全國(guó)周培源力學(xué)競(jìng)賽模擬題集

1、2011年力學(xué)競(jìng)賽模擬題集1、質(zhì)量為m的勻質(zhì)梁AB水平放置.A端為固定較支座，B端接柔繩，質(zhì)量不計(jì)，該段柔繩跨過位置固定的圓柱體與放置在梁上質(zhì)量為M的物塊連接，物塊與梁之間以及柔繩與圓柱體之間的靜摩擦因數(shù)均為 ，ED段柔繩與AB平行，BC段柔繩與AB垂直。AB梁長(zhǎng)為1,物塊尺寸如圖1a所示，高為b,寬為a.(2)試證明CB段柔繩上的拉力Tcb TedS2.如果系統(tǒng)保持在圖示水平位置平衡，試求物塊中心距A端的最大距離d oddNTd2d2ddT dF解:a)圖1(1)分析CD段柔繩，取微元體進(jìn)行分析，如圖1b所示列平衡方程由式(1)得dT所以Fn 0dTTT cos(d-)dNdTsin() d

2、N2(T(T由式(2)得dN Td兩邊同時(shí)積分有d dT)cos弓ddT)sin()2dTCD T兀2d0(2)積分得Tcb兀TedST(2)以物塊為研究對(duì)象，假設(shè)物塊處于滑動(dòng)臨界狀態(tài)MgMg此時(shí)恰好為翻到臨界狀態(tài)T EDCB段柔繩的拉力TcbTed3 2兀Mge 2以AB梁為研究對(duì)象Ma 0Tcb 1 mg - Mg2(d今解得ml Ma2M2、雜技團(tuán)表演平衡木雜技， 在長(zhǎng)為l的平衡木上站了 n個(gè)體重相等的演員，且所有演員之間的間距相 等。試求：該平衡木上最大彎矩的一般表達(dá)式？解：將該模型簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，如圖 2所示，梁長(zhǎng)為l, n個(gè)演員之間距離為l/(n 1),演員體重均為F/n，則在AB兩

3、端約束反力均為 F / 2。根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)，最大彎矩總是發(fā)生在梁的中間l /2處。圖2(1)如果演員總數(shù)是偶數(shù)個(gè)，則取中間1/2截面截開，每側(cè)作用有約束反力 則中間截面彎矩暨最大彎矩的表達(dá)式為：F/2、n/2個(gè)集中力F/n,M max(2211)31F11(12)(12)F1n n一(一2 21)F1(n 2)n(n 1)8(n 1)(2)如果演員總數(shù)是奇數(shù)個(gè)，則取中間1/2截面截開，最大彎矩側(cè)作用有約束反力F/2、(n 1)/2個(gè)集中力F/n,則中間截面彎矩暨最大彎矩的表達(dá)式為:F 1 F /1 、 F /21、 F /31、( )(-)(-)2 2 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n

4、 1Fn 1 1F1 F 1 n-(1 21-(1 2 1F1n(n 1)1)F1(n 1)8n一、煙囪定向爆破（40分）城市建設(shè)需要對(duì)廢舊煙囪進(jìn)行定向爆破拆除，在煙囪底部進(jìn)行預(yù)處理，沿周邊對(duì)稱開挖兩個(gè)導(dǎo)向洞，以便形成傾覆力矩。預(yù)定傾倒方向留置一段弧長(zhǎng)約為1/4周長(zhǎng)，在其上布設(shè)藥孔并裝藥，實(shí)施起爆后，混凝土碎塊飛散，鋼筋基本完整，但豎向鋼筋在煙囪自重作用下彎曲，然后煙囪順此方向傾 倒。1、豎向鋼筋為何彎曲，利用了材料的哪類力學(xué)性質(zhì)？已知鋼筋的直徑為d,間距為a,比例極限為p 200MPa ,煙囪的質(zhì)量為m,試確定藥孔區(qū)的最低分布高度。2、一般煙囪高達(dá)數(shù)十米，可將其看作長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，根部因?yàn)?/p>

5、鋼筋的牽連，可看作固定較 鏈，當(dāng)煙囪與鉛垂線成任意夾角時(shí)，請(qǐng)求慣性力簡(jiǎn)化的結(jié)果以及根部的約束力。3、當(dāng)根部開始斷裂時(shí)，煙囪還像剛體一樣整體地下落，隨著下落角度變大，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度也變大，有時(shí)在倒塌的過程中在離根部約1/3長(zhǎng)處發(fā)生二次斷裂，且斷裂從面向地面的一側(cè)開始，從倒地 后的現(xiàn)場(chǎng)來看，明顯在斷裂處有一空地?zé)o倒塌物。請(qǐng)根據(jù)相關(guān)力學(xué)原理建立模型描述。根據(jù)歐拉公式：FCrCl泊彳日l2倚 1 Cr(1)解：1、為保險(xiǎn)起見，混凝土碎塊飛散后 ，鋼筋為兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿其中Fer （煙囪自重均勻分布在筒壁，每根鋼筋平均分擔(dān)2 R/3a壓力）2、慣性力系向根部簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化為:匚 W 1 匚nFi, Fig 21

6、W 12其中角速度和角加速度如下計(jì)算:Mo(F) 0 有,1 .JoW - sin23n21 d dtd dd dtd ，分離變量后再積分得 d3g .- sin d21 03g(1 sinF x 0彳導(dǎo)F Ox2WcosW、(3 cos )2 TOC o 1-5 h z W lr W lW由 Fv 0彳導(dǎo) F0yW sin 0,即 F0yW sin sinyy g 2y g 243、橫截面上有動(dòng)內(nèi)力分量分別為：FNd、FQd、Md-i .一,乂 一 一 _力矩平衡得 Mb(-W) Mb(F i) Md 0 l即：Md -Wsin 2 m(l -)-3 1m l l2 l2 2 l1W .,

7、2 x3、化間彳Md sin (x 一) 4 ll動(dòng)彎矩最大時(shí)有：業(yè)且0,即得x dx3此處Md max sind 11 iax、孫悟空的如意金箍棒（40分）中國(guó)四大古典名著的西游記中的孫悟空本領(lǐng)高強(qiáng)，神通廣大，深得人們喜歡。尤其是他的 兵器-一如意金箍棒，幫他大鬧天宮，降妖除魔。傳說該棒原為大禹治水時(shí)用作測(cè)江海之深的寶器，原來放在東海龍宮之中時(shí)，重一萬三千五百斤（一公斤合二斤），有二丈長(zhǎng)（一米合三尺，十尺合一丈），碗口粗細(xì)，一般飯碗的直徑約合10厘米。金箍棒的最大神奇之處在于可隨意變化尺寸大小，如果金箍棒在變化過程中，保持總重量 和尺寸比例不變。只考慮自重影響，強(qiáng)度控制條件1000MPa，試

8、分析在固定一端，分別豎直放置和水平放置兩種情況下長(zhǎng)度變化范圍。如果保持密度和尺寸比例不變呢？孫悟空和二郎神打斗之時(shí)， 不提防太上老君自上扔下金剛琢，悟空本能地雙手舉棒迎接，金剛琢正好垂直打中金箍棒中間，如金剛琢重為P,無初速自由落體，下落高度為H ,孫悟空兩手為剛度為k的彈簧支座，金箍棒的剛度系數(shù)為 EI。試計(jì)算金箍棒中的最大撓度。因被金剛琢擊中，手中金箍棒被震脫手，從云端落下，設(shè)高度距離地面 h,棒與水平面的夾角為，落地時(shí)棒的一端與光滑地面碰撞，恢復(fù)系數(shù)e 0.5,則一次碰撞后金箍棒能彈起多高？再次與地面碰撞時(shí)，金箍棒與地面的夾角為多少？孫悟空有時(shí)為了震懾對(duì)方，操起金箍棒，把山石打得粉碎，這

9、個(gè)過程為典型的碰撞過程.悟空發(fā)現(xiàn)單手握棒擊打時(shí)，只要控制好持棒位置和金箍棒擊打石頭的位置和方向，就能使手上的震動(dòng)力很小或沒有，試建立合適的力學(xué)模型并給出分析過程、結(jié)論。角軍：1、自重不變時(shí),0.166.71667豎立放置時(shí)：WA4Wd2，ld 1 4W16W了，密度不變時(shí),4W豎立放置時(shí):AlA,lWl水平放置時(shí)：二d3 32水平放置時(shí):乩l2d3324 d2 l2 d綜上，可得水平放置時(shí)決定長(zhǎng)度的極大值2、問題簡(jiǎn)化為梁的兩端放在兩個(gè)剛度為 梁跨中截面的靜位移為：5綜上，可得豎立放置時(shí)決定長(zhǎng)度的極小值Pl3st 48EIPa.,，動(dòng)荷系數(shù)K 2k2hst則d Kdst3、棒下落時(shí)作平動(dòng)，有 V

10、a Vc J2gh據(jù)碰撞時(shí)的沖量定理有，muC mvC I CC12l據(jù)相對(duì)質(zhì)心的沖重矩7E理 ，一ml 0 I cos122棒的質(zhì)心和碰撞點(diǎn)的速度關(guān)系為：uA uC uACC C在豎直方向投影得:UAy UCl一 cos2根據(jù)恢復(fù)系數(shù)的定義知UAyVAy綜合可得,;2gh cos：2gh(1 6cos2 )3m、2 gh TOC o 1-5 h z 2uc2I21 3cos22(1 3cos2 )2(1 3cos2 )4、棒打擊石頭與石頭打擊棒情況類似，建立如圖所示坐標(biāo)系，應(yīng)用碰撞時(shí)的動(dòng)量定理有mucx mvcxI xI ox,mUcy mVcyI yI Oy碰撞前后棒與石頭無切向相對(duì)速度，

11、則有Ix m(Ucx Vcx) I Ox , I y I Oy手中無碰撞沖量時(shí)，有Ixm(uCx vCx ),上式表明石頭對(duì)棒的沖量應(yīng)垂直于棒，根據(jù)沖量矩定理有 JO 2 JO 1 Il考慮到速度關(guān)系有Ix m(uCx vCx) ma( 21)即碰撞點(diǎn)到手的距離為l JOma此即為撞擊中心，手握點(diǎn)為固定點(diǎn)，石頭撞擊棒點(diǎn)為K點(diǎn)，手中無撞擊力。不難驗(yàn)證，手和撞擊中心的位置互換后，結(jié)論相同。滑板小子周學(xué)生杰倫酷愛滑板運(yùn)動(dòng)，熱衷挑戰(zhàn)各種高難動(dòng)作，人送雅號(hào)“滑板小子”。周學(xué)生身材勻稱，體重50kg,滑板輪心距a = 0。65m,重量不計(jì)。周末，他滑至一條河邊，河面寬為L(zhǎng) = 3m,河上僅平鋪木板一塊（寬

12、度130mm,厚18mm）,斜坡傾角30 .如圖1所示。（1）假設(shè)滑板滑行速度最大可達(dá) 20 km/h,不計(jì)空氣阻力，周學(xué)生能直接飛越過河到達(dá)對(duì)岸嗎？（2）假設(shè)木板的40MPa ,周學(xué)生前后對(duì)稱站立于滑板上，他能乘滑板（雙腳始終在上面）通過木板到達(dá)河對(duì)岸嗎？為什么？ （ 3）若無前后對(duì)稱站立于滑板的限制條件，他能乘滑板到達(dá)河對(duì)岸嗎？為什圖1解：（1 ）取周學(xué)生和滑板組成系統(tǒng)為研究的質(zhì)點(diǎn)。d2x dt2dvx mdtd2zd2m弧dtFx 0Fz mg由初始條件：t = 0 時(shí)，X = Z = 0,vx v0 cos , Vyvsin ；積分可得x v0 cos tzv0 sin1t 5 gt上

13、式消去t,得軌跡方程z xtang222v cos令 z = 0,代入30 , v0 20 km/h , g 9,8 m/s2,解得x 2.72m 或 x 0m （舍去）因x 2.72m L 3m ,周學(xué)生不能直接飛越過河到達(dá)對(duì)岸.（2）不計(jì)滑板和木板的重量，通過木板時(shí)系統(tǒng)的受力簡(jiǎn)圖如圖1。P為人的重量。P/2 P/2圖22所示，當(dāng)C、D關(guān)于跨中對(duì)稱時(shí)，支座約束力圖i人對(duì)稱站立于滑板上，板AB的受力如圖FaFb TOC o 1-5 h z L aPMmax Me Md Fa(-) (L a)2 2450 9.8 Mmax (3 0.65) 287.9N m4121 _2 3W -bh - 13

14、0 187020mm66maxmax3287.9 10702041MPa40MPa圖3所以，在此情況下，周學(xué)生不能乘滑板通過木板到達(dá)河對(duì)岸。(3)人站立于滑板任意位置上，板 AB的受力如圖3所示, TOC o 1-5 h z 其中P P2 P ,當(dāng)C、D關(guān)于跨中對(duì)稱時(shí), 支座約束力 aPFa (1 )P X, 2LLa PFb P -X 2L LL aL aMe Fa(- -), Md Fb(-二)2 22 2板跨中截面彎矩Me Md 1L a IL aM 22(Fa Fb)(2 2) 2Pq 2)M不隨人體位置調(diào)整而變化，所以，在此情況下，周學(xué)生仍不能乘滑板通過木板到達(dá)河對(duì) 岸。溜溜球如圖1

15、所示，一個(gè)質(zhì)量為m、外徑為R的溜溜球靜止放置在桌面上， 設(shè)球?qū)|(zhì)心軸C的回轉(zhuǎn)半徑內(nèi)徑為r,繞在細(xì)繩上。在繩端施加方位角為的拉力F,不考慮滾動(dòng)阻礙。(1)若桌面光滑，試分析當(dāng)0,時(shí),溜溜球的滾動(dòng)方向?2(2)么？為多大時(shí)，可確保溜溜球只滑不滾？ (3)若桌面光滑，溜溜球能否只滾不滑?其條件是什解：(1)在桌面光滑條件下，0, 時(shí)，溜溜球的滾2動(dòng)方向均為逆時(shí)針。(2)溜溜球的受力分析見圖2。據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：要求滑動(dòng)，則aC 0 , F cos(3)要求只滾不滑，則aC又因要求只滾不滑與桌面光滑程度無關(guān)因此，條件是mg F , 2r R。F cosF sin(2mR2)Ff maC mg F

16、n 0要求不滾，則Fr FfR0, Ffr _ 一 ， r-F，代入(1)式可得,Rr F cos- FRr r一即可。RR 。代入剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，消去cos)fmacFf，則sinmgF ，(mgcosF sin )2r、用手彈出一質(zhì)量為 m、半徑為R的乒乓球，在地板上運(yùn)動(dòng)，使質(zhì)心保持直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心的初速度為vo，轉(zhuǎn)動(dòng)初角速度為0。假設(shè)乒乓球與地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為(1) 求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，乒乓球不再向前面運(yùn)動(dòng)?(2) 求乒乓球運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)距離后，不再向回滾動(dòng)的條件解答:VoVofgt當(dāng)v 0時(shí),tfg d(2) fmgR Jc積分:dtfmgRtJ c“V0r將t -代入上式相:fgmv0

17、RJc當(dāng) 0時(shí)，可以得:VoJc-ZZ0mR10 2 c考慮到裝動(dòng)慣量Jc 2mR25，、一廣2代入上式得：v02 0R5二、如圖所示，等直桿一端固定，另外一端受到沿軸線方向的集中力，大小為F,該桿半徑為R;選用彈性模量為 E、泊松比為科=0.25的各向同性材料。為了加固該桿件 ，在實(shí)心桿的 基礎(chǔ)上套上一個(gè)厚度為8的套筒（8 R）,套筒與桿件選用相同的材料，亦不考慮套筒與桿件之間的摩擦。如果所選用材料為脆性材料，許用壓應(yīng)力是許用拉應(yīng)力5倍，試分析套筒能否使桿件承受更大的載荷。解：若桿件受到壓力等于許用載荷為F,而套筒所受內(nèi)力以拉應(yīng)力為主，套筒所受拉應(yīng)力是約是 該材料的許用壓應(yīng)力的0。25倍,

18、因此，增加套筒并不能提高實(shí)心桿的承載能力，相反必須降低許用載荷以確保套筒滿足強(qiáng)度要求。11四、某設(shè)計(jì)人員，設(shè)計(jì)一臺(tái)單梁雙吊龍門吊車（設(shè)計(jì)簡(jiǎn)圖如圖所示），設(shè)計(jì)吊重為200kN （兩個(gè)吊鉤同時(shí)起吊，承載能力相同，吊車跨度為2米，左右兩吊鉤最大行走距離為0.32米。該設(shè)計(jì)人員經(jīng)過計(jì)算（忽略起吊沖擊影響）選用橫梁為No20a工字鋼梁，截面尺寸如圖，材料的許用應(yīng)力為150MPa.當(dāng)設(shè)計(jì)員滿懷希望將設(shè)計(jì)報(bào)告上交后，審核人員卻發(fā)現(xiàn)該設(shè)計(jì)存在問題.親愛的朋友，請(qǐng)您幫助核實(shí)一下,1）該結(jié)構(gòu)所涉及力學(xué)問題有哪些？2）畫出其力學(xué)模型？ 3）請(qǐng)給出完整的設(shè)計(jì)過程，并分析該設(shè)計(jì)人員的設(shè)計(jì)思想可能在哪里出現(xiàn)問題？如何改進(jìn)

19、？解:f單位.mm）彎曲強(qiáng)度，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖（甲-位i nm）（3）解：（一）畫梁的剪力圖和彎矩圖危險(xiǎn)截面發(fā)生在 C D截面 MC=32KNm , QC=100KN32KN.m12（二）強(qiáng)度校核先繪出C截面正應(yīng)力分布圖和剪應(yīng)力分布圖截a.正應(yīng)力強(qiáng)度校核（K1 ）點(diǎn)32x11)323xioi= 句=15Mpa /4 4/吐 + 3琮=IMMpa ff = ISOMpa說明鋼梁在K3點(diǎn)處的相當(dāng)應(yīng)力超過許用應(yīng)力，不能滿足強(qiáng)度要求（有可能未涉及）.必須增大工字鋼的型號(hào)，才能滿足鋼梁在 K3點(diǎn)處的強(qiáng)度。13一、墻上安裝一塊薄板，當(dāng)重物放在薄板的較遠(yuǎn)處時(shí)，重物常常會(huì)滑出薄板.薄板近似可以看作為一

20、懸臂梁 AB,梁長(zhǎng)L,抗彎剛度EI,重物C的重量為G,重物和梁的 摩擦系數(shù)為科，求：重物開始滑動(dòng)的位置重物滑離B端時(shí)的速度。解：(1)設(shè)重物開始滑動(dòng)時(shí)距離A的長(zhǎng)度為s,如圖2所示，則AD段的撓曲線方程為:Gx26EI3s由此可知D yDGs22EI由靜力平衡條件，可求得摩擦力為FS G cos D重物開始滑動(dòng)的條件為Gsin dFs由以上2式，可得：tan d d將式(1)帶入上式，即可得到重物開始滑動(dòng)時(shí)的位置為14(3)2EI1/2重物由D處滑倒B處，在3階段的始末兩處的撓度分別為Gs3GL33EI，上汩設(shè)重物滑離B端時(shí)的速度為v,W為摩擦力在此過程中所做的功，由能量守恒定律可知亞 gGLq

21、2g3EI這里假設(shè)重物的體積很小，其轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能忽略不計(jì).由于dW FSds而FsG cos3ds 1 y 2dx3cos dx/ds 1 y 2所以有3/2dW G cos1 y dx積分上式：WG L sGdx(3)將(3)代入(2),最后得到1/2G . 2v 2g L s L3EI2Ls s二、海綿拖把在即將擠干水時(shí)的狀態(tài)如圖所示，若擠干水時(shí)需Fio試求手作用在拖把上豎15直方向的力。分析手上還有哪些力。如想省力，可采取哪些措施。(b)解：取海綿拖把頭為研究對(duì)象，受力圖如圖(b)所示Fy 0,F2 2 F1 cos 2 0F2 2 F1 cos 2取加壓手柄為研究對(duì)象，受力圖如圖(c)所

22、示Ma(F) 0, F 11 F2 l2 0 一一- 一 一 -Fy 0 ,FAy F F2 0取拖把手柄為研究對(duì)象，受力圖如圖(FF2 12/112F1cos 2121112FAyF2 F2Ficos 2（1 年）11d）所示Fy 0,2F1 cos 2 FAyF3 0F32F1 cos 2 FAy F2F1 cos 212由于兩手的作用力不在一豎直線上，握拖把手柄的手有轉(zhuǎn)動(dòng)力偶的作用。如想省力，2角盡可能大一些,11盡可能大一些，12盡可能小一些。當(dāng)然須和其他因素綜合、如圖所示，一個(gè)小球自由下落，高度為h ,與容器碰撞，恢復(fù)系數(shù)為 k,容器的母線為16oarctan(2ax), v %,2

23、ghy ax2 ,問小球落在什么范圍與容器碰撞后，能飛出容器。解:kvcosvt vsinVxVn sinvt cos , vyvn cosvt sin其中2 ax2 axVytvxt1 .22 gt2323222444ahk2 4hak 16ha3x2k 16ha3x2 1 8a2x2 16a4x44ha2 k 1 2.4 6ha 2hak2 4hak 2 R4aR 9h2a2232Hha2k216Hha2二、兩個(gè)人要比賽誰的力量大淇中一個(gè)人提出用圖示的桿件比誰能使桿B端撓度最大，在172h2a2k2 12h2a2k 12ha h2a2k4 4h2a2k3 12hak2 24hak 16Ha

24、2k2比賽前設(shè)置了一個(gè)條件，即在矩A端為a的位置下方放置了一個(gè)易碎的小圓柱，該圓柱體距 水平位置為 ，較小，EI已知。比賽以B端撓度最大，且不能使小圓柱題破壞為勝.請(qǐng)問,你怎樣加力，才能獲勝。（注：只能加一個(gè)力）解：F Pcos , M PhsinFa3 Ma23EI 2EIFa2 Ma2EI EI_32, F l a M l al a 3EI 2EIdy darctan3h a l5a2 2l2 4la、啄木鳥玩具一只啄木鳥模型通過彈簧聯(lián)結(jié)在套筒上，將套筒置于金屬桿的頂 端,放手后啄木鳥開始有節(jié)奏地?cái)[動(dòng)身體，一邊啄木一邊間歇地時(shí)滑 時(shí)停地向下滑動(dòng)。這個(gè)有趣的玩具作為演示教具，常見于德國(guó)理工科

25、 大學(xué)的力學(xué)實(shí)驗(yàn)室。(1)本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系；(2)請(qǐng)說明啄木鳥玩具的力學(xué)原理；(3)請(qǐng)對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行力學(xué)分析。解：(1)關(guān)鍵詞：摩擦力、諧振動(dòng)、周期性運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量矩定理、動(dòng)量定理。 題1 1圖(2)力學(xué)原理：仔細(xì)觀察啄木鳥的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)套筒傾斜，端部與直桿接觸，且接觸處的摩擦力足以平衡套筒和啄木鳥的重量時(shí)，啄木鳥即作短暫的停留。而且接觸處的摩擦力小于套筒和啄木鳥的重量時(shí)，約束即被解除，啄木鳥向下滑動(dòng)，直到套筒再次傾斜，端部與直桿再次接觸為止。在此過程中，啄木鳥作周期性擺動(dòng)使套筒的姿態(tài)以及套筒與直桿的接觸處的法 向約束力Fn隨之改變，摩擦力亦隨之改變。摩擦力的周期性變化正是套筒與直桿之間發(fā)

26、生粘 著一滑動(dòng)-再粘著現(xiàn)象的根本原因。(3)力學(xué)分析：將啄木鳥模型記作 B1 ,套筒記作B2,質(zhì)量分別為m1和所m2,組成的系 統(tǒng)記作B。設(shè)B1通過彈簧與B2聯(lián)結(jié)，彈簧為扭簧，彈簧的剛度系數(shù)為 K1 ,僅產(chǎn)生由角位移 引起的扭矩.令 和 分別為81和B2相對(duì)垂直軸的偏角， 在圖1 2中以順時(shí)針方向?yàn)檎?TOC o 1-5 h z 在B2與直桿粘著階段，設(shè)B2上的P1和P2點(diǎn)與直桿接觸且粘著，傾角保持常值m。此時(shí)，B1作固定基座的自由擺動(dòng)，擺動(dòng)中心O與B2固結(jié)，與O1點(diǎn)的距離為a。設(shè)B1相對(duì)于O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為僅保留 和 的一次項(xiàng)，根據(jù) B1。點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，可列出動(dòng)力學(xué)方程3 K1( m) m

27、ga 0(1)對(duì)于(0) o,(0)0的初始條件，解出st ( 0 st)cos 1t ( 0./ 1)sin 1t(2)Bi在靜位移st m (m1ga/K1)附近作角頻率 ivKi/Ji的諧振動(dòng)。設(shè)直桿對(duì) B2的法向約束力為 Fn , B2的高度為b ,彈圖互相平衡，可導(dǎo)出Fn (Ki b)(m)(3)設(shè)B2與直桿之間的靜摩擦因數(shù)為fs,則最大靜摩擦力為 Fm m m2,為保證摩擦力能支撐系統(tǒng)的重力，應(yīng)滿足fsFN。系統(tǒng)的總質(zhì)量為(4)m為維持粘著狀態(tài)時(shí)Bi偏角的最小值.mgb2fsK1(5)設(shè)運(yùn)動(dòng)從套筒與直桿粘著時(shí)開始，令0m.B1的偏角 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，彈簧力矩和相19簧作用于B2的力矩M

28、Ki(m)與直桿作用于 B2的力矩FNb應(yīng)的摩擦力增大，使套筒繼續(xù)維才e粘著狀態(tài).達(dá)到最大值后開始減小，擺動(dòng)方向從順時(shí)針變 為逆時(shí)針。若在ti時(shí)刻 減至 m且繼續(xù)減小，則直桿對(duì) B2的摩擦力不能承受 B的重量而開始 滑動(dòng)。但在法向約束力Fn減小為零以前，直桿仍保持對(duì)套筒的約束，B2傾角仍保持m不變.以直桿頂端O0為原點(diǎn)建立向下的垂直坐標(biāo)軸z,以確定O點(diǎn)的位置。套筒在重力和摩擦力作用下滑動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為mz m1a mg 2 fsFN根據(jù)對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，列出B1對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程： TOC o 1-5 h z JiKi(m) mi(g z)a 0(7)利用B2的平衡方程式(3)和式(6)消去

29、mi(g z),代入式(7)整理得J K( m)0(8)其中J Ji m12a2/m, K Ki(i 2 fsm1a/(mb)(9)除在Ji mi2a2/m時(shí) 與m恒保持相等外，Bi在m附近作角頻率為JKJ的諧振動(dòng)。當(dāng)B1在t2時(shí)刻的偏角到達(dá)(t2)m且繼續(xù)減小時(shí)，彈簧力矩和法向約束力Fn同時(shí)為零，約束即被解除。 解除約束后的B處于自由下落的騰空狀態(tài)，其相對(duì)總質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。近似忽略Bi和B2的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)總質(zhì)心位置的影響，設(shè)總質(zhì)心與O點(diǎn)重合。設(shè)B2相對(duì)O點(diǎn)的慣性矩為J2,以(t2)01和(t2) 0為初值，其中01為方程(8)的解在t2時(shí)刻的值。Bi和B2的角動(dòng)量矩守恒定律要求 TOC o 1-

30、5 h z J1 J 2 J101在彈簧保持松馳時(shí)和 取常值，對(duì)應(yīng)于以下特解：02 ,02 J101 / (J1 J2 )Bi和B2以相同的角速度逆時(shí)針同步轉(zhuǎn)動(dòng)。由于約束瞬間消失引起碰撞效應(yīng)， 速度分別由零和0i突變?yōu)橥唤撬俣?2 .設(shè)在t3時(shí)刻，Bi和B2逆時(shí)針轉(zhuǎn)至m ,端部在Qi和Q2處與直桿發(fā)生碰撞.由低彈性材料制造的套筒碰撞后角速度突變?yōu)榱?。則B2沿直桿向下滑動(dòng)，B相對(duì)套筒的動(dòng)基座擺動(dòng)。其動(dòng)力學(xué)方程與方程(8)相似，只需將 m前的負(fù)號(hào)改為正號(hào)：J K( m) 0(12)Bi在m附近作角頻率為Jk/J的諧振動(dòng)。在t4時(shí)刻，當(dāng)增加到m且繼續(xù)增大時(shí)，約束力Fn增大到能使靜摩擦力足以承受B的

31、重量，則B2重新與直桿粘著，Bi再次作固定基座的擺動(dòng)，動(dòng)力學(xué)方程為Ji Ki( m) miga 0(13)在t5時(shí)刻，當(dāng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的到達(dá)最大值max時(shí)，鳥喙與直桿做彈性碰撞 ，所產(chǎn)生的20沖量使Bi改朝順時(shí)針方向擺動(dòng).在t6時(shí)刻，當(dāng)| |回復(fù)到 m且繼續(xù)減小時(shí)，靜摩擦力不能繼續(xù)承受B的重量，套 筒向下滑動(dòng)。Bi的擺動(dòng)規(guī)律重新由動(dòng)力學(xué)方程(12)確定。在t7時(shí)刻，當(dāng)Bi得偏角到達(dá)m時(shí),彈簧作用力矩和法向約束力Fn再次消失，B再次自由下落。Bi從約束消失前的角速度，B2從零角速度突變?yōu)橥唤撬俣茸黜槙r(shí)針同步轉(zhuǎn)動(dòng).至t8時(shí)刻，當(dāng)Bi和B2順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)至m時(shí)，B2端部重新在Pi和P2處與直桿發(fā)生碰撞。

32、Bi的擺動(dòng)規(guī)律由方程(8)確定，直至t9時(shí)刻，約束力 Fn增大到使靜摩擦力足 以承受 B的重量時(shí)，B2重新與直桿粘著，Bi再次作固定基座的擺動(dòng)。于是啄木鳥完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)，開始新的一輪循環(huán)。*If以上分析表明，在B運(yùn)動(dòng)的每個(gè)周期內(nèi)，B2依次經(jīng)歷不同的約束狀態(tài)的8個(gè)階段.在圖示中以(，)平面內(nèi)的相軌跡表示.題i3圖i2 (t 0 ti): B2 在 Pi 和 P2 處粘著；2-3 (t ti t2)： B2在Pi和P2處沿直桿滑動(dòng)；(3)3-4 (t t2 t3)： B2 自由下落；4-5 (t t3 t4): B2在Qi和Q2處沿直桿滑動(dòng)；(5)56 (t t4 t6)： B2 在 Qi 和

33、 Q2 處粘著，t t5 時(shí),鳥喙 與直桿彈性碰撞。(6)6-7 (t t6 t7)：B2在Qi和Q2處沿直桿滑動(dòng)；7-8 (t t7 t8)： B2 自由下落；8i (t t8 t9)： B2在Pi和P2處沿直桿滑動(dòng)，然后回復(fù)到第一階段。、彈跳飛人2i在2008年北京奧運(yùn)會(huì)閉幕式上，“彈跳飛人”借鑒現(xiàn)代極限體育項(xiàng)目，運(yùn)用“彈 跳鞋”在空中進(jìn)行高難度的翻轉(zhuǎn)、跳躍等姿 態(tài)展現(xiàn)，如圖21所示。在奇幻的音樂中，“彈跳飛人”借助彈跳鞋（如圖 22所示） 起身跳躍，在空中劃出一道道優(yōu)美的光彩， 展現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的激情與美感 .空中流星般飛騰的 發(fā)光人、場(chǎng)內(nèi)飛旋穿梭的神奇光環(huán)，形象地 傳達(dá)出“更快、更高、更強(qiáng) ”

34、的奧林匹克精 神。將彈跳鞋簡(jiǎn)化為線性彈簧，人簡(jiǎn)化為彈題2-2性直桿（可簡(jiǎn)化為兩段），試建立彈跳飛人題21圖圖的力學(xué)模型，分析彈跳飛人接觸地面時(shí)的最大應(yīng)力二、彈跳飛人題2-4圖22解：簡(jiǎn)化后的力學(xué)模型如圖 2-3, 2-4所示。彈跳鞋被簡(jiǎn)化為線性彈簧，取 彈性系數(shù)為ko人簡(jiǎn)化為兩段彈性直桿，其中腿部橫截面面積為 Ai,長(zhǎng)度為 li,上身橫截面面積為 A2,長(zhǎng)度為|2,取人的彈性模量為 E。設(shè)人與彈簧間的最大沖擊力為Fd,在其作用下，產(chǎn)生方向向上的加速度，桿上均勻分布慣性力向下 淇中：q1/q2 A1/A2 ,Fd q2l2 q1l1設(shè)飛人質(zhì)量為 m,從高度為H處跳下，其接觸地面時(shí)的動(dòng)能為 T=m

35、gH 由于彈簧的變形引起的人的勢(shì)能變化（忽略由于人軸向變形引起的勢(shì)能變化）：彈簧的應(yīng)變能:F；/(2k)；人上身軸力:F N ( X2 )q2X2；人腿部軸力:FN(X1 )Fd q人的應(yīng)變能為：VdAFZdX12EAi2/、2 FN (X2) dx20 2EA2根據(jù)能量守恒定律Vd人得:mgH mgFdFd2*32k6EAq2.3q2 l26EA2設(shè)：l1a, a22A,q1q2Fd3ql所以式（1）可簡(jiǎn)化為9l22k7l32EA3lmg-qmgH(2)求解式（2）中可得3mgEA ,9(mgEA)2 2mgH9k(EA)2 7lk2EA9EAl 7kl2則最大沖擊應(yīng)力在人的腳部max Fd

36、 . A 3ql. A代入q即可得:max2_229mgEA_3二9(mgEA) _2mgH9k(EA) _7lk2 EA9EA2 7kAl23mg d mg Fd k一、“一葦渡江是一個(gè)關(guān)于達(dá)摩乘一根蘆葦渡江的典故，圖（1）所示為漂浮在水面上的矩形截面梁，重量為F的人在梁上活動(dòng)，水的密度為 w,略去彎曲變形及梁自重的影響。要 求：（1）人的活動(dòng)范圍，保證梁上任何一點(diǎn)水不沒過其上表面；（2）若此梁為矩形截面組合梁（截面尺寸及材料分布見圖 （b），試畫出最大正應(yīng)力作用面上 的正應(yīng)力分布圖（已知 b , t , E1 2E2 2E）。. L 一 T解：設(shè)梁跨中C點(diǎn)豎向位移為 ，梁繞 C點(diǎn)轉(zhuǎn)角為，則

37、梁左、右端豎向位移為L(zhǎng)L弘 2 ，yB21.矩形梁下水壓力為梯形分布時(shí)：根據(jù)平行力系平衡條件可得F wg bLFe wg bL312其中，e為F作用點(diǎn)到C截面距離;FwgbL12FewgbL3此時(shí)PAW g 二 02LPbwg 金 0可得，F(xiàn)6Fe0,解得eLwgbLwgbL26246FewgbLwgbL2h ，令 WghbL1 ,解該不等式可得e L6根據(jù)不等式(1) (2)2時(shí)，e L 16L2時(shí)，e 62。矩形梁下水壓力三角形分布時(shí)2此時(shí)最大靜水壓力pmax-32FL e b 2wgh,可解得L 2L e23、一人一一一，一口，一1 一3.經(jīng)分析，當(dāng)F作用于跨中時(shí)，梁內(nèi)危險(xiǎn)截面彎矩值最大

38、，M max FL8此時(shí)E1I1E2Ii2 bt312bt 3t2-bt3 3b 2t 3122bt3 3其中，t h4梁危險(xiǎn)截面上的軸向正應(yīng)力y l MyE EE1I1 E2I2FPS1P2S2V1S1v2s225.豎向集中力F可二、半徑為R的剛性圓盤在圓周上由六根等距排列且完全一樣的立柱支撐在圓盤上自由地平行移動(dòng)，但立柱承受的軸向壓力達(dá)到F/4就會(huì)失穩(wěn).如果要使每一根立柱F應(yīng)該限制在什么區(qū)域內(nèi)？都不會(huì)失穩(wěn)，F(xiàn)應(yīng)該限制在什么區(qū)域內(nèi)？如果要圓盤不致于傾翻,若各桿抗拉剛度均為 EA,屈服極限均為sF.現(xiàn)荷載由O點(diǎn)緩慢移動(dòng)到K點(diǎn)后再返回到O4F力作用點(diǎn)為P(x, y)。以x軸為對(duì)稱軸確定對(duì)稱點(diǎn) (

39、1)對(duì)稱部分以y軸為對(duì)稱軸將載荷再次分解為對(duì)稱與反對(duì)稱兩部P,將載荷分解為對(duì)稱與反對(duì)稱兩部分二次對(duì)稱部分FA1Fb1FC1A 1 B I C IF D1F E1F F1F.6二次反對(duì)稱部分F A2 F D2F B2Ff2F C2Fe2Fa2R 2Fa2 3RF B2F B2R 2 Fx 2Fx6R2Fb2 Fa2F Fx l FF B -6 3R 6Fx6R26F FxF FxF B F F TOC o 1-5 h z 6 3R6 6RF Fx匚 匚 F FxF c F e -6 3R6 6R反對(duì)稱部分：P和P分別作用向下和向上的 F/2.同時(shí)將載荷以y軸為對(duì)稱軸再次分解。二次對(duì)稱部分 Fa2

40、Fd20 Fb2 Fc2Fe21 -_1 F B2 F C2 F E2 FF2Fc2 一 ：3R Fy22二次反對(duì)稱部分 各柱壓力均為零.F FxF Fx 、. 3FyFA -F B 一6 3R6 6R 6R TOC o 1-5 h z L FFx3FyFFxFc Fd 6R6R63RFFx3Fy上Fx3Fy卜 E 一 ZZ- 卜 F - LTZ-6R6R66R6R失穩(wěn)條件Fi F4分別是x R x J3 y R x、./3y - R422x 1R x .3y -R x、3y 1R422使六根立柱都不失穩(wěn)，應(yīng)為上述不等式的集合。是邊長(zhǎng)為a 4的正六邊形6F/4要使圓盤不致傾翻，至少有三根立柱沒

41、失穩(wěn).假定A、B、F三柱已失穩(wěn)，則此失穩(wěn)立柱支承力為 F力作用點(diǎn)為P (x,y).以x軸為對(duì)稱軸確定對(duì)稱點(diǎn) 對(duì)稱部分Fa Fb Ff F. 4Fc FeFd 2Fc F4Fd R 2Fc - 2 R Fx24 2 4FcFeFx反對(duì)稱部分Fd3F 2FxFcFy_3RC、FcFc3RFyFeFy_J3RD、E各柱總壓力為Fx FyR .3R3F失穩(wěn)條件分別是1x 13y1r2x 1r42Fx同理可得其它三柱失穩(wěn)的情況，可得一個(gè)邊長(zhǎng)為若各桿抗拉剛度均為 EA ,屈服極限均為O點(diǎn),A桿處的豎向位移是如何變化的剛在O點(diǎn)時(shí),A處的豎向位移vAOFl6EA求在K點(diǎn)時(shí),A處的豎向位移FC1FxFy_3RF

42、 D1F E1Fx_Fy_.3RFeFxFy,3R1 ：3y1-，a R正六邊形的區(qū)域。2F.現(xiàn)荷載由O點(diǎn)緩慢移動(dòng)到43F 2Fx FA.一 xK點(diǎn)后再返回到D 絲 v：1C、D處位移分別為FlvC1 C1 4EA因此Va1坦4EAVD1Fl4EA荷載由K返回到O點(diǎn)，相當(dāng)于原有荷載疊加上反方向荷載A處附加位移為FlVA26EA回到O點(diǎn)A處位移為vAVa1VA27Fl Fl 19Fl4EA 6EA 12EA28Vai一端與長(zhǎng)為1,桿由靜止開始1。圖示機(jī)構(gòu)位于鉛直面內(nèi)，均質(zhì)桿 AB重P長(zhǎng)21, 一端置于光滑地面上, 的繩OA相連，繩重不計(jì)且不可伸長(zhǎng)。當(dāng)繩水平時(shí)， AB與鉛垂線夾角 $ 落下，不計(jì)摩

43、擦。求開始運(yùn)動(dòng)瞬時(shí) ：桿的角加速度a;繩子的拉力和地面對(duì)桿的約束力。解:取桿AB為研究對(duì)象，如圖所示。AB平面運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B沿地面直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) 動(dòng).A繞O圓周運(yùn)AB平面運(yùn)動(dòng)，以 A為基點(diǎn),aC =aCA+aCA+aA C CA CA A由靜止開始，aCA =0, aCA =1向x方向投影：aCxacA1CXCA22AB平面運(yùn)動(dòng)，以 B為基點(diǎn),aC=aCB+aCB+aB由靜止開始，aCB=0, aCB = 1向y方向投影：a Cy1 aCB11 2291m(g 223）帶入（3）由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程:macx macy Fn mg2l 3lm(2l)F nFt1222、(2)得：Ft 當(dāng) Fn2帶

44、入得:12 mg4一 ml33,3mg16_3g 8Fn13mg16303I.圖示結(jié)構(gòu)中，設(shè)已知梁 AB的I, W,桿BD的截面面積 A=一2,長(zhǎng)為a,且梁桿材料相 2a2同，彈性模量均為 E?，F(xiàn)有一重為P的重物自高h(yuǎn)處，自由落下在 AB梁中點(diǎn)C處，求梁AB中最大動(dòng)應(yīng)力odmax。P(2a)3st 48EI動(dòng)荷因數(shù):最大動(dòng)應(yīng)力:1 Pa2 2EAPa33EIKdd maxKd st2hstPa2Wd d 6EIh1 1 3 Pa(11 拶)311.水滴在無阻尼的靜止介質(zhì)中下墜，由于蒸汽的凝結(jié)，水滴質(zhì)量增大的速度服從規(guī)律dm/dt=kr 其中k為常數(shù),r為水滴的半徑。假定初瞬時(shí)水滴的速度為V0,初始半徑為r0,初始質(zhì)量為m。，試把水滴速度大小的變化規(guī)律表示為其半徑的函數(shù)。解:設(shè)某一任意瞬時(shí)t,水的質(zhì)量為 m,把水滴的形狀假設(shè)為圓球體，則水滴的質(zhì)量可表示為m=3r3。由于水滴質(zhì)量的增大速率服從于規(guī)律dm/dt=kr,有3dm d r 2 dr 3 r krdtdtdtdr k dt 3 r由于水滴周圍的蒸汽的絕對(duì)速度為0,水滴的運(yùn)動(dòng)微分方程為dmvdtmgdv m dtmgdm vdt考慮水滴質(zhì)量的變化，有變 g vdt r2_ dr k將也代入上式,dt 3 r整理后得對(duì)上式進(jìn)行積分得到dv 33 gv