概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學課件第四章大數(shù)定律及中心極限定理03

1、第四章 數(shù)學期望和方差分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性，但在實際問題中，隨機變量的分布函數(shù)較難確定，而它的一些數(shù)字特征較易確定并且在很多實際問題中，只需知道隨機變量的某些數(shù)字特征也就夠了. 另一方面，對于一些常用的重要分布，如二項分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體的分布。1 隨機變量的平均取值 數(shù)學期望 隨機變量取值平均偏離平均值的 情況 方差 描述兩個隨機變量之間的某種關(guān) 系的數(shù) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容2引例: 測量 50 個圓柱形零件直徑（見下表） 則這 50 個零件的平均直徑為尺寸（cm）8 9 10 11 12數(shù)量（個）8

2、7 15 10 10 504.1 數(shù)學期望3換個角度看，從這50個零件中任取一個，它的尺寸為隨機變量X , 則X 的概率分布為X P 8 9 10 11 12則這 50 個零件的平均直徑為稱之為這 5 個數(shù)字的加權(quán)平均，數(shù)學期望的概念源于此.4定義1.1：設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為若無窮級數(shù)絕對收斂，則稱其和為隨機變量 X 的數(shù)學期望或均值，記作 E( X )。數(shù)學期望的定義5常見離散型隨機變量的數(shù)學期望(1) 兩點分布 這時 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 故(2)二項分布 X的取值為0,1,n. 且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, , n

3、. E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)= p.6(3)泊松分布 X的所有可能取值為0,1,2,且7(4)幾何分布 X的可能取值為1,2, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,. 由于這可以由等式兩邊同時對x求導數(shù)得到。8例1：9例1（續(xù)）10例2.對產(chǎn)品進行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第 n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認為這批產(chǎn)品合格。假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到廢品的概率是 p，試求平均需抽查的件數(shù)。解：設(shè)X為停止檢查時，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,n，且11例2.（續(xù)）12定義1. 2 ：設(shè) X 為連續(xù)型隨機變量, 其密度函數(shù)為，若積分絕

4、對收斂，則稱此積分為隨機變量 X 的數(shù)學期望或均值，記作 E( X )。注意：隨機變量的數(shù)學期望的本質(zhì)就是加權(quán) 平均數(shù)，它是一個數(shù)，不再是隨機變量。13(5) 區(qū)間(a,b)上的均勻分布于是常見連續(xù)型分布的數(shù)學期望隨機變量X的概率密度為14(6)正態(tài)分布N(,2 )因此, 對于正態(tài)分布N(,2 ),參數(shù)就是它的數(shù)學期望.隨機變量X的概率密度為15(7)指數(shù)分布E()隨機變量X的概率密度為16注意：不是所有的隨機變量都有數(shù)學期望例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學期望不存在17定理1.1.設(shè)X的數(shù)學期望有限，概率密度f(x)關(guān)于 對稱，f( +x) = f( -x)。則E(X)= 。

5、證明：令g(t)tf(t+ )，由g(-t)-g(t)知g(t)是奇函數(shù)。于是，推論1.2.若XN( )，則 E(X)= 。 若XU( a,b ), 則 E(X)(a+b)/2。18例3.設(shè)X 的概率密度為： 求E(X)。解:注: 由于f(x)是偶函數(shù)，由定理1.1也知E(X)=0。19 設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的數(shù)學期望，而是X的某個函數(shù)的數(shù)學期望，比如說g(X)的數(shù)學期望. 那么應(yīng)該如何計算呢？4.2 數(shù)學期望的性質(zhì) 更一般的，已知隨機向量(X1 , X2 ,Xn )的聯(lián)合分布， Y= g(X1, X2 ,Xn )是(X1 , X2 ,Xn )的函數(shù),需要計算Y 的數(shù)學

6、期望，應(yīng)該如何計算呢？我們下面就來處理這個問題。20 一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照數(shù)學期望的定義把Eg(X)計算出來.21 那么是否可以不先求出g(X)的分布而只根據(jù)X的分布直接求得Eg(X)呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的. 使用上述方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，有時是比較復雜的 .22隨機向量函數(shù)的數(shù)學期望 設(shè)X=(X1 , Xn)為離散型隨機向量，概率 分布為Z = g(X1 , Xn),若則23隨機向量函數(shù)的數(shù)學期望（續(xù)） 設(shè)X=(X1 , Xn)為連續(xù)型隨機向量，聯(lián)合

7、 密度函數(shù)為 Z = g(X1 , Xn),若積分絕對收斂，則24一維情形設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)： Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數(shù)， (1) X是離散型隨機變量，其分布律為 若 絕對收斂, 則(2) X 是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x).若 絕對收斂, 則25例4.設(shè)離散型隨機向量X的概率分布如下表所示,求:Z=X2的期望. X 0 1 1 E(Z)= g(0)0.5 + g(-1)0.25 + g(1)0.25解:= 0.5注：這里的 26例5: 設(shè)隨機變量X 服從 二項分布B(n , p), Y = eaX, 求E(Y)。解:27例6.設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)的概率分布如

8、下表所示,求:Z=X2+Y的期望. E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125解:=4.25注：這里的28例7: 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為其中0, 0p1, 求E(XY).解:29注意到二項分布B(n , p)的數(shù)學期望,就有 于是注: 最后一步用了泊松分布數(shù)學期望的結(jié)果.30例8: 設(shè)X U0, Y =sinX,求E(Y)。解: X 的概率密度為所以31例9 設(shè)二維隨機變量(X ,Y)的密度函數(shù)為求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X)解: 32數(shù)學期望的性質(zhì)33數(shù)學期望的性質(zhì)注意

9、：X ,Y 相互獨立3435解：設(shè)每年生產(chǎn) y 噸的利潤為Y 顯然，2000 y 4000例10. 市場上對某種產(chǎn)品每年的需求量為X 噸 ， X U 2000,4000, 每出售一噸可賺3萬元 ,售不出去，則每噸需倉庫保管費1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸, 才能使平均利潤最大？ 3637最終，顯然，y = 3500 時，E (Y )最大，E(Y)max =8250萬元.38例11.假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑 X (mm) N ( ,1). 已知銷售每個零件的利潤T (元)與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下的關(guān)系：問平均直徑 為何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？39解：則由數(shù)學期望定義知：例

10、11.（續(xù)）40即：可以驗證，零件的平均利潤最大.故時銷售一個41解：(1) 設(shè)整機壽命為 N , 五個獨立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，若將它們 (1)串聯(lián)； (2)并聯(lián) 成整機，求整機壽命的均值. 例12.42即 N E( 5), (2) 設(shè)整機壽命為 M ,例12.（續(xù)）43 可見，并聯(lián)組成整機的平均壽命比串聯(lián)組成整機的平均壽命長11倍之多.注： 128頁的4.20與此例為同一模型。例12.（續(xù)）44 E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 當X ,Y 相互獨立時，數(shù)學期望的性質(zhì)E (X Y ) =

11、 E (X )E (Y ) .45性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互獨立.反例1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注46X Y P -1 0 1但47 若X 0，且EX 存在，則EX 0。 推論: 若X Y，則EX EY；特別地，若 aXb，a , b為常數(shù)，則a EX b . 證明：設(shè) X 為連續(xù)型，密度函數(shù)為f (x), 則 由X 0 得：所以48性質(zhì)2和3性質(zhì)4例1.設(shè) XN(10,4)，YU1,5，且X 與Y 相互獨立，求 E(3X2XYY5)。 解：由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.49例2.(二項分布 B

12、(n,p) 設(shè)單次實驗成功的概率是 p，問n次獨立重復試驗中，期望幾次成功？解: 引入則 X 是n次試驗中的成功次數(shù)。因此，這里， XB(n,p)。50例3:將 4 個可區(qū)分的球隨機地放入 4 個盒子 中，每盒容納的球數(shù)無限，求空著的盒子 數(shù)的數(shù)學期望. 解一:設(shè) X 為空著的盒子數(shù), 則 X 的概率分 布為X P0 1 2 351解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.Xi P 1 052例4. 將n個球放入M個盒子中,設(shè)每個球落入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù) X 的期望。解:引入隨機變量:則 X=X1+X2+XM ,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM). 每個隨機變量Xi都服從兩點分布,i=1,2,M.53因為每個球落入各個盒子是等可能的均為1/M,所以，對第i個盒子,沒有一個球落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M). 故，n個球都不落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M)n ,即:注：129頁4.27以此題為模型。54例5.用某臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即P第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品=假設(shè)每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺機器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。解：設(shè)X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設(shè)55例5.（續(xù)）56例6. 某廠家的自動生產(chǎn)線， 生產(chǎn)一件正品的概率