學案3-空間圖形的基本關系與公理

1、學案3 空間圖形的基本 關系與公理名師伴你行SANPINBOOK考點一考點二考點三考點四考點五名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK1.空間圖形的基本關系（1）點與直線的位置關系有 兩種；（2）點與平面的位置關系有個 兩種.（3）空間兩條直線的位置關系：點在直線上和點在直線外點在平面內(nèi)和點在平面外返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK直線a和直線b在同一個平面內(nèi)，而且沒有公共點， 這樣的兩條直線叫作 ；直線b和c只有一個公共點，這樣的兩條直線叫作 ；不同在任何的一個平面內(nèi)的兩條直線叫作 .（4）直線與平面的位置關系直線和平面有無數(shù)個公共點稱 ；直線和平面沒有公

2、共點稱 ；直線和平面只有一個公共點稱 .（5）平面與平面的位置關系異面直線 平行直線 相交直線 直線在平面內(nèi) 直線和平面平行 直線和平面相交返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK平面和平面沒有公共點，稱平面與平面為 ；兩個平面不重合且有公共點，稱兩個平面為 .2.空間圖形的公理公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的 都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）.直線a在平面內(nèi)，記作 .公理2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點， 一個平面（即可以確定一個平面）.平行平面相交平面 所有的點 a有且只有返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有

3、且只有 .平面與平面的公共直線為a，記作 . 公理4 平行于同一條直線的兩條直線 . 定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角 .相等或互補 一條通過這個點的公共直線=a 平行 返回目錄 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，過E，F(xiàn)，G的平面交AD于H，連接EH.（1）求AH:HD；（2）求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點.考點一 證明共點問題 名師伴你行SANPINBOOK【分析】證明線共點的問題實質上是證明點在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點看作是兩平面的公共點，由公理3

4、得證.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【解析】（1） =2，EFAC. EF平面ACD. 而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH， EFGH.而EFAC，ACGH. =3，即AH:HD=3:1.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （2）證明：EFGH，且 ， ，EFGH,四邊形EFGH為梯形.令EHFG=P,則PEH,而EH 平面ABD，PFG，F(xiàn)G 平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，PBD.EH，F(xiàn)G，BD三線共點.名師伴你行SANPINBOOK 所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點. （1）證明三線共點的依據(jù)是公理3. （2）證明三線共

5、點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點，把問題轉化為證明點在直線上的問題.實際上，點共線、線共點的問題都可以轉化為點在直線上的問題來處理.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK對應演練如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點.且CG= BC，CH= DC.求證：（1）E，F(xiàn)，G，H 四點共面；（2）三直線FH，EG， AC共點.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （1）連接EF，GH.由E,F分別為AB,AD中點，EF BD,由CG= BC CH= DC，HG BD，EFHG且EFHG.EF,HG可確定平面

6、,E,F,G,H四點共面.名師伴你行SANPINBOOK（2）由（1）知,EFHG為平面圖形，且EFHG，EFHG.四邊形EFHG為梯形，設直線FH直線EG=O，點O直線FH，直線FH 面ACD，點O平面ACD.同理點O平面ABC.又面ACD面ABC=AC，點O直線AC（公理2）.三直線FH，EG，AC共點.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK在正方體ABCDA1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC,BD交于點M,求證:點C1,O,M共線.【分析】證明三點共線常用方法是取其中兩點確定一直線,再證明其余點也在該直線上.考點二 點共線問題 返回目錄 名師伴你行SANPINB

7、OOK【證明】如圖,A1AC1C,A1A,C1C確定平面A1C.A1C 平面A1C,OA1C,O平面A1C,而O=平面BDC1線A1C,O平面BDC1,O在平面BDC1與平面A1C的交線上.ACBD=M,M平面BDC1且M平面A1C,平面BDC1平面A1C=C1M,OCM,即M,O,C1三點共線.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 證 明若干點共線也可用基本性質3 為依據(jù),找出兩個平面的交線,然后證明各個點都是這兩平面的公共點.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 對應演練如圖所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延長線分別交平面于P,Q,R三點.求證:P,Q,R三點共線

8、.證明:設ABC所在平面為,因為AP=P,AP,所以與相交于過點P的直線l,即Pl.因為BQ=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可證Rl.所以P,Q,R三點共線.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【分析】四條直線兩兩相交且不共點,有兩種情況:一是恰有三條直線共點;二是任意三條直線均不共點,故應分兩種情況證明.考點三 共面問題 證明：空間不共點且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).名師伴你行SANPINBOOK【解析】 (1)如圖,設直線a,b,c相交于O點,直線d和a,b,c分別交于M,N,P三點,份直線d和點O確定平面.O直線a,M直線a,直線a平面.同理b平面,c平面.a,b,c,d四

9、線共面.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK(2)如圖,設直線a,b,c,d兩兩相交,且任意三條不共點.直線ab=M,直線a和b確定平面.ac=N,bc=Q,N,Q都在平面內(nèi).直線a,b,c,d共面于.綜合（1），（2）知,兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi).返回目錄 返回目錄 所謂點線共面問題就是指證明一些點或直線在同一個平面內(nèi)的問題.（1）證明點線共面的主要依據(jù)：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)（公理1）.經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（公理2）.（2）證明點線共面的常用方法:納入平面內(nèi)：先確定一個平面，再證明有關點、線在此

10、平面內(nèi).輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面,重合.反證法.（3）具體操作方法：證明幾點共面的問題可先取三點（不共線的三點）確定一個平面，再證明其余各點都在這個平面內(nèi).證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個平面，再證明其余直線均在這個平面內(nèi). 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 對應演練如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.（1）直線AC1平面CC1B1B；（2）設正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1；（3）點A，O，C可以確定一個平

11、面；（4）由點A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1確定的平面和由A，C1， D確定的平面是同一平面.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 (1)錯誤，若AC1平面CC1B1B，則A平面 CC1B1B，這與A 平面CC1B1B的幾何事實矛盾.(2)正確，O，O1是這兩個平面的兩個公共點.(3)錯誤,點A，O，C在同一直線上.(4)正確，A，C1，B1不共線，確定平面.AB1C1D是平行四邊形，過AD與B1C1兩平行線確定一平面,又,都過不共線三點A,C1,B1，與重合.點D平面AC1B1，即A,C1,B1確定的平面是ADC1B1.(5)正確，同（4）.名師伴你行SAN

12、PINBOOK返回目錄 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點.問：（1）AM和CN是否是異面直線？（2）D1B和CC1是否是異面直 線？請說明理由.考點四 異面直線的判定和證明 【分析】（1）由于M,N分別是A1B1和B1C1的中點，可證明MNAC，因此AM與CN不是異面直線.（2）由空間圖形可感知D1B和CC1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法.名師伴你行SANPINBOOK【解析】（1）不是異面直線.理由如下：M,N分別是A1B1,B1C1的中點,MNA1C1，又A1A D1D,而D1D C1C，A1A C1C，四邊形A1ACC1為平行

13、四邊形.A1C1AC，得到MNAC，A,M,N,C在同一個平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （2）是異面直線，證明如下：假設D1B與CC1在同一個平面D1CC1內(nèi)，則B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，這與正方體ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾.假設不成立，故D1B與CC1是異面直線.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK 判定異面直線的常用方法有：（1）定義法；（2）反證法；（3）判定定理法，應用異面直線判定定理來判定時，應注意是否滿足它的“四要素”，即點A平面,B ,直線a

14、,A a,則直線AB與a異面.返回目錄 如圖所示，E,F在AD上，G,H在BC上，圖中8條線段所在的直線，哪些直線互為異面直線？先找規(guī)律性較強的直線，如AB與CD，AC與BD，AD與BC互為異面直線，然后再把EG添入，那么易得EG分別與AB,AC,BD,DC成異面直線.同理，F(xiàn)H也與它們分別成 異面直線，EG與FH也互為異面直線.每兩條異面直線稱 為“一對”，則共有12對異面直線.對應演練 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【分析】 本題首先要考慮將題目中的直線AB與 CD所成的角是60反映在圖形上 ，故要考慮添加輔 助線，通常取中點將其中的直線進行平移，從而得解.考點五 異面直線所成的

15、角 在空間四邊形ABCD中，AB=CD且其所成的角是60，點M,N分別是BC,AD的中點.求直線AB與MN所成的角.名師伴你行SANPINBOOK 【解析】取AC的中點P，連結PM,PN，則有 PMAB，且PM= AB.PNCD，且PN= CD. 又AB=CD且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或60. MPN=60或30，即直線AB與MN所成的角為60或30.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 求異面直線所成的角主要有定義法(平移法)和向量法. 利用定義法(平移法)求異面直線所成角的一般步驟為: (1)平移:選擇適當?shù)狞c,平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里

16、的點通常選擇特殊位置的點,如線段的中點或端點,也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點. (2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角. (3)尋找:在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因為異面直線所成角的取值范圍是090,所以所作的角為鈍角時,應取它的補角作為異面直線所成的角.名師伴你行SANPINBOOK對應演練如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB=60,對角線AC與BD交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60.(1) 求四棱錐的體積；(2) 若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.返回目錄 名師伴你行SAN

17、PINBOOK返回目錄 （1）在四棱錐PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB與平面ABCD所成的角，即PBO=60,在RtPOB中，BO=ABsin30=1,又POOB，PO=BOtan60= ,底面菱形的面積S=2 22 =2 ，四棱錐PABCD的體積VPABCD= 2 =2.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 (2)取AB的中點F，連接EF，DF，E為PB中點，EFPA.DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補角）.在RtAOB中，AO=ABcos30= =OP,在RtPOA中，PA= ，EF= .在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE= ，由余弦定理得cosDEF= 異面直線DE與PA所成角的余弦值為 .名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 1.對于平面的三個公理，要深刻理解其含義，并能用符號準確地表述. 2.主要題型的解題方法 （1）要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面,再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)（即“納入法”）. （2）要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線.名師伴你行SANPINBOOK返回