2022年新高考數(shù)學(xué)二輪提升數(shù)列專題第23講《數(shù)列的新定義問題》（原卷版）

1、第23講 數(shù)列的新定義問題 一、單選題1（2021全國高二課時(shí)練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在詳解九章算法和算法通變本末中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（ ）A99B131C139D1412（2021北京東直門中學(xué)高二月考）在一個(gè)數(shù)列中，若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的乘積都同為一個(gè)常數(shù)（有限數(shù)列最后一項(xiàng)除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列.是等積數(shù)列，且，公積為，則的值是（ ）ABC

2、D3（2021江蘇蘇州高三月考）若數(shù)列中不超過的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù).已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（ ）A9B11C12D144（2021寧夏六盤山高級中學(xué)高二月考（理）對于正項(xiàng)數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，則該數(shù)列中的等于（ ）ABCD5（2021湖北黃石高三開學(xué)考試）普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后一項(xiàng)由前一項(xiàng)的外觀產(chǎn)生以1為首項(xiàng)的“外觀數(shù)列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，即第一項(xiàng)為1，外觀上看是1個(gè)1，因此第二項(xiàng)為11；第二項(xiàng)外觀上看是2個(gè)1，因

3、此第三項(xiàng)為21；第三項(xiàng)外觀上看是1個(gè)2，1個(gè)1，因此第四項(xiàng)為1211，按照相同的規(guī)則可得其它項(xiàng)，例如為3，13，1113，3113，132113，若的第n項(xiàng)記作，的第n項(xiàng)記作，其中i，若，則的前n項(xiàng)和為（ ）ABCD6（2021貴州威寧高一期末）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“美值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列的“美值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD7（2021全國高三專題練習(xí)（文）對任一實(shí)數(shù)列，定義，若，則（ ）A1000B2000C2003D40068（2021江蘇高二單元測試）對于數(shù)列若存在常數(shù)，對任意的，恒有，則稱數(shù)列為有界數(shù)列.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法錯(cuò)誤的是（

4、 ）A首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是有界數(shù)列B若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列C若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列D若數(shù)列、都是有界數(shù)列，則數(shù)列也是有界數(shù)列9（2021湖南長郡中學(xué)高二期中）對任一實(shí)數(shù)序列，定義序列，它的第項(xiàng)為.假定序列的所有項(xiàng)都為1，且，則（ ）A1000B2000C2003D400610（2020江蘇省梁豐高級中學(xué)高二期中）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)

5、是，再接下來的三項(xiàng)是，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（ ）A95B105C115D12511（2021山東嘉祥縣第一中學(xué)高三期中）在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，德國大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法已知數(shù)列滿足，則（ ）ABCD二、多選題12（2021全國高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若（，p為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（ ）A若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列B若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C數(shù)列是等方差數(shù)列D若是等方差數(shù)列，則（，

6、k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列13（2021江蘇蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為“和諧數(shù)列”，下列結(jié)論，正確的有（ ）A常數(shù)數(shù)列為“和諧數(shù)列”B為“和諧數(shù)列”C為“和諧數(shù)列”D若公差為的等差數(shù)列滿足：為“和諧數(shù)列”，則的最小值為-214（2021全國高二單元測試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”則以下數(shù)列為“數(shù)列”的是（ ）A是等差數(shù)列，且，公差B是等比數(shù)列，且公比滿足CD，15（2021全國高二課時(shí)練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”下列說法正確的是（ ）A若數(shù)列是等差數(shù)列，且公

7、差，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”B若數(shù)列是等差數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公差C若數(shù)列是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”D若數(shù)列是等比數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公比滿足16（2021廣東天河高三月考）在數(shù)列中，若（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“開方差數(shù)列”，則下列判斷正確的是（ ）A是開方差數(shù)列B若是開方差數(shù)列，則是等差數(shù)列C若是開方差數(shù)列，則也是開方差數(shù)列（，為常數(shù)）D若既是開方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列17（2021江蘇高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，對任意，都有（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”下面對“等差比數(shù)列”的判斷正確的是（ ）A不可能為0；B等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

8、C等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；D通項(xiàng)公式為的數(shù)列一定是等差比數(shù)列18（2021江蘇高三專題練習(xí)）在數(shù)列an中，若為常數(shù)），則an稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（ ）A若an是等方差數(shù)列，則an2是等差數(shù)列B若an是等方差數(shù)列，則an2是等方差數(shù)列C（1）n是等方差數(shù)列D若an是等方差數(shù)列，則akn（kN*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列三、雙空題19（2021全國模擬預(yù)測）定義：記滿足下列兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為n階“期待數(shù)列”.；.試寫出一個(gè)3階“期待數(shù)列”_；若2021階“期待數(shù)列”是遞增的等差數(shù)列，則_.20（2021全國高二課時(shí)練習(xí)）對于數(shù)列，若任意，都有（為常數(shù)）成

9、立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則的最大值為_；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_21（2021湖北漢陽一中模擬預(yù)測）牛頓選代法又稱牛頓拉夫遜方法，它是牛頓在世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值；過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的次近似值一般的，過點(diǎn)作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值設(shè)的零點(diǎn)為，取，則的次近似值為_；設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)積為若任意恒成立，則整數(shù)的最小值為_22（2021全國高二課

10、時(shí)練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義的“優(yōu)值”為，現(xiàn)已知的“優(yōu)值”，則_，_四、填空題23（2020江蘇江陰市成化高級中學(xué)高二月考）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_.24（2021河南三門峽高三月考（理）在數(shù)列中，如果對任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列結(jié)論：等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列；等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列；若，則是比等差數(shù)列，且比公差為；若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定不是比等差數(shù)列.其中正確的有_.（填序號）25（2021江蘇高二單元測試）取出數(shù)列的任意連續(xù)四項(xiàng)，若其中

11、奇數(shù)項(xiàng)之和，偶數(shù)項(xiàng)之和均為同一個(gè)常數(shù)（如連續(xù)四項(xiàng)，滿足），則稱數(shù)列為錯(cuò)位等和數(shù)列，其中常數(shù)是公和.若表示的前項(xiàng)和，有如下命題：（1）若一個(gè)等差數(shù)列是錯(cuò)位等和數(shù)列，則；（2）若一個(gè)等比數(shù)列是錯(cuò)位等和數(shù)列，則；（3）若，則錯(cuò)位等和數(shù)列一定是最小正周期為4的周期數(shù)列；（4）在錯(cuò)位等和數(shù)列中，且，若是偶數(shù)，則；其中，真命題的序號是_26（2021廣東東莞市光明中學(xué)高三開學(xué)考試）若有窮數(shù)列，（m為正整數(shù)）滿足條件：，則稱其為“對稱”數(shù)列例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，4，8都是“對稱”數(shù)列已知在21項(xiàng)的“對稱”數(shù)列中，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則_五、解答題27（2021江蘇高二單

12、元測試）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列，其中如果對任意的，都有，則稱數(shù)列為差分增數(shù)列（1）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，且，若，求非零自然數(shù)k的最大值；（3）已知項(xiàng)數(shù)為2k的數(shù)列（）是差分增數(shù)列，且所有項(xiàng)的和等于k，證明：28（2020江蘇模擬預(yù)測）對數(shù)列an，規(guī)定an為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中anan+1an（nN*），規(guī)定2an為an的二階差分?jǐn)?shù)列，其中2anan+1an（nN*）.（1）數(shù)列an的通項(xiàng)公式（nN*），試判斷an，2an是否為等差數(shù)列，請說明理由？（2）數(shù)列bn是公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列，且q2，對于任意的nN*，都存在mN*，使得2bnbm，求q所有可能的取值構(gòu)成的集合；（3）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，且2cn0，對滿足m+n2k，mn的任意正整數(shù)m、n、k，都有cmcn，且不等式Sm+SntSk恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值.29（2020黑龍江哈師大附中高二開學(xué)考試（理）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列中，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使 的的最小值30（2019北京順義二模（理）在數(shù)列中，若（，為常數(shù)），則稱為“平方等差數(shù)列” （）若數(shù)列是“