在曲線把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) P 處的曲率圓( 密切圓 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做曲率中心.P 處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使第二十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在 I 上單調(diào)遞增在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)曲線在I上向下凹第三十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn) :使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2) 第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極