2022年全國統(tǒng)一高考甲卷理科數(shù)學(xué)試卷含答案解析（定稿）

1、第PAGE23頁（共NUMPAGES23頁）2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若，則ABCD2某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則A講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3設(shè)全集，0，1，

2、2，集合，則A，B，C，D，4如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為A8B12C16D205函數(shù)在區(qū)間，的圖像大致為A BC D6當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（2）ABCD17在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則AB與平面所成的角為CD與平面所成的角為8沈括的夢溪筆談是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值的計算公式：當(dāng)，時，ABCD9甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和若，則ABCD10橢圓的左頂點(diǎn)為，

3、點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對稱若直線，的斜率之積為，則的離心率為ABCD11設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是A，B，C，D，12已知，則ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，則14若雙曲線的漸近線與圓相切，則15從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為 16已知中，點(diǎn)在邊上，當(dāng)取得最小值時，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）記為數(shù)列的前項和已知（1）證明：是

4、等差數(shù)列；（2）若，成等比數(shù)列，求的最小值18（12分）在四棱錐中，底面，（1）證明：；（2）求與平面所成的角的正弦值19（12分）甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望20（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)當(dāng)直線垂直于軸時，（1）求的方程；（2）設(shè)直線，與的另一個交點(diǎn)分別為，記直線，的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時，求直線的方程2

5、1（12分）已知函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點(diǎn)，則（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）（1）寫出的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)選修4-5：不等式選講（10分）23已知，均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）若，則2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分

6、，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若，則ABCD【思路分析】由已知求得，代入，則答案可求【解析】，則故選：【試題評價】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題2某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則A講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【思路分析】對于，

7、求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)進(jìn)行判斷；對于，求出講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)進(jìn)行判斷；對于，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，進(jìn)行判斷；對于，求出講座后問卷答題的正確率的極差和講座前正確率的極差，由此判斷【解析】對于，講座前問卷答題的正確率從小到大為：，講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：，故錯誤；對于，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：，故正確；對于，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故錯誤；對于，講座后問卷答題的正確率的極差為：，講座前正確率的極差為：，

8、講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故錯誤故選：【試題評價】本題考查命題真假的判斷，考查散點(diǎn)圖、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題3設(shè)全集，0，1，2，集合，則A，B，C，D，【思路分析】求解一元二次方程化簡，再由并集與補(bǔ)集運(yùn)算得答案【解析】，1，2，又，0，1，2，故選：【試題評價】本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題4如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為A8B12C16D20【思路分析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱，四棱柱的底面是直角梯形，平面，由此能求出該多面體的體積【解析】由多

9、面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱，四棱柱的底面是直角梯形，如圖，平面，該多面體的體積為：故選：【試題評價】本題考查多面體的體積的求法，考查多面體的三視圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題5函數(shù)在區(qū)間，的圖像大致為A BC D【思路分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點(diǎn)的位置，推出選項即可【解析】，可知，函數(shù)是奇函數(shù)，排除；當(dāng)時，（1），排除故選：【試題評價】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題6當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（2）ABCD1【思路分析】由已知求得，再由題意可得（1）求得，得到函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，即可求得（2）【解析】由題意（1），則，則，當(dāng)時函數(shù)取得最

10、值，可得也是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，（1），即，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，則（2）故選：【試題評價】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)最值與極值的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題7在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則AB與平面所成的角為CD與平面所成的角為【思路分析】不妨令，可根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定長方體的各棱長，即可求解【解析】如圖所示，連接，不妨令，在長方體中，面，面，所以和分別為與平面和平面所成的角，即，所以在中，在中，所以，故選項，錯誤，由圖易知，在平面上的射影在上，所以為與平面所成的角，在中，故選項錯誤，如圖，連接，則在平面上的射影為

11、，所以為與平面所成的角，在中，所以，所以選項正確，故選：【試題評價】本題考查了直線與平面所成角，屬于中檔題8沈括的夢溪筆談是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值的計算公式：當(dāng)，時，ABCD【思路分析】由已知求得與的值，代入得答案【解析】，是的中點(diǎn)，在上，延長可得在上，故選：【試題評價】本題考查扇形及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題9甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和若，則ABCD【思路分析】設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別

12、為，高分別為，則可求得，進(jìn)而求得體積之比【解析】如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為，高分別為，則，解得，由勾股定理可得，故選：【試題評價】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題10橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對稱若直線，的斜率之積為，則的離心率為ABCD【思路分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得：，再結(jié)合，整理可得離心率【解析】【解法一】已知，設(shè)，則，故，即，代入整理得：，故選：【解法二】（、補(bǔ)解）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為, 由于點(diǎn)均在上且關(guān)于軸對稱,所以直線,也關(guān)于軸對稱, 即即故選：【試題評價

13、】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題11設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是A，B，C，D，【思路分析】由題意，利用正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，求得的取值范圍【解析】【解法一】當(dāng)時，不能滿足在區(qū)間極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以；函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，令則，又，的圖象如下所示：，求得，故選：則，解得，即故選：C【解法二】（補(bǔ)解）如圖，設(shè)在上三個極值點(diǎn)為, 三個零點(diǎn)為, 由題在上恰有三個極值點(diǎn), 兩個零點(diǎn), , 可得解得 【試題評價】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，屬于中檔題12已知，則ABCD【思路分析】構(gòu)造函數(shù)，可得，即，利用三角函數(shù)線可得，即，即，可得【解析】【解法一】

14、設(shè)，則，設(shè)，故在單調(diào)遞增，即，即，故，單調(diào)遞增，所以，可得，故，利用三角函數(shù)線可得時，即，故綜上：，故選：【解法二】（補(bǔ)解）如圖，構(gòu)造半徑為4，弧長為1的扇形，在扇形中,則故，利用三角函數(shù)線可得時，即，故綜上：，故選：【試題評價】本題考查了三角函數(shù)不等式的證明與應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬難題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，則11【思路分析】首先計算的值，然后結(jié)合向量的運(yùn)算法則可得所給式子的值【解析】由題意可得，則故答案為：11【試題評價】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，平面向量的運(yùn)算法則等知識，屬于中等題14若雙曲線的漸近線與圓相切，則【思路

15、分析】求出漸近線方程，求出圓心與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑求解即可【解析】雙曲線的漸近線：，圓的圓心與半徑1，雙曲線的漸近線與圓相切，解得，舍去故答案為：【試題評價】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是中檔題15從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為 【思路分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計算“從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個”的取法，分析其中“4個點(diǎn)在同一個平面”的情況，由古典概型公式計算可得答案【解析】根據(jù)題意，從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，有種取法，若這4個點(diǎn)在同一個平面，有底面2個和側(cè)面2個、對角面4個，一共有12種情況，則這4個點(diǎn)在同一個平

16、面的概率；故答案為：【試題評價】本題考查古典概型的計算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題16已知中，點(diǎn)在邊上，當(dāng)取得最小值時，【思路分析】首先設(shè)出，在兩個三角形中分別表示，繼而，從而利用均值不等式取等號的條件即可【解析】【解法一】設(shè)，在三角形中，可得：，在三角形中，可得：，要使得最小，即最小，其中，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故答案為：【解法二】（補(bǔ)解）以為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，則，則有所以則有，其中，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，即時取得最小值，所以【試題評價】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題

17、為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）記為數(shù)列的前項和已知（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，成等比數(shù)列，求的最小值【思路分析】（1）由已知把換為作差可得遞推關(guān)系從而證明，（2）由，成等比數(shù)列，求出首項，利用等差數(shù)列通項公式找出正負(fù)分界點(diǎn)計算即可【解析】（1）【解法一】證明：由已知有：，把換成，可得：，整理得：，由等差數(shù)列定義有為等差數(shù)列；【解法二】（補(bǔ)解），故數(shù)列是以首項為，公差為的等差數(shù)列.，故為等差數(shù)列 （2）【解法一】由已知有，設(shè)等差數(shù)列的首項為，由（1）有其公差為1，故，解得，故，所以，故可得：，故在或者時取最

18、小值，故的最小值為【解法二】（補(bǔ)解）由（1）可得，又，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時【試題評價】本題主要考查利用數(shù)列遞推關(guān)系求通項及等差數(shù)列前項和的最小值，屬于中檔題18（12分）在四棱錐中，底面，（1）證明：；（2）求與平面所成的角的正弦值【思路分析】（1）易知，取中點(diǎn)，容易證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)長度關(guān)系可得，進(jìn)而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面的法向量，利用向量的夾角公式即可得解【解析】（1）證明：底面，面，取中點(diǎn)，連接，則，則，且，四邊形為平行四邊形，為直角三角形，且為斜邊，又，面，面，面，又面，；（2）【解法一】由（1）知，兩兩互

19、相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，則可取，設(shè)與平面所成的角為，則，與平面所成的角的正弦值為【解法二】（補(bǔ)解）幾何法作交于平面，平面平面 面, 面面,過點(diǎn)作面的垂線，垂足在面與面的交線上直線與平面所成角在中: 直線與平面所成角的正弦【解法三】（補(bǔ)解）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在中，,由等體積法得：,，設(shè)與平面所成角為則【試題評價】本題考查線面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角的正弦值，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題19（12分）甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得

20、冠軍已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望【思路分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可以求出甲學(xué)校獲勝2場或者3場的概率，可以得到甲學(xué)校獲得冠軍的概率；乙學(xué)校的總得分的值可取0，10，20，30，分別求出取上述值時的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望【解析】（1）甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學(xué)校獲勝概率0.50.40.8乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3

21、場比賽中至少獲勝2場，甲學(xué)校3場全勝，概率為：，甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，則的分布列為：01020300.160.440.340.06的期望【試題評價】本題考查隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算，難度不大20（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)當(dāng)直線垂直于軸時，（1）求的方程；（2）設(shè)直線，與的另一個交點(diǎn)分別為，記直線，的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時，求直線的方程【思路分析】（1）由已知求得，則在中，利用勾股定理得，則的方程可求；（2）設(shè)，的坐標(biāo)，寫出與，再由三點(diǎn)共線可得

22、，；由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，求得與，再由兩角差的正切及基本不等式判斷，從而求得的方程【解析】（1）【解法一】由題意可知，當(dāng)時，得，可知，則在中，得，解得則的方程為；【解法二】（補(bǔ)解）如圖所示，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線線，垂足為根據(jù)拋物線定義則有，即，解得 所以的方程為；（2）設(shè)，由（1）可知，則，又、三點(diǎn)共線，則，即，得，即；同理由、三點(diǎn)共線，得則由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)，由，得，則，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，無最大值，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，取最大值，此時的直線方程為，即，又，的方程為，即【解法二】（補(bǔ)解）

23、設(shè)，直線，由可得，由斜率公式可得，直線，代入拋物線方程可得，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，所以，所以直線即.【解法三】（補(bǔ)解）(2) 設(shè).所以 .當(dāng)時取得最大值, 比時又因為 所以直線過點(diǎn),直線方程為 .【試題評價】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬難題21（12分）已知函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點(diǎn)，則【思路分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)研究其在定義域內(nèi)單調(diào)性，由于函數(shù)在恒大于等于0，故（1），解出的范圍即可（2）

24、首先將原不等式轉(zhuǎn)化為證明，再利用函數(shù)在單調(diào)遞增，即轉(zhuǎn)化為證明，繼而構(gòu)造函數(shù)證明其在恒小于0即可【解析】【解法一】（1）的定義域為，令，解得，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故（1），要使得恒成立，僅需，故，故的取值范圍是，；（2）證明：由已知有函數(shù)要有兩個零點(diǎn)，故（1），即，不妨設(shè)，要證明，即證明，即證明：，又因為在單調(diào)遞增，即證明：，構(gòu)造函數(shù)，因為又因為在上單調(diào)，所以，所以所以時，在上遞增，所以得證【解法二】（補(bǔ)解）(1) 令則當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增又顯然單調(diào)遞增 ,則(2) 單調(diào)遞增, 有兩個零點(diǎn),有且僅有一個零點(diǎn), 且有兩個解由的單調(diào)性知，分別位于兩個不同的單調(diào)區(qū)間因此不妨設(shè) 下面證明不等式 成立:要證, 即證, 令 即證 令, 即證單調(diào)遞減, 即【解法三】（補(bǔ)解）（2）由（1）可知，要使有兩個零點(diǎn)，可將問題轉(zhuǎn)化為有兩個零點(diǎn)不妨設(shè)，令，即，即，所以在上單調(diào)遞增所以，即因為，則有，即，所以因為是兩個的零點(diǎn)，所以，所以因為，則，又因為在上單調(diào)