斐波那契數(shù)列與黃金分割

1、第三節(jié) 斐波那契數(shù)列(shli)與黃金分割1共一百一十三頁我們先來做一個(gè)(y )游戲！2共一百一十三頁十秒鐘加數(shù)(ji sh)請用十秒，計(jì)算(j sun)出左邊一列數(shù)的和。1235813213455+89?時(shí)間到！答案是 231。3共一百一十三頁十秒鐘加數(shù)(ji sh)再來一次！3455891442333776109871597+2584?時(shí)間(shjin)到！答案是 6710。4共一百一十三頁這與“斐波那契數(shù)列(shli)”有關(guān)若一個(gè)數(shù)列(shli)，前兩項(xiàng)等于1，而從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 5共

2、一百一十三頁 一、兔子問題(wnt)和斐波那契數(shù)列 1 兔子(t zi)問題 1） 問題 取自意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算盤書（1202年） (L.Fibonacci,1170-1250） 6共一百一十三頁兔子(t zi)問題 假設(shè)一對初生(ch shn)兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生(ch shn)兔子開始，12 個(gè)月后會有多少對兔子呢？7共一百一十三頁解答(jid)1 月1 對8共一百一十三頁解答(jid)1 月1 對2 月1 對9共一百一十三頁解答(jid)1 月1 對2 月1 對3 月2 對10共一百一十三頁解答(jid)1 月1 對2 月1 對3

3、 月2 對4 月3 對11共一百一十三頁解答(jid)1 月1 對2 月1 對3 月2 對4 月3 對5 月5 對12共一百一十三頁解答(jid)1 月1 對2 月1 對3 月2 對4 月3 對5 月5 對6 月8 對13共一百一十三頁解答(jid)1 月1 對2 月1 對3 月2 對4 月3 對5 月5 對6 月8 對7 月13 對14共一百一十三頁解答(jid)可以將結(jié)果以列表(li bio)形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問題的答案是 144對。以上數(shù)列， 即“斐波那契數(shù)列”15共一百一十三頁 兔子(t

4、zi)問題的另外一種提法： 第一個(gè)月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對兔子？ 月 份 大兔對數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔對數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月時(shí)有大兔子144對，小兔子89對，共有兔子144+89=233對。規(guī)律(gul)16共一百一十三頁 2 斐波那契數(shù)列 1） 公式 用 表示第 個(gè)月大兔子(t zi)的對數(shù)，則有二階遞推公式 17共一百一十三頁 2） 斐波那契數(shù)列 令n = 1, 2, 3, 依次寫出數(shù)列，就是(jish) 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，14

5、4，233，377， 這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個(gè) 數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。 18共一百一十三頁 思：請構(gòu)造一個(gè)(y )3階遞推公式。19共一百一十三頁 二、 相關(guān)(xinggun)的問題 斐波那契數(shù)列(shli)是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應(yīng)用，它就不會有強(qiáng)大的生命力。發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實(shí)在許多問題中出現(xiàn)。20共一百一十三頁 1 跳格游戲(yux) 21共一百一十三頁 如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上跳，從格外只能進(jìn)入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問：可以(ky)用多少種方法，跳到第n格？ 解：設(shè)跳到第n格的方法有 種。 由于他跳入第1格，只有一種

6、方法；跳入第2格，必須先跳入第1格，所以也只有一種方法，從而 22共一百一十三頁 而能一次跳入第n格的，只有第 和第 兩格，因此，跳入第 格的方法 數(shù)，是跳入第 格的方法數(shù) ，加上跳入 第 格的方法數(shù) 之和。 即 。綜合(zngh)得遞推公式 容易算出，跳格數(shù)列 就是斐波那契數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，23共一百一十三頁 2 連分?jǐn)?shù) 這不是一個(gè)普通的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)分母上有無窮多個(gè)“1”的繁分?jǐn)?shù)，我們(w men)通常稱這樣的分?jǐn)?shù)為“連分?jǐn)?shù)”。24共一百一十三頁 上述連分?jǐn)?shù)可以(ky)看作是 中，把 的表達(dá)式反復(fù)代入等號右端得到的；例如，第一次代入得到的是 反復(fù)迭代，就得到上

7、述連分?jǐn)?shù)。25共一百一十三頁 上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，是最簡單(jindn)的一個(gè)連分?jǐn)?shù)。26共一百一十三頁 通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣(yyng)，我們常常需要求它的近似值。 如果把該連分?jǐn)?shù)從第 條分?jǐn)?shù)線截住，即把第 條分?jǐn)?shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分?jǐn)?shù)的第 次近似值，記作 。27共一百一十三頁 對照(duzho) 可算得 28共一百一十三頁 發(fā)現(xiàn)規(guī)律后可以改一種方法算， 例如(lr) 順序排起來，這個(gè)連分?jǐn)?shù)的近似值逐次為 29共一百一十三頁 3 黃金矩形 1） 定義：一個(gè)矩形，如果從中裁去一個(gè)最大的正方形，剩下的矩形的寬與長之比，與原矩形的一樣（即剩下的矩形與原矩

8、形相似(xin s)），則稱具有這種寬與長之比的矩形為黃金矩形。黃金矩形可以用上述方法無限地分割下去。30共一百一十三頁31共一百一十三頁 2） 試求黃金矩形的寬與長之比（也稱為(chn wi)黃金比） 解：設(shè)黃金比為 ，則有 將 變形為 ，解 得 ，其正根為 。 32共一百一十三頁 3） 與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系 為討論黃金矩形與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，我們 把黃金比化為連分?jǐn)?shù)，去求黃金比的近似值。化 連分?jǐn)?shù)時(shí)，沿用剛才(gngci)“迭代”的思路： 33共一百一十三頁 反復(fù)(fnf)迭代，得 34共一百一十三頁 它竟然與我們在上段中研究的連分?jǐn)?shù)一樣！因此，黃金(hun jn jn)比的近似值寫成分

9、數(shù)表達(dá)的數(shù)列，也是， 其分子、分母都由斐波那契數(shù)列構(gòu)成。并且，這一數(shù)列的極限就是黃金比 。35共一百一十三頁 三、 黃金分割(hungjnfng) 1 定義：把任一線段分割(fng)成兩段，使 ，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個(gè)分割點(diǎn)） 1小段大段36共一百一十三頁 2 求黃金(hun jn jn)比 解：設(shè)黃金比為 ，不妨設(shè)全段長為 1，則大段= ，小段= 。 故有 ， 解得 ，其正根為 A B 小段大段37共一百一十三頁 3 黃金分割(hungjnfng)的尺規(guī)作圖 設(shè)線段為 。作 ，且 ，連 。作 交 于 ，再作 交 于 ，則 ， 即為 的黃金分割點(diǎn)。38共一百一十

10、三頁 證：不妨(bfng)令 ，則 ， ， ， 證完。39共一百一十三頁 4. 黃金分割(hungjnfng)的美 黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“合諧”。 例如:40共一百一十三頁 1） 人體各部分(b fen)的比 肚 臍 ： （頭腳） 印堂穴： （口頭頂） 肘關(guān)節(jié)： （肩中指尖） 膝 蓋： （髖關(guān)節(jié)足尖）41共一百一十三頁2） 著名(zhmng)建筑物中各部分的比 如埃及(i j)的金字塔，高（137米）與底邊長（227米）之比為0.629古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作

11、廳高之比為3405530.61542共一百一十三頁 3） 美觀矩形的 寬長比 如國旗(guq)和其它用到矩形的地方（建筑、家具） 4） 風(fēng)景照片中， 地平線位置的安排 43共一百一十三頁5） 正五角星中的比44共一百一十三頁 6） 舞臺報(bào)幕者 的最佳(zu ji)站位 在整個(gè)舞臺寬度的0.618處較美 7） 小說、戲劇的 高潮出現(xiàn) 在整個(gè)作品的0.618處較好45共一百一十三頁 四、 優(yōu)選法 1 華羅庚的優(yōu)選法（“0.618法”） 二十世紀(jì)六十年代，華羅庚創(chuàng)造了并證明了優(yōu)選法，還用很大的精力去推廣優(yōu)選法。 “優(yōu)選法”，即對某類單因素問題(wnt)，用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到“最佳點(diǎn)”的方法。46共一

12、百一十三頁 例如，煉鋼時(shí)要摻入某種化學(xué)元素加大鋼 的強(qiáng)度，摻入多少最合適？假定已經(jīng)知道每噸鋼加入該化學(xué)元素的數(shù)量大約應(yīng)在1000克到2000克之間，現(xiàn)求最佳加入量，誤差不得超過1克。最“笨”的方法是分別(fnbi)加入100克，1002克，1000克，做1千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。47共一百一十三頁 一種動(dòng)腦筋的辦法是二分法，取1000克2000克的中點(diǎn)1500克。再取進(jìn)一步二分法的中點(diǎn)1250克與1750克，分別做兩次試驗(yàn)。如果1750克處效果較差，就刪去1750克到2000克的一段，如果1250克處效果較差，就刪去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中點(diǎn)做試驗(yàn)，比較(bjio

13、)效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會不斷接近最好點(diǎn)，而且所用的試驗(yàn)次數(shù)與上法相比，大大減少。48共一百一十三頁 表面上看來，似乎這就是最好的方法。但華羅庚證明了，每次取中點(diǎn)的試驗(yàn)方法并不是(b shi)最好的方法；每次取試驗(yàn)區(qū)間的0.618處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的，稱之為“優(yōu)選法”或“0.618法”。 華羅庚證明了，這可以用較少的試驗(yàn)次數(shù)，較快地逼近最佳方案。49共一百一十三頁 2 黃金分割(hungjnfng)點(diǎn)的再生性和“折紙法” 黃金分割點(diǎn)的再生性50共一百一十三頁 即： 如果是 的黃金分割點(diǎn)， 是 的黃金分割點(diǎn)， 與 當(dāng)然關(guān)于中點(diǎn) 對稱(duchn)。特殊的是， 又恰是 的黃金

14、分割點(diǎn)。同樣，如果 是 的黃金分割點(diǎn)，則 又恰是 的黃金分割點(diǎn)，等等，一直延續(xù)下去 。再生51共一百一十三頁 尋找最優(yōu)方案的“折紙(zhzh)法” 根據(jù)黃金分割點(diǎn)的再生性，我們可以設(shè)計(jì)一種直觀的優(yōu)選法“折紙法”。 仍以上邊“在鋼水中添加某種元素”的問題為例。 52共一百一十三頁 用一個(gè)有刻度的紙條表達(dá)1000克2000克。在這紙條長度的0.618的地方劃一條線，在這條線所指示的刻度上做一次試驗(yàn)，也就是按1618克做第一次試驗(yàn)。 然后(rnhu)把紙條對折，前一條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在1382克處，再按1382克做第二次試驗(yàn)。53共一百一十三頁 把兩次試驗(yàn)結(jié)果比

15、較，如果1618克的效果較差，我們就把1618克以外的短的一段紙條剪去（如果1382克的效果較差，就把1382克以外的一段紙條剪去）。 再把剩下(shn xi)的紙條對折，紙條上剩下(shn xi)的那條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在 1236克處。54共一百一十三頁 按1236克做第三次試驗(yàn)，再和1382克的試驗(yàn)效果比較，如果1236克的效果較差，我們(w men)就把1236克以外的短的一段紙條剪去。再對折剩下的紙條，找出第四次試驗(yàn)點(diǎn)是1472克。 55共一百一十三頁 按1472克做試驗(yàn)后，與1382克的效果比較，再剪去效果較差點(diǎn)以外(ywi)的短的一段紙條，再對

16、折尋找下一次試驗(yàn)點(diǎn)，一次比一次接近我們的需要，直到達(dá)到我們滿意的精確度。56共一百一十三頁 注意，每次剪掉的都是效果較差點(diǎn)以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長度是上次長度的0.618倍。因此，紙條的長度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點(diǎn)。 事實(shí)上，當(dāng)紙條長度已經(jīng)很小時(shí)，紙條上的任一個(gè)點(diǎn)都可以作為“滿意”的點(diǎn)了，因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)(yudin)就在紙條上，你取的點(diǎn)與最優(yōu)點(diǎn)(yudin)的誤差一定小于紙條的長。57共一百一十三頁 0.618這個(gè)“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用(yu yn)的東

17、西之間，常常是有聯(lián)系的。58共一百一十三頁 3 最優(yōu)化數(shù)學(xué)(shxu) 生活和生產(chǎn)中提出了大量的優(yōu)化問題，它們共同的追求目標(biāo)是：最多、最快、最好、最省。這發(fā)展成一門“最優(yōu)化數(shù)學(xué)”，包括規(guī)化論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)則、隨機(jī)規(guī)劃等）、統(tǒng)籌學(xué)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（優(yōu)選法、多因素正交實(shí)驗(yàn)法、分批實(shí)驗(yàn)法），組合最優(yōu)化等等。59共一百一十三頁 用導(dǎo)數(shù)的方法求極值(j zh)是用連續(xù)的手段處理最優(yōu)化問題，優(yōu)選法“0.618法”則是用離散的手段處理最優(yōu)化問題。 應(yīng)當(dāng)看到，提出和解決最優(yōu)化問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)踐中去的一條經(jīng)常的重要的途徑。 我們以后將要做的“找次品”趣題，也是要最大

18、限度地發(fā)揮天平的作用，用最少的次數(shù)找出次品來，也是一個(gè)最優(yōu)化問題。60共一百一十三頁 五、數(shù)學(xué)(shxu)的統(tǒng)一美 數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個(gè)結(jié)果”的情形是屢見不鮮的。 這反映了客觀(kgun)世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。 黃金分割點(diǎn)0.618的得到，是一個(gè)能說明問題的例子61共一百一十三頁 從不同途徑導(dǎo)出黃金比 1 黃金分割：線段的分割點(diǎn)滿足 ，這一比值正是 。 2 斐波那契數(shù)列(shli)組成的分?jǐn)?shù)數(shù)列(shli) 的極限正是 。 62共一百一十三頁 3 方程(fngchng) 的正根是 4 黃金矩形的寬長之比正是 5 連分?jǐn)?shù) 的值正是 6 優(yōu)選法的試驗(yàn)

19、點(diǎn)，正是 我們看到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。 63共一百一十三頁 六、 斐波那契協(xié)會(xihu)和斐波那契季刊 1 斐波那契協(xié)會和斐波那契季刊 斐波那契1202年在算盤書中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，之后，并沒有進(jìn)一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒有人認(rèn)真研究過它。沒想到過了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而突然活躍起來，成為(chngwi)熱門的研究課題。64共一百一十三頁 有人比喻說，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至(shnzh)比斐波那契的兔子增長得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會，還出版了斐波那契季刊。 65共一百一十三頁

20、2 斐波那契生平 斐波那契 （Fibonacci.L,11751250） 出生于意大利的比薩。他小時(shí)候就 對算術(shù)很有興趣。后來，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸到東方國家(guji)的數(shù)學(xué)。斐波那契確信印度阿拉伯計(jì)算方法在實(shí)用上的優(yōu)越性。1202年，在回到家里不久，他發(fā)表了著名的算盤書。66共一百一十三頁 斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重視，因而被邀請到宮廷參加數(shù)學(xué)競賽。他還曾向官吏和市民講授計(jì)算方法。 他的最重要的成果在不定分析和數(shù)論方面(fngmin)，除了算盤書外，保存下來的還有實(shí)用幾何等四部著作。67共一百一十三頁 3 自然界中的斐波那契數(shù)

21、斐波那契數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式，它出現(xiàn)在許多場合。 下面舉幾個(gè)(j )例子。68共一百一十三頁 1） 花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù) 大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花(lnhu)、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣。69共一百一十三頁花瓣(hubn)中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目海棠(hitn)（2）鐵蘭（3）70共一百一十三頁洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）花瓣(hubn)中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目71共一百一十三頁花瓣(h

22、ubn)中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目雛菊（13）雛菊（13）72共一百一十三頁2）樹杈(sh ch)的數(shù)目1385321173共一百一十三頁3）向日葵花盤(hupn)內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)74共一百一十三頁 75共一百一十三頁 向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)(du sh)螺線排 列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)。76共一百一十三頁 松果種子(zhng zi)的排列77共一百一十三頁 松果種子(zhng zi)的排列78共一百一十三頁

23、松果種子(zhng zi)的排列79共一百一十三頁菜花表面排列(pili)的螺線數(shù)（5-8）80共一百一十三頁 這一模式幾個(gè)世紀(jì)前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：這是植物生長的動(dòng)力學(xué)特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角137.50776度；這使種子的堆集效率(xio l)達(dá)到最高。81共一百一十三頁 4）斐波那契數(shù)與音樂(ynyu)325382共一百一十三頁8583共一百一十三頁 4 科學(xué)中的斐波那契數(shù)列(shli) 1） 電路中的斐波那契數(shù)列 如下圖那樣專門設(shè)計(jì)的電路， 表示的都是1歐姆的電阻，最后一個(gè)分支中的電流為1安培，則加在電阻上的

24、電壓（從右至左）恰好是斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，84共一百一十三頁加在電阻(dinz)上的電壓，從右至左，恰是斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21,85共一百一十三頁 2） 通過面對面的玻璃板的斜光線的不同路線(lxin)條數(shù) 反射(fnsh)次數(shù)為0的光線以唯一的一種路線通過玻璃板； 反射次數(shù)為1的光線可以以2種路線通過玻璃板； 反射次數(shù)為2的光線可以以3種路線通過玻璃板； 反射次數(shù)為3的光線可以以5種路線通過玻璃板； 反射次數(shù)為的光線可以以種路線通過玻璃板；86共一百一十三頁 3） 股票指數(shù)增減的“波浪理論” 完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩

25、斐波那契數(shù)； 每次股指增長幅度（8，13等）或回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。 股指變化(binhu)有無規(guī)律？回答是肯定的。87共一百一十三頁88共一百一十三頁 1934年美國(mi u)經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為：股指波動(dòng)的一個(gè)完整過程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個(gè)波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無論從小波還是從大波波形上看，均如此。 注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)。89共一百一十三頁 同時(shí)，每次股指的增長幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律(gul)完成

26、。比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點(diǎn)左右。顯然，5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項(xiàng)。90共一百一十三頁91共一百一十三頁 可以說，斐波那契以他的兔子問題(wnt)，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的種種應(yīng)用，是這個(gè)奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉數(shù)學(xué)！92共一百一十三頁 5 推廣(tugung)的斐波那契數(shù)列 盧卡斯數(shù)列 1） 盧卡斯數(shù)列 盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A. 1824-1891） 構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱為“推廣的斐波那契數(shù)列”，93共一百一十三頁 即從任何兩個(gè)正整數(shù)開始(kish)，往后的每一個(gè)數(shù)是其前兩個(gè)數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮數(shù)列。

27、此即，二階遞推公式 中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù) 可任取。94共一百一十三頁 斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8， 是這類數(shù)列中最簡單的一個(gè)，起始整數(shù) 分別(fnbi)取為1、1。 次簡單的為1，3，4，7，11，18， 現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列。 盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式是 95共一百一十三頁 推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項(xiàng)數(shù)的增加而越來越小，趨近(q jn)于0，從而這個(gè)比存在極限；而且這個(gè)比的極限也是黃金比 。 96共一百一十三頁類似于前面(qin mian)提到的數(shù)列 其極限(jxin)也是97

28、共一百一十三頁2） 用斐波那契數(shù)列(shli)及其推廣變魔術(shù) 讓觀眾從你寫出的斐波那契數(shù)列中任意(rny)選定連續(xù)的十個(gè)數(shù)，你能很快說出這些數(shù)的和。 其實(shí)有公式：這個(gè)和，就是所選出的十個(gè)數(shù)中第七個(gè)數(shù)的11倍。 1 1 2 3 5 8132134558914423337761098798共一百一十三頁“十秒鐘加數(shù)(ji sh)”的秘密數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)(fxin)：連續(xù) 10個(gè)斐波那契數(shù)之和，必定等于第 7個(gè)數(shù)的 11 倍！1235813213455+89?所以右式的答案是：21 11 = 23199共一百一十三頁“十秒鐘加數(shù)(ji sh)”的秘密又例如(lr)：右式的答案是：3455891442333

29、776109871597+2584?610 11 = 6710100共一百一十三頁 讓觀眾從你寫出推廣的斐波那契數(shù)列中任何地方劃一條線，你能迅速說出“這條線之前所有各數(shù)”的和。 其實(shí)有公式(gngsh)：前 項(xiàng)和 = 表示盧卡斯數(shù)列的第 項(xiàng)。 (請大家課下自己制作)101共一百一十三頁 6 斐波那契數(shù)列的一些更深刻的性質(zhì) 1） 通項(xiàng)公式 一個(gè)正整數(shù)序列的通項(xiàng)，竟然可以用帶有無理數(shù) 的式子表達(dá)，這是十分意外的結(jié)果。 該證明由法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）做出。 南開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生吳云輝、李明昱曾經(jīng)在“數(shù)學(xué)文化(wnhu)”課的讀書報(bào)告中，給出了這一通項(xiàng)公式的多個(gè)證明102共一百一十三頁 2） 斐波那契數(shù)列的后項(xiàng)除以前