新高考數(shù)學(xué)二輪專題《圓錐曲線》第26講 外接圓問題（解析版）

1、第26講 外接圓問題一解答題 1已知拋物線，是的準(zhǔn)線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，（1）當(dāng)點在軸上時，求切線，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當(dāng)圓的面積最小時，求圓的方程【解答】解：（1）拋物線，準(zhǔn)線的方程，點在軸上，設(shè)，且，由，求導(dǎo)，解得，切線的方程為，即，同理可得切線的方程為，（2）如圖：設(shè)點，設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為，由，即切線，互相垂直即是直角三角形，的外接圓直徑為弦當(dāng)圓的面積最小時，即是最短時，此時垂直軸，的外接圓圓心為，圓的方程為2已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切（）求動圓的圓心軌跡的方程；（）過點的直線與曲線相交于，兩點，分別過點，作曲線的切線，兩條切線相交于

2、點，求外接圓面積的最小值【解答】解：（）設(shè)點到直線的距離為，依題意設(shè)，則有化簡得所以點的軌跡的方程為（）設(shè)，代入中，得設(shè)，則，所以因為，即，所以所以直線的斜率為，直線的斜率為因為，所以，即為直角三角形所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是直徑因為，所以當(dāng)時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為3已知橢圓的兩個焦點分別為和，、是橢圓短軸的兩端點，過點的直線與橢圓相交于另一點，且求橢圓的離心率；設(shè)直線上有一點，在的外接圓上，求的值【解答】解：（），且，是和的中點，不妨設(shè)，由，代入得：，即橢圓的離心率；（）由（）知，得，橢圓的方程可設(shè)為若，則，線段 的垂直平分線的方程為，直線與軸的交點

3、是外接圓的圓心因此，外接圓的方程為直線的方程為，于是點的坐標(biāo)滿足方程組：，由，解得故；若，則，同理可得4已知橢圓經(jīng)過點，且其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點，橢圓與軸的正半軸相交于點，經(jīng)過點的直線與橢圓相交于另一點，且滿足，求外接圓的方程【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點，橢圓的離心率為，即聯(lián)立解得：，橢圓的方程為；（2）橢圓的方程為，設(shè)，則，且，即，聯(lián)立解得：，或，或，當(dāng)為時，的外接圓是以為圓心，1為半徑的圓，此時外接圓的方程為：；當(dāng)為時，設(shè)的外接圓方程為：，則，解得，此時外接圓的方程為：，綜上所述，的外接圓的方程為：或5已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過拋物線的焦

4、點（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點，與軸相交于，兩點，使得，求證：的外接圓過點；（3）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，是拋物線上的兩個動點，且滿足，線段的中點為，點在上的投影為，求的最大值【解答】（1）解：由已知，設(shè)橢圓的方程為，則，離心率為，橢圓的方程為；（2）證明：由題意，并且和，關(guān)于軸對稱，與，與也分別關(guān)于軸對稱，的方程代入橢圓方程，可得，或，或，直線是橢圓的上半部分相交，和的方程分別為或，令，可得，四點共圓，的外接圓過點；（3）設(shè)，則，由拋物線的定義及梯形的中位線定理可得，時，的最大值為6如圖，在平面直角坐標(biāo)系

5、中，已知，直線與線段、分別交于點、（）當(dāng)時，求以，為焦點，且過中點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過點作直線交于點，記的外接圓為圓求證：圓心在定直線上；圓是否恒過異于點的一個定點？若過，求出該點的坐標(biāo)；若不過，請說明理由【解答】解：（）設(shè)橢圓的方程為，當(dāng)時，中點為，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）證明：直線；所以可得，直線交于點，設(shè)的外接圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為圓心在定直線上；由可得圓的方程為：整理可得，且聯(lián)立此兩方程解得，或，圓恒過異于點的一個定點，該點的坐標(biāo)為，7已知的邊邊所在直線的方程為點關(guān)于點的對稱點為，點在邊所在直線上且滿足求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點的坐標(biāo)為，其中為正整數(shù)試討論在的

6、外接圓上是否存在點，使得成立？說明理由【解答】解：，又在上，為，（1分）又邊所在直線的方程為，所以直線的斜率為（2分）又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為即（3分）與的交點為，所以由解得點的坐標(biāo)為，（5分）（6分）又（7分）從外接圓的方程為：（8分）若在的外接圓圓上存在點，使得成立，則為線段的垂直平分線與圓的公共點所以當(dāng)與圓相離時，不存在滿足條件的點；當(dāng)與圓相交或相切時則存在滿足條件的點由，知的斜率為，線段的中點為線段的垂直平分線為（10分）圓的圓心到直線的距離為（11分）當(dāng)時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點當(dāng)時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點當(dāng)時，此時直線與圓相離，不存在滿足條件

7、的點（14分）8過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，（） 證明：為定值；（） 記的外接圓的圓心為點，點是拋物線的焦點，對任意實數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過點？并說明理由【解答】解：（）證明：法1：由，得，所以所以直線的斜率為因為點，和，在拋物線上，所以，所以直線的方程為（1分）因為點在直線上，所以，即（2分）同理，（3分）所以，是方程的兩個根所以（4分）又，（5分）所以為定值（6分）法2：設(shè)過點且與拋物線相切的切線方程為，（1分），消去得，由，化簡得（2分）所以（3分）由，得，所以所以直線的斜率為，直線的斜率為所以，即（4分）又，（5分）所以為定值（6分）（） 法1：直線的垂直平分線方程為，

8、（7分）由于，所以直線的垂直平分線方程為（8分）同理直線的垂直平分線方程為（9分）由解得，所以點（10分）拋物線的焦點為，則由于，（11分）所以所以以為直徑的圓恒過點（12分）另法：以為直徑的圓的方程為（11分）把點代入上方程，知點的坐標(biāo)是方程的解所以以為直徑的圓恒過點（12分）法2：設(shè)點的坐標(biāo)為，則的外接圓方程為，由于點，在該圓上，則，兩式相減得，（7分）由（）知，代入上式得，（8分）當(dāng)時，得，假設(shè)以為直徑的圓恒過點，則，即，得，（9分）由解得，（10分）所以點（11分）當(dāng)時，則，點所以以為直徑的圓恒過點（12分）9已知拋物線，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，（1）當(dāng)?shù)?/p>

9、坐標(biāo)為時，求過，三點的圓的方程；（2）若，是上的任意點，求證：點處的切線的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過點【解答】解：（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，設(shè)過點的切線方程為，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，因為到的中點的距離為2，從而過，三點的圓的方程為（2）證明：拋物線，導(dǎo)數(shù)為，可得，是上的任意點，點處的切線的斜率為；（3）證明：設(shè)切點分別為，切線的方程為，即，切線的方程為，即，又因為切線過點，所以得，又因為切線也過點，所以得，所以，是方程的兩實根，由韋達(dá)定理得，因為，所以，將，代入，得，則以為直徑的圓恒過點10（2020廣州一模）已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程【解答】解：（1）由拋物線的方程可得頂點，由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：，即，因為，而，所以，解得，滿足判別式大于0，即直線方程為，所以恒過可得點在