高中數學選修第一冊：空間向量與平行關系

1、PAGE 空間向量與平行關系（45分鐘 100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.直線l的一個方向向量為n=(1,3,a),平面的一個法向量為k=(b,2,3),若l,則a,b應滿足的關系式為()A.3a+b+6=0B.a=3bC.3a-b+6=0D.a=-3b2.若直線a與b的一個方向向量分別是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若ab,則m的值為()A.4B.-4C.-2D.23.設a,b分別是不重合的直線l1,l2的一個方向向量,則根據下列條件能判斷l(xiāng)1l2的是()a=(12,1,0),b=(-2,-4,0);a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);a=(5,0,2)

2、,b=(0,1,0);a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).A.B.C.D.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E1為A1C1的中點,E是AC的中點,則與CE1平行的直線為()A.ADB.A1C1C.EB1D.EA15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B,AC的中點,則MN與平面B1BCC1的位置關系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能確定二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013濟南高二檢測)設平面的一個法向量為(3,2,-1),平面的一個法向量為(-2,-43,k),若,則k等于.7.若直線l的一個方向向量為a=(3,2,-1),直

3、線ml,則直線m的單位方向向量為.8.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為BB1的中點,F為AD的中點,以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則平面D1EF的法向量是.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中點為E,BD的中點為F,證明:CD1EF.10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN平面EFBD.11.(能力挑戰(zhàn)題)已知:四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,

4、且PA=AB=2,ABC=60,BC,PD的中點分別為E,F.在線段AB上是否存在一點G,使得AF平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并給出證明;若不存在,請說明理由.答案解析1.【解析】選A.l,nk,即nk=b+6+3a=0,3a+b+6=0.2.【解析】選B.ab,ab,故m=-4.3.【解題指南】本題為求解適合平行的充分條件,可逐一驗證,因此適用排除法.【解析】選A.a=-14b,l1l2,排除B,C,a=-2b,l1l2,故選A.【變式備選】設u,v分別是不同的平面,的一個法向量,根據下列條件能判斷的是.u=(-1,1,-2),v=(3,2,-12);u=(0,0,3),v=(0

5、,0,-2);u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).【解析】判斷兩個法向量是否平行即可.u=kv的k值不存在,u與v不平行;u=-32v,uv,;u=kv的k值不存在,u與v不平行.答案:4.【解析】選D.如圖所示,建立直角坐標系Axyz,設AB=1,則C(1,1,0),E1(12,12,1),CE1=(-12,-12,1).又A1(0,0,1),E(12,12,0),EA1=(-12,-12,1),故CE1EA1,又CE1與EA1不重合,故選D.5.【解題指南】由正方體易建立空間直角坐標系,可選B1或C1為原點,求M,N的坐標是解題關鍵.【解析】選B.以C1為原點,以C1B1,C1D1

6、,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖,N(a2,a2,a),M(a,a2,a2),MN=(-a2,0,a2).而平面B1BCC1的一個法向量為n=(0,1,0),MNn=0.又MN平面B1BCC1,MN與平面B1BCC1平行.6.【解析】,(3,2,-1)=(-2,-43,k),=-32,k=-1,k=23.答案:237.【解析】ml,a=(3,2,-1)也是直線m的方向向量,又|a|=14,所求的向量為1414(3,2,-1),即m的單位方向向量為(31414,147,-1414)或(-31414,-147,1414).答案:(31414,147,-1414)或(-

7、31414,-147,1414)8.【解析】根據題意得D1(0,0,1),E(1,1,12),F(12,0,0),D1F=(12,0,-1),D1E=(1,1,-12).設平面D1EF的法向量是n=(x,y,z),則:取z=2k(k0),則x=4k,y=-3k,n=(4k,-3k,2k)(k0).答案:(4k,-3k,2k)(k0)9.【證明】如圖所示,建立直角坐標系Dxyz,設AB=1,則C(0,1,0),D1(0,0,1), CD1=(0,-1,1),又A1(1,0,1),D(0,0,0),E(12,0,12),又F(12,12,0),EF=(0,12,-12).CD1=-2EF,CD1E

8、F,又CEF,故CD1EF.10.【證明】方法一:建立如圖所示的空間直角坐標系,分別取MN,DB及EF的中點R,T,S,連結AR,ST,則A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,32,4),D(0,0,0),B(2,3,0), E(0,32,4),F(1,3,4),R(32,34,4),S(12,94,4),T(1,32,0).MN=(1,32,0),EF=(1,32,0),AR=(-12,34,4),TS=(-12,34,4).MN=EF,AR=TS,又MN與EF,AR與TS不共線,MNEF,ARTS.MN平面EFBD,AR平面EFBD,又MN平面AMN,AR平面AMN,MNAR=R,平

9、面AMN平面EFBD.方法二:建系同方法一,由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,32,4),D(0,0,0),E(0,32,4),F(1,3,4),則AM=(-1,0,4),AN=(0,32,4),DE=(0,32,4),DF=(1,3,4).設平面AMN,平面EFBD的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),令x1=1,得z1=14,y1=-23,n1=(1,-23,14),令y2=-1,得z2=38,x2=32.n2=(32,-1,38),n1=23n2,即n1n2,平面AMN平面EFBD.11.【解題指南】逆向推理是解決證明問題的關鍵,在

10、證明中結合目標逆向尋求解題思路,充分利用棱柱、棱錐中的三角形、四邊形(正方形、長方形、菱形)的性質特征找到垂直關系與平行關系,可以有效地對問題進行轉化,忽視平面圖形的性質,會使解題無從入手.【解析】由題意知PA平面ABCD,又因為底面ABCD是菱形,得AB=BC且ABC=60,所以ABC是正三角形,連接AE,又E是BC的中點,BCAE,故AE,AD,AP彼此兩兩垂直,以AE,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,PA=AB=2,故A(0,0,0),B(3,-1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C(3,1,0),PA=(0,0,-2),PC=(3,1,-2),AF=(0,1,1).假設在線段AB上存在點G,使得