自動(dòng)控制原理 王劃一 第二版 5-2奈氏判據(jù)

1、5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù))是根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則。 具有以下特點(diǎn) ： (1) 應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線就可以判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。 (2) 便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對(duì)穩(wěn)定性的影響。 (3) 很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 (4) 奈氏判據(jù)稍加推廣還可用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 5.4.1 輔助函數(shù)F(s) 如圖示的控制系統(tǒng)，G(s)和H(s)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比 G(s)R(s)C(s)+H(s)1開環(huán)傳遞函數(shù)為 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 把閉環(huán)特征多項(xiàng)式和開環(huán)特征多項(xiàng)式之比稱之為輔助函數(shù)， 記作F(s)， F(s)仍是復(fù)變量s的函數(shù)。=1 +

2、 Gk(s)2 顯然，輔助函數(shù)和開環(huán)傳函之間只相差1。考慮到物理系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中m n，故F(s)的分子和分母兩個(gè)多項(xiàng)式的最高次冪一樣，均為n， F(s)可改寫為： F(s)具有如下特征： 1）其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根； 2）零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同； 3） F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1。式中， zi和pi分別為F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。3 F(s)曲線從B點(diǎn)開始，繞原點(diǎn)順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了一圈。j0szi AF(s)ImRe0FB5.4.2 幅角原理 在 s 平面上任選一點(diǎn) A 通過映射F(s)平面上F(A)。 設(shè)s只包圍zi ，不包圍也不通過任何極點(diǎn)和其他零點(diǎn)。 從A點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針轉(zhuǎn)一

3、周回到A4 幅角原理：如果封閉曲線內(nèi)有Z個(gè)F(s)的零點(diǎn)， P個(gè)F(s)的極點(diǎn) ，則s 沿封閉曲線s 順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F(s)平面上，曲線F(s)繞其原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)R為P和Z之差，即 R = P Z N若為負(fù)，順時(shí)針。 5. 4 . 3 奈氏判據(jù) （1）0型系統(tǒng) s為包圍虛軸和整個(gè)右半平面。 s平面s 映射 F(s) 正虛軸 j (:0) F(j) ( : 0) 負(fù)虛軸 j (: 0) F(j) ( : 0) 半徑的半圓 ( 1, j0)點(diǎn)0js+5 F(j)和G(j)H(j)只相差常數(shù)1。 F(j)包圍原點(diǎn)就是G(j)H(j)包圍(-1，j0)點(diǎn)。GH平面0F平面1對(duì)于G(j)H

4、(j) : 0 ，開環(huán)極坐標(biāo)圖； : 0，與開環(huán)極坐標(biāo)圖以軸鏡像對(duì)稱； F平面( 1, j0)點(diǎn)就是GH平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。6 奈氏判據(jù)：已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s 右半平面根的個(gè)數(shù)為P，開環(huán)奈氏曲線（ : 0 ）包圍(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)為R，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在 s 右半平面根的個(gè)數(shù)為Z，且有 Z = P R 若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 或當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，開環(huán)奈氏曲線不包圍( 1，j0)點(diǎn)時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，開環(huán)奈氏曲線包圍 (1，j0)點(diǎn)P圈時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7例5-10 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性（2） p = 0 ，R 2 z p R 2

5、 0 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的。Rep = 0 ReIm0 = 0 解：由圖知（1）p = 0 且 R = 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01p = 0 = 0 8（3） p = 0 ，R 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 ReIm01 = 0 p = 09試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 例5-11 一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函當(dāng) = 0，Gk (j0) = k180 當(dāng) ，Gk (j) = 090 ReIm0 = 0 k 解：已知 p = 1 頻率特性 10 當(dāng) k 1 ，R= 1 z = p R = 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 當(dāng)k 1 ， k 115 (3) 由奈氏判據(jù)判穩(wěn)的實(shí)際方法 用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性

6、時(shí)，一般只須繪制從 0時(shí)的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍(-1，j0 )點(diǎn)的圈數(shù)R（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）和開環(huán)傳遞函數(shù)在s 右半平面根的個(gè)數(shù)P，根據(jù)公式 Z = P 2R來確定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)，如果Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個(gè)數(shù)為N，則繪制開環(huán)極坐標(biāo)圖后，應(yīng)從 =0+對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開始，補(bǔ)作一個(gè)半徑為 ，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N90的大圓弧增補(bǔ)線，把它視為奈氏曲線的一部分。然后再利用奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。16重新做例5-10 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。（2） p = 0 ，R 1 z p 2R 2 0 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的。Rep = 0 R

7、eIm0 = 0 解：由圖知（1）p = 0 且 R= 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01p = 0 = 0 17（3） p = 0 ，R 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。ReIm01 = 0 p = 018 例5-13 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為起點(diǎn)： Gk(j0) = 270 終點(diǎn)： Gk(j) = 090 與坐標(biāo)軸交點(diǎn)： x =101/2 Re(x) = 0.1k 開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖0j-101用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。 解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)知 p = 1 （2）作開環(huán)極坐標(biāo)圖19ImRe0=0增補(bǔ)線10.1k(3) 穩(wěn)定性判別: 因?yàn)槭?型系統(tǒng)，需作增補(bǔ)線如圖 當(dāng) 0.1k 10時(shí)， R =1/2，z

8、 = p 2R = 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。20ReIm01(+)()5.4.4 伯德圖上的穩(wěn)定性判據(jù) 由圖可知，幅相曲線不包圍(1，j0)點(diǎn)。此結(jié)果也可以根據(jù) 增加時(shí)幅相曲線自下向上(幅角減小)和自上向下(幅角增加)穿越實(shí)軸區(qū)間(，1)的次數(shù)決定。 R = N N 自實(shí)軸區(qū)間（，1）開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實(shí)軸區(qū)間（，1）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。21 -180()/()0L()/dB()(+)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)： 一個(gè)反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)s 右半平面極點(diǎn)數(shù)P 和開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線與1802k 線的正負(fù)穿

9、越次數(shù)之差R = N N確定 Z = P 2RZ為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。22例5-14 一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù) 解： 由開環(huán)傳遞函數(shù)知 P = 0 ，作系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線 180()/()0L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270輔助線用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。23顯見 N = 0，N =1 R = N N = 1 Z = P 2R = 2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 G(s)H(s)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)N =2 ，故補(bǔ)畫了0到180的輔助線。24例5-15 一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù) 解： 由開環(huán)傳遞函數(shù)知 P = 1 。 作系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 ) （T1T2）當(dāng)() = 180時(shí)，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2 穩(wěn)定性判別。 G(s)H(s)有一個(gè)積分環(huán)節(jié)N =1 ，故補(bǔ)畫了180到270的輔助線。用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。25L()/dB1/T140dB/dec 180()/()0270