線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題

1、線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題目錄(1/1)目 錄概述4.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性 對偶性原理4.5 線性系統(tǒng)的結構性分解和零極點相消4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形4.7 實現(xiàn)問題4.8 Matlab問題本章小結線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形(1/3)4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有非唯一性。若在狀態(tài)空間的一組特定基底下,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有某種特定形式,則稱這種形式的狀態(tài)空間模型為規(guī)范形。約旦規(guī)范形(對角線規(guī)范形)就是

2、以系統(tǒng)的特征向量為其狀態(tài)空間基底所導出的規(guī)范形。從前面討論中可以看出,一旦把狀態(tài)空間模型通過線性變換化成約旦規(guī)范形,對于狀態(tài)轉移矩陣(t)求解以及狀態(tài)能控性和能觀性分析都是十分方便的。線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形(2/3)下面我們將討論,通過線性變換將SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型變換成對于系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計十分方便的能控規(guī)范形和能簡化系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器設計的能觀規(guī)范形。討論的主要問題:基本定義: 能控規(guī)范I/II形、能觀規(guī)范I/II形旺納姆能控規(guī)范II形龍伯格能控規(guī)范II形基本方法: 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形的變換方法線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形和能觀規(guī)范

3、形(3/3)講授順序為:能控規(guī)范形能觀規(guī)范形MIMO系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形 。線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題則稱該狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范I形。能控規(guī)范形(1/16)能控規(guī)范形定義4.6.1 能控規(guī)范形定義 若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為且系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(2/16)能控規(guī)范形定義若系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為則稱該狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范II形。 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(3/16)上述能控規(guī)范I形和II型的系統(tǒng)矩陣A分別為前面討論過的友矩陣的轉置和友矩陣。下面討論如下兩個問題:能控規(guī)范形一定是狀態(tài)完全能控和一定存在線

4、性變換將狀態(tài)能控的狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范形。線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題即能控性矩陣的秩都為n。故能控規(guī)范I形與II型必定是狀態(tài)完全能控的。能控規(guī)范形(4/16)能控規(guī)范形一定是狀態(tài)完全能控?由狀態(tài)能控的代數(shù)判據(jù),對能控規(guī)范I形和II型,有如下能控性矩陣:線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(5/16)由于線性變換不改變狀態(tài)能控性,而能控規(guī)范形一定狀態(tài)完全能控,因此,只有狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)才能變換成能控規(guī)范形。下面討論將完全能控的狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范形,以及該線性變換的變換矩陣的構造問題。對此,有如下對能控狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范I形和II型的定理。線性系統(tǒng)的能控性和

5、能觀性和實現(xiàn)問題定理4-24 對狀態(tài)完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)引入變換矩陣Tc1如下Tc1=Qc=B AB An-1B是非奇異的。那么必存在一線性變換 ,能將上述狀態(tài)方程變換成能控規(guī)范I形:能控規(guī)范形(6/16)-能控規(guī)范I形定理其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能控規(guī)范I形所定義的。 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題證明 若取變換矩陣Tc1=Qc,則由 能控規(guī)范形(7/16)-能控規(guī)范I形定理有因此,由系統(tǒng)線性變換和凱萊-哈密頓定理有 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(8/16)-能控規(guī)范I形定理即證明了變換矩陣Tc1=Qc可將能控狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范I形。線性系統(tǒng)的

6、能控性和能觀性和實現(xiàn)問題定理4-25 對狀態(tài)完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)引入變換矩陣Tc2如下式中，T1=0 0 1B AB An-1B-1那么必存在一線性變換 ,能將上述狀態(tài)方程變換成如下能控規(guī)范II形:能控規(guī)范形(9/16)-能控規(guī)范II形定理其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能控規(guī)范II形所定義的。 Qc的逆矩陣的最后一行線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(10/16)證明證明的思路為:先構造變換矩陣P的逆為行向量組成利用變換關系A=P-1AP,確定P-1的行之間的關系利用變換關系B=P-1B,最后確定T1證明過程為: 設變換矩陣Tc2的逆陣為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問

7、題能控規(guī)范形(11/16)則由 ，可得代入友矩陣 ,則有即線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(12/16)因此,有Ti=T1Ai-1 i=2,3,n即能控性變換矩陣Tc2為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(13/16)下面討論T1的計算。由求轉置,并代入向量 ,考慮到對SISO系統(tǒng)T1AiB為標量,則有即T1=0 0 1B AB An-1B-1線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題是非奇異矩陣,即該系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控,因此可以將其變換成能控規(guī)范形。能控規(guī)范形(14/16)例4-19由上述計算過程,可很便利地將能控的狀態(tài)空間模型轉換為能控規(guī)范形。例4-19 試求如下系統(tǒng)的能控規(guī)

8、范I和II形:解 系統(tǒng)的能控性矩陣線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(15/16)(2) 求能控規(guī)范I形。 根據(jù)定理4-24,系統(tǒng)變換矩陣可取為 因此,經(jīng)變換 后所得的能控規(guī)范I形的狀態(tài)方程為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能控規(guī)范形(16/16)(2) 求能控規(guī)范II形。 計算變換矩陣先求變換矩陣。根據(jù)定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2則變換矩陣Tc2可取為因此,經(jīng)變換 后所得的能控規(guī)范形的狀態(tài)方程為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能觀規(guī)范形(1/9)能觀規(guī)范形定義4.6.2 能觀規(guī)范形對應于能控規(guī)范形,若SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)的系統(tǒng)矩陣

9、A和輸出矩陣C分別為 則稱該狀態(tài)空間模型為能觀規(guī)范I形；線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能觀規(guī)范形(2/9)能觀規(guī)范形定義對應于能控規(guī)范形,若SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)的系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C分別為 則稱該狀態(tài)空間模型為能觀規(guī)范II形。線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能觀規(guī)范形(3/9)由上述定義可知:能觀規(guī)范形與能控規(guī)范形是互為對偶的,即能觀規(guī)范I形與能控規(guī)范I形互為對偶,而能觀規(guī)范II形與能控規(guī)范II形互為對偶。由對偶性原理可知,能控規(guī)范形是狀態(tài)完全能控的,則其對偶系統(tǒng)能觀規(guī)范形是狀態(tài)完全能觀的。由于線性變換不改變能觀性,而能觀規(guī)范形一定狀態(tài)完全能觀,因此,只有狀態(tài)完全能觀

10、的系統(tǒng)才能變換成能觀規(guī)范形。下面討論將完全能觀的狀態(tài)空間模型變換成能觀規(guī)范I/II形,以及該線性變換的變換矩陣的構造問題，對此,有如下定理。線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題定理4-26 對狀態(tài)完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)引入變換矩陣To1滿足那么線性變換 ,必能將狀態(tài)空間模型(A,B,C)變換成能觀規(guī)范I形:能觀規(guī)范形(4/9)-能觀規(guī)范I形定理其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能觀規(guī)范I形所定義的。 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題定理4-27 對狀態(tài)完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)引入變換矩陣co2如下To2=R1 AR1 An-1R1式中，那么必存在一線性變換 ,能將狀

11、態(tài)空間模型(A,B, C)變換成如下能觀規(guī)范II形:能觀規(guī)范形(5/9)-能觀規(guī)范II形定理其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能觀規(guī)范II形所定義的。 Qo的逆矩陣的最后一列線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能觀規(guī)范形(6/9)例4-20由于能觀規(guī)范形與能控規(guī)范形互為對偶,因此,能觀規(guī)范形變換定理4-26與定理4-27的證明可由能控規(guī)范形變換定理4-24與定理4-25的證明直接給出,這里不再贅述。例4-20 試求如下系統(tǒng)狀態(tài)方程的能觀規(guī)范I形與II型線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能觀規(guī)范形(7/9)例4-20解 由于系統(tǒng)的能觀性矩陣是非奇異矩陣,即該系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀,因此可以將其變換成能觀規(guī)范

12、形。線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能觀規(guī)范形(8/9)(1) 求能觀規(guī)范I形。根據(jù)定理4-26,系統(tǒng)變換矩陣可取為 因此,經(jīng)變換后所得的能觀規(guī)范形的狀態(tài)方程為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題能觀規(guī)范形(9/9)(2) 求能觀規(guī)范II形。根據(jù)定理4-27,先求變換矩陣，有 則變換矩陣To2可取為因此,經(jīng)變換后所得的能觀規(guī)范II形的狀態(tài)方程為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題MIMO系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形(1/1)4.6.3 MIMO系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形,相比于SISO系統(tǒng),無論是規(guī)范形形式還是構造方法都要復雜一些。本節(jié)從基本性和實用性出發(fā),僅討

13、論應用較廣的旺納姆(Wonham)能控規(guī)范II形和龍伯格(Luenberger) 能控規(guī)范II形。 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題旺納姆能控規(guī)范II形(1/1)1. 旺納姆能控規(guī)范II形下面分別介紹旺納姆能控規(guī)范II形定義變換陣Tw的確定線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題旺納姆能控規(guī)范II形定義(1/3)(1) 旺納姆能控規(guī)范II形定義對完全能控的MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)式中，A為維系統(tǒng)矩陣,B為維輸入矩陣,C為維輸出矩陣?；诰€性非奇異變換 ,可導出系統(tǒng)的旺納姆能控規(guī)范II形為式中，線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題旺納姆能控規(guī)范II形定義(2/3)線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題旺納

14、姆能控規(guī)范II形定義(3/3)類似于SISO能控規(guī)范形，可以證明旺納姆能控規(guī)范II形肯定能控，而且任何狀態(tài)完全能控的MIMO狀態(tài)空間模型肯定可以變換成旺納姆能控規(guī)范II形。 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣Tw的確定(1/6)(2) 變換陣Tw的確定類似于SISO的能控規(guī)范II形,旺納姆能控規(guī)范II形的變換矩陣也可從能控性矩陣構造,方法如下：首先,通過列向搜索找出系統(tǒng)能控性矩陣中n個線性無關列向量。為此,將Qc的所有nr個列向量排列成如下形式線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣Tw的確定(2/6)類似于SISO的能控規(guī)范II形,旺納姆能控規(guī)范II形的變換矩陣從左到右搜索每一個列向量

15、,檢驗該向量與其左邊所有保留下來的線性無關列向量是否線性相關。若相關則將該向量從隊列中剔出,否則保留。如此,一直搜索到找到n個線性無關列向量為止。最后將源自Qc的n個線性無關列向量構成矩陣式中， 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣Tw的確定(3/6)因此,有 式中，ei,j為行向量?；诖?變換矩陣Tw可取為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣Tw的確定(4/6)-例4-21 則可將完全能控的狀態(tài)空間模型變換成旺納姆能控規(guī)范II形。具體推證過程與SISO能控規(guī)范II形的推證過程類似,故略去。考慮到能控性和能觀性之間的對偶關系,利用對偶性原理,可由旺納姆能控規(guī)范形的結論直接導出旺納姆能

16、觀規(guī)范形的對應結論。具體過程略。例4-21 試求如下線性定常連續(xù)系統(tǒng)的旺納姆能控規(guī)范II形。線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣Tw的確定(5/6)解 由能控性判別矩陣的秩等于3,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控,因此該系統(tǒng)可以變換成旺納姆能控規(guī)范II形。首先,按列向探索方法,找到3個線性無關列b1,Ab1和A2b1。因此,非奇異矩陣S及其逆矩陣為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣Tw的確定(6/6)故變換矩陣為即可求得旺納姆能控規(guī)范II形的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題龍伯格能控規(guī)范II形(1/1)2. 龍伯格能控規(guī)范II形下面分別介紹龍伯格能控規(guī)范II形定義變換陣TL的確

17、定線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題龍伯格能控規(guī)范II形定義(1/3)(1) 龍伯格能控規(guī)范II形定義對完全能控的MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)式中，A為維系統(tǒng)矩陣,B為維輸入矩陣,C為維輸出矩陣。基于線性非奇異變換 ,可導出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范II形為式中，線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題龍伯格能控規(guī)范II形定義(2/3)線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題龍伯格能控規(guī)范II形定義(3/3)類似于SISO能控規(guī)范形，可以證明龍伯格能控規(guī)范II形肯定能控，而且任何狀態(tài)完全能控的MIMO狀態(tài)空間模型肯定可以變換成龍伯格能控規(guī)范II形。 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣TL的確定(1/6)(2)

18、 變換陣TL的確定類似于SISO的能控規(guī)范II形,龍伯格能控規(guī)范II形的變換矩陣也可從能控性矩陣構造,方法如下：首先,通過行向搜索找出系統(tǒng)能控性矩陣中n個線性無關列向量。為此,表將的所有nr個列向量排列成如下形式線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣TL的確定(2/6)類似于SISO的能控規(guī)范II形,龍伯格能控規(guī)范II形的變換矩陣從左到右搜索每一個列向量,檢驗該向量與其左邊所有保留下來的線性無關列向量是否線性相關。若相關則將該向量從隊列中剔出,否則保留。如此,一直搜索到找到n個線性無關列向量為止。最后將源自的n個線性無關列向量構成矩陣式中， 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣TL的確定(3/6)因此,有 式中，ei,j為行向量。基于此,變換矩陣TL可取為線性系統(tǒng)的能控性和能觀性和實現(xiàn)問題變換陣TL的確定(4/6)-例4-22則可將完全能控的狀態(tài)空間模型變換成龍伯格