高中總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配人教A版(老高考舊教材)配套PPT課件6.2　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 -2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23411.等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的等于,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的,公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為(nN*),d為常數(shù).(2)等差中項(xiàng):數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是,其中A叫做a,b的.(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=,可推廣為an=.第2項(xiàng) 差 同一個(gè)常數(shù) 公差 an+1-an=d 等差中項(xiàng) a1+(n-1)d am+(n-m)d -3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23412.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若m+n=p+q,則(m,n,p,qN*);m+n=2p,則am+

2、an=2ap(m,n,pN*).(2)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差為的等差數(shù)列.(3)若an,bn是等差數(shù)列,p,qR,則pan+qbn也是等差數(shù)列.(4)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則數(shù)列也是數(shù)列.(5)若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S2n-1=(2n-1)an.(6)若n為偶數(shù),則 ;若n為奇數(shù),則S奇-S偶=a中(中間項(xiàng)).am+an=ap+aq md 等差 -4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23413.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)an=a1+(n-1)d可化為an=dn+a1-d的形式.當(dāng)d0時(shí),an是關(guān)于n的一次函數(shù)

3、;當(dāng)d0時(shí),數(shù)列an為遞增數(shù)列;當(dāng)d0,d0,則Sn存在最值;若a10,則Sn存在最值.大 小 2-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)34151.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列. ()(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列. ()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù). ()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ()(5)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. ()(6)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0

4、的二次函數(shù). () -7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.張丘建算經(jīng)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有女不善織,日減功遲,初日織五尺,末日織一尺,今共織九十尺,問(wèn)織幾日?”.已知“日減功遲”的具體含義是每天比前一天少織同樣多的布,則此問(wèn)題的答案是()A.25日B.40日C.35日D.30日 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234153.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a10+a11+a12=6,則S21=()A.42B.21C.23D.44 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.(2017全國(guó),理4)記Sn為等差數(shù)列an的前

5、n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-10-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234155.記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1(1)在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,則公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于()A.3B.4C.5D.6思考求等差數(shù)列基本量的一般方法是什么?C B-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)(方法

6、一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,數(shù)列an為等差數(shù)列,d=am+1-am=1,m0,a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.解析: (1)在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,公差d的值是3.故選B.-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,則等差數(shù)列的公差為d=am+1-am=3-2=1.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得1.等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公

7、式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程組解決問(wèn)題的思想.3.減少運(yùn)算量的設(shè)元的技巧,若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d;若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d, a+3d.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=()A.100B.99C.98D.97(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=-9,則S16=.-72 C -17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-18-考

8、點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例2數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設(shè)bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列;(2)求an的通項(xiàng)公式.思考判定一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有哪些?-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(1)證明 由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通

9、項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得等差數(shù)列的判定方法:(1)證明數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種:利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d(nN*);利用等差中項(xiàng)證明,即證明an+2+an=2an+1(nN*).(2)解答選擇題、填空題時(shí),也可用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式直接判斷:通項(xiàng)法:若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù),即an=An+B,則an是等差數(shù)列.前n項(xiàng)和法:若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn可以化為Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則an是等差數(shù)列.(3)判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,只需說(shuō)明某連續(xù)三項(xiàng)(如前三項(xiàng))不是等差數(shù)列即可.-22-考點(diǎn)

10、1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n-1.數(shù)列bn滿足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例4在等差數(shù)列an中,前m項(xiàng)的和為30,前2m項(xiàng)的和為100,則前3m項(xiàng)的和為.思考本例題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡(jiǎn)便? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得1.利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)解決基本量的運(yùn)算體現(xiàn)了整體求值思想,應(yīng)用時(shí)常將an+am=2ap(m+n=

11、2p,m,n,pN*)與am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相結(jié)合,可減少運(yùn)算量.2.在等差數(shù)列an中,依據(jù)題意應(yīng)用其前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題能比較簡(jiǎn)便地求出結(jié)果,常用的性質(zhì)有:在等差數(shù)列an中,數(shù)列-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知等差數(shù)列an的前17項(xiàng)和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17D.51(2)已知等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分(3)在等差數(shù)列an中,其前n項(xiàng)和為Sn,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=.A D 45 -28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)an為等差數(shù)

12、列,S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列.2(S6-S3)=S3+(S9-S6).a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例5在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值.思考求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值有哪些方法?-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4nN*,當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0,即a13=0.當(dāng)n=

13、12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的三種方法:(1)函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法:利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),當(dāng)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),便可求得前n項(xiàng)和的最值.-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8= -2,則當(dāng)Sn取最大值時(shí),n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)設(shè)數(shù)列an是公差d0,a7=-10;又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列,因此在該數(shù)列中,前6項(xiàng)均為正數(shù),自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),于是當(dāng)Sn取最大值時(shí),n=6,故選B.(2)由題意,得S6=6a1+15d=5a1+10d,a6=0,故當(dāng)n=5或n=6時(shí),Sn最大,故選C. 答案解析關(guān)閉(1)B(2)C-35-思想方法整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用整體思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、思考問(wèn)題,常常能化繁為簡(jiǎn)、變難為易,同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有:整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體改造等.在等差