《概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)》12節(jié)(生物、心理、藥學(xué)、中藥)第2章隨機(jī)變量及其分布教學(xué)課件

1、2022/8/31第一章 隨機(jī)事件及其概率幾個(gè)基本概念樣本點(diǎn)樣本空間隨機(jī)事件概率的三種定義統(tǒng)計(jì)定義公理化定義古典定義概率的計(jì)算條件概率概率乘法公式全概率公式和貝葉斯公式獨(dú)立性第1頁，共38頁。2022/8/32一、隨機(jī)變量的概念二、離散隨機(jī)變量(二項(xiàng)分布 0-1分布 泊松分布)三、連續(xù)隨機(jī)變量(均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布)四、隨機(jī)變量的分布函數(shù)五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布基本內(nèi)容：第二章 隨機(jī)變量及其分布第2頁，共38頁。2022/8/33 第一節(jié) 隨機(jī)變量第3頁，共38頁。2022/8/34第4頁，共38頁。2022/8/351. 隨機(jī)變量的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為若對(duì)于

2、每一個(gè)樣本點(diǎn)變量X 都有唯一確定實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),則X是定義在上的單值實(shí)函數(shù),即稱X為隨機(jī)變量.常用X, Y, Z等或等表示,而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí), 常用x, y, z等.定義:注：隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的單值實(shí)函數(shù);e第5頁，共38頁。2022/8/36第6頁，共38頁。2022/8/37二、 隨機(jī)變量的分類根據(jù)隨機(jī)變量 X 的取值情況，它可分為(1) 離散隨機(jī)變量:取值只有有限個(gè)或可列無窮多個(gè)值連續(xù)隨機(jī)變量:取值是在某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間(有界或無界)(2) 非離散隨機(jī)變量第7頁，共38頁。2022/8/38第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律一、 離散隨機(jī)變量的分布律或記則稱為 X 的概率分布律（

3、簡稱分布律）.其所有可能取值為且定義: 設(shè)X為離散隨機(jī)變量,要完整地了解一個(gè)離散隨機(jī)變量,不僅要知道它的所有可能取值,還需要知道它的所有可能取值相應(yīng)的概率。第8頁，共38頁。2022/8/39(2)性質(zhì)顯然，概率分布pk有下面的性質(zhì):例1.求a ，且P(1X2)解：根據(jù)概率函數(shù)的規(guī)范性，有已知離散隨機(jī)變量X的分布律為第9頁，共38頁。2022/8/310A表示第一次罰球罰中，B表示第二次罰球罰中 據(jù)以往的資料知道，某一籃球運(yùn)動(dòng)員罰球有以下規(guī)律:若罰球兩次, 第一次罰中的概率為0.75，若第一次罰中則第二次罰中的概率為0.8，若第一次未罰中則第二次罰中的概率為0.7.以X記罰球兩次其中罰中的次數(shù)

4、，求X的分布律。例2.解：X的可能取值為0，1，2.P(X=0)P(X=1)第10頁，共38頁。2022/8/311或?qū)⒎植悸杀硎緸閄012pk0.0750.3250.6或用線條圖、直方圖表示0 1 20 1 2第11頁，共38頁。2022/8/312二、 n重伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果:A及A,且P(A)=p,則稱E為伯努利試驗(yàn).將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次,則稱這一串試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。 伯努利試驗(yàn) 考慮一個(gè)簡單的試驗(yàn),它只出現(xiàn) (或只考慮) 兩種結(jié)果,如某批產(chǎn)品抽樣檢查得到合格或不合格;射擊手命中目標(biāo)或不命中;發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)0或1;擲一次骰子點(diǎn)數(shù)“6”是否出現(xiàn)等.第

5、12頁，共38頁。2022/8/313 設(shè)X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,n, 共有Cnk種方式,k次n-k次k-1次n-k-1次由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，每一種方式發(fā)生的概率均為p k (1-p) n - k因此事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生k次的概率為第13頁，共38頁。2022/8/314二項(xiàng)分布（Binomial distribution）定義：設(shè)隨機(jī)變量X具有分布律其中n為正整數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作XB (n, p)。特別當(dāng)n=1時(shí)，X的分布律為 X 0 1 pk 1-p p 則稱X服從參數(shù)為p的 (0-1)分布或伯努利分布.第

6、14頁，共38頁。2022/8/315第15頁，共38頁。2022/8/316 經(jīng)驗(yàn)表明人們患了某種疾病，有30%的人不經(jīng)治療會(huì)自行痊愈。醫(yī)藥公司推出一種新藥，隨機(jī)地選10個(gè)患這種病的患者服用了新藥，知道其中有9人很快就痊愈了。設(shè)各人自行痊愈與否相互獨(dú)立。試推斷這些患者是自行痊愈的，還是新藥起了作用。解：假設(shè)新藥毫無效用，則一個(gè)患者痊愈的概率為P=0.3. 以X表示10個(gè)患者中痊愈的病人數(shù)，例5.P（X=9）則XB（10，0.3）“概率很小的事件，在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生”（稱為實(shí)際推斷原理），現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，推斷新藥是有療效的。第16頁，共38頁。2022/8

7、/317 若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力 400次，則至少成功一次的概率為多少？成功次數(shù)服從二項(xiàng)概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 愛迪生: 天才1%的靈感99%的汗水”但那1%的靈感是最重要的，甚至比那99%的汗水都要重要第17頁，共38頁。2022/8/318是單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率(次數(shù)).三、泊松分布 (Poissons distribution)定義. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為泊松分布，記作泊松分布是由法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson(1983)提出.它適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù),而參數(shù)第18頁，共38頁。2022/8/31

8、9輛汽車通過的概率.例6.一時(shí)段內(nèi)通過某交叉路口的汽車數(shù)X可看作服從泊松分布的隨機(jī)變量，汽車通過的概率為0.2，解：由題意知求在這一時(shí)段內(nèi)多于一若在該時(shí)段內(nèi)沒有第19頁，共38頁。2022/8/320 當(dāng)n充分大, p很小 (p0.1), 二項(xiàng)分布B( n, p)的分布律近似等于泊松分布的分布律:泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松定理：若當(dāng)n時(shí)，則有注：即np比較適中時(shí)，第20頁，共38頁。2022/8/321證明：則第21頁，共38頁。2022/8/322 某一地區(qū)，一個(gè)人患某種疾病的概率為0.01，設(shè)各人患病與否相互獨(dú)立?，F(xiàn)隨機(jī)抽取200人, 求其中至少4人患這種病的概率。例7.解:XB(200

9、,0.01）設(shè)X表示200人中患此疾病的人數(shù)，則所以二項(xiàng)分布的分布律近似于泊松分布的分布律，第22頁，共38頁。2022/8/323例如：3)顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目;5) 某公路段上在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù);2)一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)； 1) 某服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)；4)某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù); 實(shí)際問題中若干稠密性問題是服從或近似 服從Poisson分布 體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。第23頁，共38頁。2022/8/324的概率P(Xx)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),隨機(jī)變量X的分布函數(shù)定

10、義：設(shè)X為一隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)則事件“X x”記作注：=P (Xx)，任xR第24頁，共38頁。2022/8/325分布函數(shù)F (x)的性質(zhì)(1) F(x)是非減函數(shù),即若x1 x2, 則(3)離散隨機(jī)變量X，F(xiàn) (x)是右連續(xù)函數(shù),即事件“Xx”當(dāng)x-時(shí)是不可能事件;事件“Xx”當(dāng)x+時(shí)是必然事件.第25頁，共38頁。2022/8/326例1. 設(shè)隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)3點(diǎn)的次數(shù)，求X的分布函數(shù);解：據(jù)題意知XB(2,1/6),其分布律為其中k = 0,1,2.擲一顆質(zhì)量均勻的骰子2次，求P(X1/2), P(-1X3/2), P(1 X2),即X的分布律為 X 0 1 2 P (x) 0.69

11、44 0.2778 0.0278第26頁，共38頁。2022/8/327P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1, X的分布函數(shù)為F(x)=0,x0;0.6944,0 x1;0.6944+0.2778=0.9722,1x2;0.6944+0.2778+0.0278=1,x2.P(Xx)=0,x0;P(X=0),0 x1;P(X=0) + P(X=1),1x2;2x.即F(x)=X的概率分布（概率函數(shù)） X 0 1 2 P (x) 0.6944 0.2778 0.0278第27頁，共38頁。2022/8/328（右連續(xù)函數(shù)）P(-1X3/2)=F(3/2)-F(-1)=0.9722-0=0.

12、9722. X 0 1 2 P (x) 0.6944 0.2778 0.0278P(X1/2)=P(1 X2)F(1/2)=0.6944=F(2)-F(1)+P(X=1)= 1-0.9722+0.2778=0.3056第28頁，共38頁。2022/8/329故離散X 的分布函數(shù)為其概率函數(shù)則其分布函數(shù)為練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為 X -1 2 3 P (x) 1/4 1/2 1/4求X的分布函數(shù)，并求P(X1/2), P(3/2X5/2).第29頁，共38頁。2022/8/330內(nèi)容小結(jié)1.理解隨機(jī)變量的概念，了解其分類;2. 理解離散隨機(jī)變量的分布律及其性質(zhì)；3. 熟悉常用離散分布的分布

13、律及其關(guān)系.B(n, p)() 當(dāng)n充分大, p很小 (p0.1), 即np比較適中時(shí)，第30頁，共38頁。2022/8/331作業(yè)習(xí)題二(P70 )： 1、3、5、6、7第31頁，共38頁。2022/8/332備用題則a =_.1. 已知離散隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為解：根據(jù)概率函數(shù)的規(guī)范性，有即第32頁，共38頁。2022/8/3332. 設(shè)隨機(jī)變量XB(2, p), 隨機(jī)變量YB(3, p),若P(X1)=5/9, 則P(Y1)=_.解：由于XB(2, p),P(X1)=5/9,于是 P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=5/9故 p=1/3.又 YB(3, p), 于是P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=1-8/27=19/27.第33頁，共38頁。2022/8/3343. 口袋中有7個(gè)白球，3個(gè)黑球.(1) 每次從中任取一個(gè)不放回，求首次取出白球的取球次數(shù)X的概率函數(shù)；(2) 如果取出的是黑球則不放回，而另外放入一個(gè)白球，求此時(shí)X的概率函數(shù).解：X的首次取到白球的取球次數(shù)，則X的可能取值為1, 2, 3, 4，記Ai為“第i次取出的球?yàn)楹谇颉眎=1,2,，10.(1)由乘法公式得第34頁，共38頁。2022/8/335第35頁，共38頁。2022/8/336 X 1 2