論文函數(shù)的極值問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用

1、函數(shù)的極值問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用一、函數(shù)求極值方法的介紹利用函數(shù)求極值問(wèn)題，是微積分學(xué)中基本且重要的內(nèi)容之一，函數(shù)求極值的方法很多，但主要可分為初等方法和微積分中的導(dǎo)數(shù)方法等。用初等方法求最值問(wèn)題，主要是利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)，二次函數(shù)非負(fù)的性質(zhì)，算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)。正弦，余弦函數(shù)的最值性質(zhì)討論問(wèn)題。一般而言，他需要較強(qiáng)技巧，在解決某些問(wèn)題時(shí)，其解法讓人賞心悅目，但這些方法通用性較差，利用高等數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)等工具求解極值問(wèn)題，通用性較強(qiáng)，應(yīng)用也較強(qiáng)，應(yīng)用也較廣泛，下面給出用導(dǎo)數(shù)求極值最值得一些定理和方法。1、一元函數(shù)極值的判定及求法定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x點(diǎn)處可導(dǎo)，且在x處取得極值

2、，那么f(x)0。00使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，即為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但反過(guò)來(lái)，函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。當(dāng)求出駐點(diǎn)后，還需進(jìn)一步判定求得駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)，下面給出判斷極值點(diǎn)的兩個(gè)充分性條件。定理2（極值的第一充分條件）設(shè)f在x連續(xù)，在某領(lǐng)域U(x;)內(nèi)可導(dǎo)。00（1）若當(dāng)x(x0取得最小值。（2）若當(dāng)x(x0,x)時(shí)f(x)0，當(dāng)x(x,x000,x)時(shí)f(x)0，當(dāng)x(x,x000)時(shí)f(x)0，則f在點(diǎn)x0)時(shí)f(x)0，則f在點(diǎn)x0取得最大值。定理3（極值的第二充分條件）設(shè)f在x連續(xù)，在某領(lǐng)域U(x;)內(nèi)可導(dǎo)，在xx處000二階可導(dǎo)，在xx處二階可導(dǎo)，

3、且f(x)0，f(x)0。00（1）若f(x)0，則f在x取得極大值。00（2）若f(x)0，則f在x取得極小值。00由連續(xù)函數(shù)在a,b上的性質(zhì)，若函數(shù)f在a,b上一定有最大、最小值。這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大、最小值提供了理論保證，本段將討論怎樣求出最大（?。┲?。在一個(gè)區(qū)間上，一個(gè)函數(shù)的最值可能在不可導(dǎo)點(diǎn)取得，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得，除去這兩種情況之外，必然在區(qū)間內(nèi)部的可導(dǎo)點(diǎn)取得，根據(jù)上面的必要條件，在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，即為駐點(diǎn)。因此，我們?nèi)绻笠粋€(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的最值，只要列舉出不可導(dǎo)的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)以及駐點(diǎn)，然后比較函數(shù)在這些點(diǎn)的最值，即可求出最值。下面我們給出用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)最大、最小

4、值的方法，步驟：（1）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；（2）令f(x)0，求出f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)f(x)不存在的點(diǎn)1xxx,x,x,.,；012nf(x（3）計(jì)算函數(shù)值f(x),.,),f(a),f(b)；2n（4）比較上述函數(shù)值的大小，最大者就是f(x)在區(qū)間a,b上的最大值，最小者就是f(x)在閉區(qū)間a,b上的最小值。2、多元函數(shù)極值的判定在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到多元函數(shù)的最大值最小值問(wèn)題。與一元函數(shù)相類(lèi)似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值極小值有密切聯(lián)系，因此我們以二元函數(shù)為例，先來(lái)討論多元函數(shù)的極值問(wèn)題。定義設(shè)函數(shù)zf(x,y)的定義域?yàn)镈。P(x,y)為D的內(nèi)點(diǎn)。若存在

5、P的某個(gè)鄰0000域U(P)D，使得對(duì)于該鄰域異于P的任何內(nèi)點(diǎn)(x,y)，都有000f(x,y)f(x,y)00則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)，點(diǎn)(x,y)稱(chēng)為函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn)；若對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)0000異于P的任何點(diǎn)(x,y)，都有0f(x,y)f(x,y)00則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)有極小值f(x,y)，點(diǎn)(x,y)稱(chēng)為函數(shù)f(x,y)的極小值000000點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n元函數(shù)，設(shè)n元函數(shù)uf(P)的定義域?yàn)镈。P為D的內(nèi)點(diǎn)，若存在P的某個(gè)領(lǐng)域U(P)D，使得該鄰域內(nèi)異于P的任何點(diǎn)P，都00

6、00有f(P)f(P)（或f(P)f(P)）00則稱(chēng)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P有極大值（或極小值）f(P)。00二元函數(shù)的極值問(wèn)題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，下面兩個(gè)定理就是關(guān)于這問(wèn)題的結(jié)論。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x,y)處有0000極值，則有f(x,y)0,f(x,y)0 x00y00怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題。2定理2（充分條件）設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階00連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又f(x,y)0,f(x,y)0，令x00y00f(x,y)A,f(x,y)B,f(x,y)Cxx00 xy00

7、yy00則f(x,y)在(x,y)處是否取得極值的條件如下：00（1）ACB2（2）ACB20時(shí)具有極值，且當(dāng)A0時(shí)有極大值，當(dāng)A0時(shí)有極小值；0時(shí)沒(méi)有極值。對(duì)于多元函數(shù)中有條件約束的這類(lèi)問(wèn)題，可采用拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)zf(x,y)在附加條件(x,y)0下的可能極值點(diǎn)，可以先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)f(x,y)(x,y)其中為參數(shù)，求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)并使之為零，然后與方程（2）聯(lián)立起來(lái)：f(x,y)(x,y)0 xxf(x,y)(x,y)0yy(x,y)0由這方程組解出x,y及，這樣得到的(x,y)就是函數(shù)f(x,y)在附加條件(x,y)0下的可能極值點(diǎn)。這方法還可

8、以推廣到自變量多于兩個(gè)條件多于一個(gè)的情形。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)確定。有了上面的基礎(chǔ)，下面將重點(diǎn)介紹函數(shù)的極值問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用。二、函數(shù)極值問(wèn)題的應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，往往要求在一定條件下，提高生產(chǎn)效率，降低成本，節(jié)省原材料，解決這一類(lèi)問(wèn)題，就需要用到函數(shù)的最大值最小值知識(shí)，這一節(jié)講重點(diǎn)看一些這方面的例子。1、合理密植設(shè)每畝中50株葡萄藤，每株葡萄藤將產(chǎn)出75kg葡萄，若每畝再多種一株葡萄藤（最多20株），每株產(chǎn)量平均下降1kg。試問(wèn)每畝種多少株葡萄藤才能使產(chǎn)量達(dá)到最高？解：設(shè)每株多種x株，則產(chǎn)量為f(x)(50 x)(75

9、x),問(wèn)題歸結(jié)為求目標(biāo)函數(shù)f(x)在0,20上的最大值30 x20f(x)252x令f(x)0，解得x12.5f(x)20由二階微商檢驗(yàn)法，當(dāng)x12.5時(shí)，f(x)有極大值，而x12.5是0,20內(nèi)唯一極大值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際，取整體株x13時(shí)，f(x)取得最大值，即每畝種501363株時(shí)，產(chǎn)量可達(dá)最高f(13)3906(kg)。2、環(huán)境污染某經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)的項(xiàng)目建設(shè)，對(duì)釋放到空氣中的污染要進(jìn)行控制，設(shè)對(duì)污染的測(cè)定要求與污染源的距離至少要1km，在污染源相對(duì)集中的情況下，空氣受污染的成都與釋放的污染量成正比，與到污染源的距離成反比（設(shè)比例系數(shù)為1），先有兩個(gè)相距10km的工廠區(qū)A與B，分別釋放的污染為6

10、0g/mL與240g/mL，若想在A，B間建造一個(gè)居民小區(qū)，試問(wèn)居民小區(qū)建在何處所受污染最??？解：設(shè)x為居民小區(qū)受到污染最小時(shí)到工廠區(qū)A的距離，居民小區(qū)受工廠區(qū)A的污染為60 x240，居民小區(qū)受工廠區(qū)B的污染為，居民小區(qū)受到的總污染為P，這就是要尋找10 x的目標(biāo)函數(shù)P(x)60240,x1,9x10 xP(x)60240 x2(10 x)2令P(x)0，即60240 x2(10 x)20解得x1103,x2舍10(1,9,去)1,9再與區(qū)間1,9的端點(diǎn)x1,x9的值作比較，得p()54(g/mL)（最小）106024031010103360200p(1)87(g/mL)1960240p(9

11、)247(g/mL)91094居民小區(qū)建在離工廠區(qū)A10km處所受污染最小。33、用料最省市場(chǎng)上裝飲料的易拉罐是用鋁合金制造的，罐身（側(cè)面和底部）用整塊材料拉制而成頂蓋的厚度是罐身厚度的3倍。以容積為V的易拉罐為例，問(wèn)如何設(shè)計(jì)一拉罐的底面直徑和高才能使用料最??？解：記易拉罐的容積V350ml（常數(shù)）設(shè)罐身的厚度為，頂蓋為3，底面直徑為d，高h(yuǎn)Vdd224d()24V，于是，罐身用料（體積）為dd24Vf(d)()2dh()1頂蓋用料（體積）為24d3f(d)3()2d22易拉罐的用料f(d)f(d)f(d)(d2124Vd),0d因此，問(wèn)題化為求目標(biāo)函數(shù)f(d)(d24Vd)在(0,)內(nèi)的最小

12、值。對(duì)f(d)求微商，得f(d)(2d4V)d23令f(d)0得d2V是f(d)在(0,)內(nèi)的惟一駐點(diǎn)。這是實(shí)際問(wèn)題。最小值肯定存在，因此d32V323506.06cm是F(d)的最小值點(diǎn)。而高h(yuǎn)4V4Vdd2d32d12.12cm。4、最快速度設(shè)一輛水陸兩用汽艇在水上的速度為v(km/h)，1在陸地上的速度為v(km/h)?，F(xiàn)因需要，要求汽艇最2快地從水中的A的到達(dá)陸地上的B點(diǎn)（圖），5T(X),0 xl。試問(wèn)兩用汽艇應(yīng)按怎樣的路線走？解：由常識(shí)知道，汽艇在水中或陸地上都應(yīng)該走直線，所以，汽艇實(shí)際走的路程為兩直線組成的折線APPB，如圖3所示，汽艇的行駛時(shí)間為h2x2h2(lx)212vv1

13、2問(wèn)題歸結(jié)為求T(X)在0,1上的最小值，即x滿足什么條件，T(X)取得最小值。對(duì)T(X)求微商，得T(X)xvh211x2v2lxh2(lx)22由于T(X)1v1h2132(h2x)211v2h223h2(lx)2220,0 xl可知T(x)在(0,l)內(nèi)的零點(diǎn)x必為T(mén)(X)的極小值點(diǎn)，從而是T(X)在0,l上的最小值點(diǎn)。0 x滿足T(x)0，即0 x0vh211x20v2lx0h2(lx)2206x2sin,vh2(lx)2sin，則記x0h21021lx0202sinv11sinv22如果將汽艇換成一束光線，水與陸地?fù)Q成兩種不同的介質(zhì)，這就是光學(xué)中著名的折射定律，其中1,2，分別是光線

14、的入射角與折射角。定律告訴我們：光線總是沿著最省時(shí)間的路線傳播的。5、庫(kù)存成本模型庫(kù)存成本模型是存貯論的一個(gè)確定性模型，而存貯論則是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。工廠要保證生產(chǎn)，需要定期的訂購(gòu)各種原材料存在倉(cāng)庫(kù)里，大公司也需要成批的購(gòu)進(jìn)各種商品，放在庫(kù)房里以備銷(xiāo)售，不論是原材料還是商品，都遇到一個(gè)庫(kù)存多少的問(wèn)題，庫(kù)存太多，庫(kù)存費(fèi)用就高；庫(kù)存太少，要保證供應(yīng)，勢(shì)必增多進(jìn)貨次數(shù)，這樣一來(lái)，定貨費(fèi)高了，因此，必須研究如何合理地安排進(jìn)貨的批量、次數(shù)，才能使總費(fèi)用（庫(kù)存費(fèi)+定貨費(fèi)）最省的問(wèn)題。這里討論的模型是：需求恒定，不允許缺貨，要成批進(jìn)貨，且只考慮庫(kù)存費(fèi)與定貨兩種費(fèi)用。由于在每一進(jìn)貨周期內(nèi)，都是初始時(shí)進(jìn)貨，即貨

15、物的初始庫(kù)存量等于每批的進(jìn)貨量x，以后均勻消耗，在周期末存量為0，故平均庫(kù)存量為x2。為了弄清庫(kù)存-成本模型的運(yùn)作過(guò)程，下面舉一例。例A公司每月需要某種商品2500件，每件金額150元，每年每件商品的庫(kù)存成本為金額的16%，每次定貨費(fèi)100元，試求最優(yōu)批量及最底成本（即庫(kù)存量與訂貨費(fèi)之后最?。?。x2500tO解：設(shè)批量為x(x0)，則平均庫(kù)存量為x（庫(kù)存量）（時(shí)間），訂貨次數(shù)為2x庫(kù)存費(fèi)=（庫(kù)存量（件）（庫(kù)存成本/件）x15016%=x,212訂貨費(fèi)=（定貨次數(shù)）(定貨費(fèi)/次）2500250000=100 xx庫(kù)存成本C(x)庫(kù)存量+訂貨量。250000從而C(x)xx250000C(x)1x

16、2另C(x)0,得x500(件），x500（舍去）這是時(shí)間問(wèn)題，最小值一定存在，因此，最底成本C(500)5002500005001000(元），這就是說(shuō)，最優(yōu)批量為每次500件，每月訂貨次數(shù)為6、最大利潤(rùn)問(wèn)題725005005次，最低庫(kù)存成為1000元。設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)和價(jià)格函數(shù)分別為x2x2C(x)38005x,P(x)50100100決定產(chǎn)品的生產(chǎn)量，以使利潤(rùn)達(dá)到最大。解：銷(xiāo)售額函數(shù)為x2R(x)xP(x)50 x,100令R(x)C(x),50 xx550500求得x2500，又因?yàn)镽(x)1150500C(x)所以生產(chǎn)量為2500單位時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大。7、化學(xué)問(wèn)題在萃取過(guò)程中，若用

17、V毫升的萃取劑分兩次萃取，證明，當(dāng)每次的萃取劑用量為V2毫升時(shí)，其萃取效果最好。解：設(shè)有V毫升含有W克溶質(zhì)的水溶液，若在第一次萃取時(shí)加入V毫升萃取劑，則由12第二章可知在水溶液中所剩余的溶質(zhì)為W1WKVKV11V2第二次萃取時(shí)，再把剩下的VV毫升萃取劑加到含有W克溶質(zhì)的V毫升水溶液中，可得211第二次萃取后在水溶液中所剩余的溶質(zhì)為W2WW1KV1KV(VV)2KV1KVVKV121KV1(VV)2W(KV1(KV)21V)(KV21VV)2要求萃取效果最好，也就是要選擇適當(dāng)?shù)腣使兩次萃取后在水溶液中所剩余的溶質(zhì)最少。2求函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)得dWdV22W(KV)21(KV1V2VV)2(KVVV)2

18、2222。解方程dWdV220即V2V20。得V2VV。由此可見(jiàn)，函數(shù)W(V)有一個(gè)駐點(diǎn)V2228在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，駐點(diǎn)就是函數(shù)W(V)的最小值點(diǎn)，因此當(dāng)兩次的萃取劑用量都是V22毫升時(shí)萃取劑效果最好。上面的離子都是函數(shù)極值問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用，函數(shù)求極值方法的研究已是較成熟的一門(mén)學(xué)問(wèn)，極值問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)生活及工程技術(shù)等方面應(yīng)用廣泛，這里只選取了幾個(gè)典型的方法加以說(shuō)明。極值方法是解決現(xiàn)實(shí)中使產(chǎn)品最多、用料最省、成本最低等問(wèn)題的最基本的方法，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展社會(huì)的進(jìn)步，這樣的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題不僅越來(lái)越多而且越來(lái)越復(fù)雜，解決這些問(wèn)題的極值方法迅速發(fā)展，形成了以最優(yōu)化問(wèn)題為研究?jī)?nèi)容的一個(gè)重要數(shù)學(xué)分支最優(yōu)化理論。

19、由于電子計(jì)算機(jī)的日益廣泛應(yīng)用，最優(yōu)化理論和算法有機(jī)結(jié)合起來(lái)，得到了迅速發(fā)展，在實(shí)踐中正在發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。參考文獻(xiàn)：1謝季堅(jiān)、李啟文大學(xué)數(shù)學(xué)微積分及其在生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用第二版高等教育出版社2上海交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)科學(xué)出版社2004年3月3林真棋微積分在多元函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用閩江學(xué)報(bào)2004年3月4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上）第三版高等教育出版社5何炳生（南京大學(xué)數(shù)學(xué)系）楊振華（南京郵電大學(xué)物理系）6王文豐一個(gè)多元函數(shù)的最值高等數(shù)學(xué)研究所（2000年3月9FUNCTIONMINIMUMPROBLEMINACTUALCENTERAPPLICATIONLIUYa-haoAbstract:Inthedailylife,theproductionpractice,theregularmeetingmeetsasuchkindofquestion,howmanycausestheproductunderthecertaincondition,thecosttobelowestand