自動控制理論44

1、第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 第四章 根軌跡分析法四、增加開環(huán)零極點對系統(tǒng)性能的影響二、已知根軌跡增益Kr確定閉環(huán)極點一、閉環(huán)極點位置與系統(tǒng)性能的關系 根軌跡反映了閉環(huán)特征根隨 Kr變化的規(guī)律,通過根軌跡分析系統(tǒng)的性能具有直觀方便的特點。 三、已知性能指標確定閉環(huán)極點和Kr第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 一、閉環(huán)極點位置與系統(tǒng)性能 的關系n階系統(tǒng)單位階躍響應的一般表達式為C(s)= sn+a1sn-1+an-1s+anb0sm+b1sm-1+bm-1s+bmR(s) s1i =1m(s-zi)j =1n(s-sj)Kgx= sA0s-s1A1s-snAn= + + + sA0s-sjAjnj

2、 =1=+zi 閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點si閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點待定系數(shù):i =1m(s-zi)j =1n(s-sj)KrAj = S=Sj(s-sj)系統(tǒng)的輸出響應： c(t)=A0+nj=1AjeSjt 由上式可見性能主要由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點決定。 負實數(shù)極點離虛軸越遠,對應的分量 eSjt 衰減越快系統(tǒng)的調節(jié)時間就越短,響應越快.第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 一對共軛復數(shù)極點在S平面上的分布:s1,2=+n-nj1-2n=-+dj=n|s1|=|s2|=nd( )2+ 2=cos-1cos= nn=d-nj0s1s2-dnn 復數(shù)極點的參數(shù)與系統(tǒng)階躍響應及性能指標的關系為 n3ts=c(t

3、)=1- sin( t+)1-2e- t nd%=e- 1-2/%第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 復數(shù)極點的位置與性能的關系： （1）閉環(huán)復數(shù)極點的實部n反映了 系統(tǒng)的調整時間； （2）閉環(huán)極點的虛部d表征了系統(tǒng)輸 出響應的振蕩頻率； （3）閉環(huán)極點與坐標原點的距離n表 征了系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩頻率； （4）閉環(huán)極點與負實軸的夾角反映 了系統(tǒng)的超調量； （5）閉環(huán)極點在S 左、右平面的分布 反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 當系統(tǒng)具有多個閉環(huán)極點時，可借助于主導極點的概念，將系統(tǒng)簡化成低階系統(tǒng)來處理。第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 例 已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):(s)=(S+1)(0.01S2+0.08S+

4、1)1試估算系統(tǒng)的性能指標。解 ： 閉環(huán)有三個極點 S1=-1S2,3=-4 j9.2+j0s1 s2s3 -19.2-9.2-4s1為主導極點 s2.3離虛軸的距離是s1的四倍，因而可以忽略不計。則(s)=S+11ts=3T=3(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)簡化為 一階系統(tǒng)第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 二、已知根軌跡增益Kr確定 閉環(huán)極點 根據(jù)根軌跡曲線分析系統(tǒng)性能，有時需要確定增益Kr取某值時的閉環(huán)極點，進而確定閉環(huán)傳遞函數(shù).已知Kr一般采用試探的方法確定閉環(huán)極點.第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 例 已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):S(S+1)(S+2)G(s)H(s)=Kr 試確定Kr=1時的閉環(huán)極點。系

5、統(tǒng)的根軌跡圖如圖: 解：取：S3=-2.32S3=-2.33Kr=|s3|s3+1|s3+2|Kr=2.32x1.32x0.32=0.98Kr=1.023S3=-2.325Kr=1.001即Kr=1S3=-2.325S+2.325S3+3S2+2S+1=S2+0.675S+0.431=0根據(jù)長除法有可求得另兩個極點 S2,3=-0.338j0.56(s)=(S+2.325)(S2+0.675S+0.431)1閉環(huán)傳遞函數(shù)為:j0p1p2p3-1-2s3s1s2第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 三、已知性能指標確定閉環(huán) 極點和Kr 采用根軌跡法分析系統(tǒng)性能，有時也需要根據(jù)對系統(tǒng)的性能指標要求確定閉

6、環(huán)極點的位置和對應的Kr值,使得系統(tǒng)的性能滿足要求.第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 要求S(S+1)(S+2)G(s)H(s)= Kr =0.5試確定閉環(huán)極點和對應的Kr.例 已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):系統(tǒng)的根軌跡圖如圖: 解：在根軌跡圖上作射線:=cos-1=60=60與根軌跡相交點為s1和s2S1,2=-0.33j0.58即n-m 2_3j=1Pj -S3=S1-S2=-3+0.33x2=-2.34=2.34x1.34x0.34=1.066Kg=|s3|s3+1|s3+2|j0p1p2p3-1-2s3s1s2系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (s)=(S+2.34)(S+0.33)2+0.5821.06

7、6第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 四、增加開環(huán)零極點對系統(tǒng)性能 的影響 由以上分析知，閉環(huán)特征根應該位于S 左半平面，而且離虛軸要有一定的距離，才能滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性要求。增加開環(huán)零、極點必將改變根軌跡的形狀和走向，即改變系統(tǒng)的性能。第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 （1）設二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 S(S+1)G(s)H(s)=Kr 1. 增加開環(huán)零點系統(tǒng)的根軌跡圖如圖: 不管怎么選擇Kr 閉環(huán)極點離虛軸的距離都太近,影響系統(tǒng)的快速性. 增加零點后: 系統(tǒng)的根軌跡圖為: S(S+1)G(s)H(s)=Kr (S+2) 零點使根軌跡向左彎曲，選擇適當Kr值，既可使閉環(huán)極點離虛軸有一定的距離

8、.j0p1p2-1s1z1 -2s2-n 又可使角較小，以降低超調量。 增加合適的零點,可以減小超調量和調整時間，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和選快速性。第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 如果零點選擇不合適，效果就完全不一樣。設 S(S+1)G(s)H(s)=Kr (S+0.5)系統(tǒng)的根軌跡圖如圖: j0p1z1 -0.5p2-1 不管怎么選擇Kr值，閉環(huán)極點總為兩個實數(shù)極點。主導極點離虛軸的距離在00.5之間，系統(tǒng)的調節(jié)時間不可能縮短。第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 （2）設三階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 S2(S+5)G(s)H(s)=Kr (S+2)系統(tǒng)的根軌跡圖如圖: 增加零點后: S2(S+5)G(s)

9、H(s)=Kr 系統(tǒng)的根軌跡圖: j0p1p2p3-5z1 -2 加了零點后根軌跡的漸近線位于S左半平面， 系統(tǒng)由不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。 如果增加零點后: S2(S+5)G(s)H(s)=Kr(S+10)系統(tǒng)的根軌跡圖: 根軌跡的漸近線位于S右半平面，系統(tǒng)仍然不穩(wěn)定.z1 p1p2p3-50j-10第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 ，S(S+1)(S+4)G(s)H(s)=Kr要求=0.5例 已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):試確定開環(huán)零點的位置。 ts3s (1)系統(tǒng)根軌跡圖: 解：(2) 驗證系統(tǒng)是否滿 足性能指標的要求作射線=cos-1=60S1,2=-0.4j0.7ts= = =7.5s 3n30.4

10、不滿足要求,加入開環(huán)零點來改善系統(tǒng)的性能（3）確定開環(huán)零點的位置1）選擇零點z=-2 S(S+1)(S+4)G(s)H(s)=Kr (S+2)系統(tǒng)的根軌跡圖: Kr=6S1,2=-1j1.732ts= =3s 3n滿足要求j0p1p2p3s1z1 s2第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 2）選擇零點z=-0.5 S(S+1)(S+4)G(s)H(s)=Kr (S+0.5)系統(tǒng)的根軌跡圖: z1 j0p1p2p3s1 由于閉環(huán)實數(shù)極點靠近虛軸，故系統(tǒng)響應速度較低。一般不希望系統(tǒng)出現(xiàn)這種情況. 第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 3）選擇零點z=-7 S(S+1)(S+4)G(s)H(s)= Kr (S+7)系統(tǒng)的根軌跡圖: j0p1p2p3s1z1 系統(tǒng)的性能沒有大的改善 第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 2增加開環(huán)極點設二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 S(S+1)G(s)H(s)=Kr (S+3)系統(tǒng)的根軌跡圖: 1）選擇極點p=-6S(S+1)(S+6)G(s)H(s)= Kr (S+3)j0p1p2z1 p3系統(tǒng)的根軌跡圖: 第四節(jié) 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能 2）選擇極點p=-2S(S+1)(S+2)G(s)H(s)= Kr (S+3)系統(tǒng)的根