全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型全國(guó)一等獎(jiǎng)

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型（2006年獲全國(guó)一等獎(jiǎng)）摘 要：本文主要考慮當(dāng)容積一定時(shí)，如何設(shè)計(jì)易拉罐的形狀和尺寸，使得所用材料最省。首先對(duì)易拉罐進(jìn)行測(cè)量，對(duì)問(wèn)題二、問(wèn)題三、問(wèn)題四建立數(shù)學(xué)模型，并利用 LINGO 軟件結(jié)合所測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得出最優(yōu)易拉罐模型的設(shè)計(jì)。模型一，對(duì)正圓柱體形狀的易拉罐，當(dāng)容積一定時(shí)，以材料體積最小為目標(biāo)，建立 材料體積的函數(shù)關(guān)系式，并通過(guò)求二元函數(shù)條件極值得知，當(dāng)圓柱高為直徑兩倍時(shí)，最 經(jīng)濟(jì)，并用容積為360 ml進(jìn)行驗(yàn)算，算得H 122.63mm, R 30.58mm與市場(chǎng)上凈含量 為355ml的測(cè)得的數(shù)據(jù)基本接近。模型二，對(duì)上面部分為正圓臺(tái)、下面部分為正圓柱

2、的易拉罐同樣在容積量一定時(shí)， 考慮所用材料最省，建立優(yōu)化模型，并通過(guò)LINGOt件仍用容積為360 ml進(jìn)行驗(yàn)算，算得 R 30.58mm, r129.33mm, hi 8.94mm, h2 111.8mm ,高之和約為直徑的兩倍。模型三，考慮到罐底承受的壓力，根據(jù)力學(xué)上橫梁支點(diǎn)的受力與拱橋設(shè)計(jì)的原理， 設(shè)計(jì)底部支架（環(huán)形）與一定弧度的拱面，同時(shí)利用黃金分割，將直徑與高之比設(shè)為， 建立容積量一定時(shí)材料最省的優(yōu)化模型，再將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得到結(jié)論，現(xiàn)行易拉 罐的設(shè)計(jì)從某種意義上不乏是最優(yōu)設(shè)計(jì)。關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 易拉罐 非線性規(guī)劃 正圓柱 正圓臺(tái)一、問(wèn)題重述銷量很大的飲料容器（即易拉罐）的形狀和

3、尺寸幾乎都是一樣的。這應(yīng)該是某種意義 下的最優(yōu)設(shè)計(jì)，而不是偶然。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來(lái)說(shuō)，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的 錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就 很可觀了?，F(xiàn)針對(duì)以下問(wèn)題，研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。問(wèn)題一：取一個(gè)飲料量為 355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂(lè)飲料罐，測(cè)量驗(yàn) 證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說(shuō) 明；如果數(shù)據(jù)不是測(cè)量得到的，那么必須注明出處。問(wèn)題二：設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高之比，等等。.問(wèn)

4、題三：設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖 1所示，即上面部分是一個(gè) f 正 圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。問(wèn)題四：利用所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。同時(shí)，以做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫一篇短文（不超過(guò)1000字，論文中必須包括這篇短文），闡述什么 I圖1是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點(diǎn)。二、問(wèn)題分析在易拉罐設(shè)計(jì)的實(shí)際情況中，我們必須保證罐內(nèi)體積大于飲料的凈含量，同時(shí)考慮 到飲料對(duì)罐體各部分的應(yīng)力，需確定罐蓋、罐底和罐壁的厚度，在此情況下的最優(yōu)是使 得容積一定時(shí)，所用的材料最省。

5、在問(wèn)題一中對(duì)于各個(gè)部分的數(shù)據(jù)可以直接測(cè)量，利用千分卡對(duì)易拉罐進(jìn)行測(cè)量；問(wèn) 題二是對(duì)正圓柱體的易拉罐在容積一定時(shí)，以半徑和高之比為衡量最優(yōu)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)；問(wèn) 題三中，對(duì)比問(wèn)題一中所測(cè)得的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，因 此我們?cè)诮鉀Q此問(wèn)題時(shí)可以假設(shè)罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，再利用規(guī)劃方法求解 由圓臺(tái)和圓柱體組成的易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。在問(wèn)題四中根據(jù)問(wèn)題二、三的模型所求得的 數(shù)據(jù)與測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，以及觀察市場(chǎng)上正規(guī)廠家生產(chǎn)的碳酸和非碳酸飲料易拉罐 的異同之處，作出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)模型。三、模型假設(shè)1、根據(jù)薄壁圓筒的應(yīng)力分析，假設(shè)易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍。2、易拉

6、罐各接口處的材料忽略不計(jì)。3、易拉罐各部分所用的材料相同。4、單位體積材料的價(jià)格一定。5、相同類型易拉罐的容積相同。四、模型建立與求解目前市場(chǎng)上大部分的易拉罐形狀可以分成兩類：一類主體部分是正圓柱體，正圓柱 體上面部分是正圓臺(tái)（如圖2所示）；另一類主體部分是正圓柱體，正圓柱體上面部分與 下面部分都是正圓臺(tái)（如圖3所示）。如圖2如圖3我們用千分卡尺對(duì)杭州中萃食品有限公司生產(chǎn)的可口可樂(lè)易拉罐進(jìn)行了測(cè)量，分別 測(cè)量數(shù)據(jù)如下表。（單位；mm）罐罐柱內(nèi)徑上圓臺(tái)高卜圓臺(tái)圖罐蠱內(nèi)徑罐底厚罐蓋厚罐底拱高圓柱體高罐壁厚由上表可知：罐底與罐蓋的厚度大約是柱壁厚度的2倍；高大約為正圓柱直徑的 2倍。易拉罐形狀和尺寸

7、的最優(yōu)設(shè)計(jì)就是確保盛放飲料時(shí)容器不變形、放置穩(wěn)定、運(yùn)輸安 全的前提下，如何設(shè)計(jì)形狀與尺寸才能使一定容積量的易拉罐所用的材料最省，為此我 們分別對(duì)問(wèn)題二、問(wèn)題三、問(wèn)題四建立模型如下：模型一：正圓柱體模型假設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體，罐內(nèi)半徑為R ,罐內(nèi)高為H ,罐壁厚為b ,根據(jù)假設(shè)1 可知，罐底與罐蓋厚為2b,所以制作材料的體積為：=2 RbH Hb2 4b R2 8 b2R 4 b3因?yàn)閎 R,故項(xiàng)4 b3可以忽略不計(jì)。因而于是，問(wèn)題就是求目標(biāo)函數(shù)s(R,H) b(2RH Hb 4r2 8bR)在條件VR2H下的最優(yōu)解。即2 min s(R,H ) b(2RH Hb 4r2 8bR)Vr2h.R

8、 0,H 0利用Lagrange乘子法求解，作函數(shù)令即消去 得：H 4R, R , H 4,止。唯一的駐點(diǎn)就是問(wèn)題的極值點(diǎn)，也是此問(wèn)題的最優(yōu)解。由上述可知，當(dāng)罐高為罐內(nèi)直徑的兩倍時(shí)，正圓柱體的易拉罐所用 的材料最省。這與我們目前市場(chǎng)上的可口可樂(lè)易拉罐的形狀大致相同。若用V 360ml代入計(jì)算得，H 122.392mm, R 30.598mm,這與我們所測(cè)凈含量 為355ml的易拉罐高mm與罐體半徑mm還是比較接近的(飲料罐不能裝滿飲料，必須留 有一定的空間余量)。但也看出兩組數(shù)據(jù)之間也存在一定差異，這是因?yàn)槲覀兯鶞y(cè)量的易拉罐下底并非是 一個(gè)圓面，而是一個(gè)向上凸的拱面，接近上、下底部分是兩個(gè)正圓

9、臺(tái)。體 時(shí)h2 ,罐根據(jù)假拉罐的 厚度不 積進(jìn)行模型二：主體為正圓柱體，上面部分為正圓臺(tái)模型當(dāng)易拉罐的上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是正圓柱(如圖4),假設(shè)正圓柱體部分的罐內(nèi)半徑為 R,罐內(nèi)高為壁厚為b;正圓臺(tái)部分上底內(nèi)半徑為1,正圓臺(tái)內(nèi)高為加。設(shè)1可知，易拉罐罐底與罐蓋的厚度均為 2b ,仍以制作易 材料最省作為最優(yōu)設(shè)計(jì)。由于考慮到易拉罐各部分材料的 同，因此采用易拉罐所需的材料等于外徑體積減去內(nèi)徑體 計(jì)算。易拉罐正圓臺(tái)部分所用的材料體積：因?yàn)閎 R,故2 b3可以忽略，則易拉罐正圓臺(tái)部分的材料體積為:易拉罐正圓柱部分的材料體積：因?yàn)閎 R,故2 b3可以忽略。則易拉罐正圓柱所用的材料體積:

10、所以，易拉罐的總材料體積為：要使生產(chǎn)易拉罐的費(fèi)用最省，同理可建立優(yōu)化模型:2VR2h2hi(R2 Rri ri2)3R riR, r1，hi, h2利用 LINGOS件（附錄一）計(jì)算得出 R r1 = mm, h1 118.93mm h2 3.48mm;顯然,易拉罐的形狀是正圓柱體。也就是說(shuō)在容積相同的情況下，正圓柱體形的易拉罐要比上 面部分是正圓臺(tái)、下面部分是正圓柱體的易拉罐省材，但是問(wèn)題要求設(shè)計(jì)的上面部分是 正圓臺(tái)的易拉罐，因此需要進(jìn)一步改進(jìn)。根據(jù)所測(cè)易拉罐的數(shù)據(jù)分析，假設(shè)易拉罐的正圓臺(tái)高為正圓柱高的8%正圓臺(tái)的上內(nèi)徑為正圓柱內(nèi)徑 95%d2uhi（R2 Rri ri2）v R h2 3R

11、 0.95ri,h2 i2.5hiV 360, b 0.0i35R,ri,hi,h20利用LINGO軟件進(jìn)行求解（附錄二），分別得出：R = mm , ri = mm ,hi 8.94mm, h2 iii.8mm, H hi h2 i20.74mm ,這與我們所測(cè)得數(shù)據(jù)比較接近。模型三：易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型對(duì)于盛裝碳酸飲料的容器，不僅要考慮省材，還要考慮盛放與搬運(yùn)中的安全、方便、 實(shí)用。如果把易拉罐設(shè)計(jì)成球體，在一定容量的情況下材料最省，但對(duì)于放置、儲(chǔ)存等 會(huì)帶來(lái)諸多的不便（球與球之間的空隙大）。根據(jù)幾何原理，罐底為平面放置最穩(wěn)，主體 為正圓柱體最優(yōu)。但考慮到碳酸飲料的壓力等因素，罐底與罐蓋要

12、考慮牢固性，根據(jù)橫梁受力的原理：當(dāng)梁的支座從兩端往中間移時(shí)，其載荷將會(huì)提高。根據(jù)此原理，我們?cè)谝桌薜牡撞吭O(shè)計(jì)了一個(gè)底軌（環(huán)形），并使其向量移動(dòng)，這樣既可以提高易拉罐底的載 荷，也可以使其擺放平衡。底軌的厚度為兩個(gè)底厚加上它們之間的空隙，約為6b。因此在罐底的底軌與正圓柱的連接處就形成了一個(gè)正圓臺(tái)，與此對(duì)應(yīng)，我們?cè)谡龍A柱 的上面也設(shè)計(jì)了一個(gè)正圓臺(tái)，進(jìn)而從美學(xué)的角度考慮，根據(jù)黃金分割點(diǎn)將將直徑與高的 比設(shè)為，同時(shí)在罐口設(shè)計(jì)了一個(gè)圓槽，使其內(nèi)徑略大于底軌外徑，當(dāng)兩罐飲料疊放時(shí), 上面一罐飲料的底部可以嵌入下面一罐飲料的罐蓋的圓槽，便于放置。形軌內(nèi)罐內(nèi)圓為底內(nèi)在罐底部分，根據(jù)拱橋的原理：橋面設(shè)計(jì)成一

13、定的拱 時(shí)，它的受力比一般平面橋要大得多。 因此我們把罐底底 的部分設(shè)計(jì)成具有一定弧度的拱面，使其能夠更好的承受 液體的壓力。綜上所述，可將易拉罐罐體設(shè)計(jì)成三部分： 上部為正 臺(tái)，高為兒，上圓臺(tái)罐口內(nèi)半徑為r1；中部為正圓柱，高h(yuǎn)2,罐體正圓柱內(nèi)半徑為R;下部為正圓臺(tái)，高為h3,罐半徑為2,罐底拱高為d （如圖5所示）。又設(shè)罐體壁厚為b ,罐底、罐蓋厚為2b,對(duì)各部分進(jìn)行材料體積計(jì)算。易拉罐上正圓臺(tái)部分的材料體積:因?yàn)閎 R ,故2 b3可以忽略, 易拉罐正圓柱部分的材料體積：因?yàn)閎 R ,故2 b3可以忽略, 易拉罐下正圓臺(tái)側(cè)面部分的材料:圖5則易拉罐正圓臺(tái)部分的材料為：則易拉罐正圓柱部分的

14、材料體積：=h3 b(b R r)易拉罐底部材料的體積：S底（d,2）（d2 2r22）所以，易拉罐所用的總材料體積為：當(dāng)易拉罐所需的總材料最少，則生產(chǎn)該易拉罐的費(fèi)用最省，建立優(yōu)化模型如下:VR2h2hi(RRi 1)3R,r1,r2,h1,h2 0當(dāng) r20.8R, r1 r26b, h12h3h2（R2 R222）d（322 d2）360.15h2, 2R 0.618（h1 h2 h3）,V 360000,b 0.135, d 7 時(shí)，利用 LINGO（附錄三）解得：R 28.3mm , r2 22.667mm,r1 23.48mm , h1 = mm, h3 5.61mm, h2 74.

15、85mm, H 91.69mm ,這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的 易拉罐取材省，外觀美麗。五、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)此模型通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)，將理論分析和實(shí)際狀況進(jìn)行比較，有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。能兼顧 安全、實(shí)用、方便、美觀、經(jīng)濟(jì)，理論引用可信度較高。但在模型中沒有考慮接口處的 材料，由于時(shí)間關(guān)系，對(duì)罐底、罐蓋與罐壁的厚度等對(duì)比沒有作深入的研究。期望能在 此方面加以改革，以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)的效果。六、建模體會(huì)數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)以培養(yǎng)青年學(xué)生創(chuàng)新思維、團(tuán)結(jié)協(xié)作、綜合應(yīng)用能力、提高學(xué)生素 質(zhì)為目的的活動(dòng)、深受青年學(xué)生的青睞，我們是這項(xiàng)活動(dòng)的喜愛者、參與者、受益者。通過(guò)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)與實(shí)踐，我們懂得了數(shù)學(xué)建模就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加 以提

16、煉。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)描述問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立相應(yīng)的數(shù)學(xué) 模型，進(jìn)而用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)軟件等求出模型的解，并驗(yàn)證模型的合理性。用該數(shù)學(xué)模 型解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，甚至解決一些當(dāng)前生產(chǎn)、生活中的技術(shù)難關(guān)，并將部分模型應(yīng)用于實(shí) 際生產(chǎn)中，給社會(huì)帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)效益。數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵步驟可以歸納為：模型準(zhǔn)備、 模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型檢驗(yàn)及模型應(yīng)用等。對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，如何解讀實(shí) 際問(wèn)題，掌握各種信息與數(shù)據(jù)，抓住其本質(zhì)，再用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立模型是難點(diǎn)。就易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)而言，考慮了易拉罐罐底為何設(shè)計(jì)成呈弧形的拱 面，這樣設(shè)計(jì)對(duì)易拉罐有何作用，如何設(shè)計(jì)易拉罐各部分材料的厚度以及形

17、狀，并證明 所需要的材料是最省的，即對(duì)產(chǎn)家而言所需的費(fèi)用是最省的，然而在此基礎(chǔ)上還需考慮 到罐內(nèi)氣體對(duì)易拉罐各部分的應(yīng)力以及易拉罐的承受能力，并用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行表達(dá)和 證明，說(shuō)明我們所設(shè)計(jì)的易拉罐是合理的，這是問(wèn)題的關(guān)鍵所在，也是本模型的最大難 點(diǎn)，而數(shù)學(xué)建模的最大難點(diǎn)也在于如何建立數(shù)學(xué)模型將理論轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)使我們真正懂得了數(shù)學(xué)的魅力，它的應(yīng)用十分廣泛，可以滲透到 工程、生物、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、能源等各個(gè)鄰域，也使我們學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了合作，學(xué)會(huì) 了利用網(wǎng)絡(luò)及我們所學(xué)的知識(shí)去解決問(wèn)題的思想。這對(duì)我們今后的學(xué)生時(shí)代及走上崗位 后的職業(yè)生涯會(huì)終身受益。參考文獻(xiàn)1劉鴻文，材料力學(xué)，人民

18、教育出版社，.(第154頁(yè))2吳建國(guó)，數(shù)學(xué)建模案例精編，北京市三里河路6號(hào)：中國(guó)水利水電出版社，.(第 89頁(yè))3數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組，數(shù)學(xué)手冊(cè)，北京印刷二廠：人民教育出版社，1979 (第81 頁(yè))4姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型第三版，北京市西城區(qū)德外大街4號(hào)：高等教育 出版社，5admin ,鋁制易拉罐成形工藝及模具， ，2006. 9. 156劉代祥，飲料包裝研究，2006. 9. 15附錄附錄一model :b=;v=360000;min =*b*h1*(R+r1+b)+2*bA2*(R+r1)+2*b*(RA2+R*r1+r1A2)/3+2*b*RA2+*b*2*R*h2+*/2*(4*R+h2);*RA2*(h2+h1/3)+*h1*r1A2/+*h1*R*r1/=v;R=r1;endLocal optimal solution found at iteration:130Objective value:Variable Value Reduced CostBVH1RR1H2Row Slack or Surplus Dual Price1234附錄二model :b=;v=360000;min =*b*h1*(R+r1+b)+2*bA2*(R+r1)+2*b*(RA2+R*r1+r1A