復變函數(shù)總復習和例題講解

1、復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解第一章：復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)的概念復數(shù)的運算復數(shù)的幾何表示1、復平面 1）復數(shù)用平面上的點表示；2）復數(shù)用平面上的向量 表示復變函數(shù)總復習和例題講解3）復數(shù)的三角表示式及指數(shù)表示式 （三角式） （指數(shù)式）2、復球面 復數(shù)可以用復球面上的點表示 擴充復平面復數(shù)的乘冪與方根1、積與商設(shè) ，則復變函數(shù)總復習和例題講解2、乘冪設(shè) 則3、方根設(shè) ，則復平面上的區(qū)域復變函數(shù)設(shè)復變函數(shù)的極限和連續(xù)復變函數(shù)總復習和例題講解例 滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解 是實數(shù)軸,不是區(qū)域. 是以 為界的帶形單連通區(qū) 域.

2、 解復變函數(shù)總復習和例題講解 是以 為焦點,以3為半長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域. 不是區(qū)域，因為圖中解解在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點.復變函數(shù)總復習和例題講解例 函數(shù) 將 平面上的下列曲線變成 平面上的什么曲線？解又于是表示 平面上的圓.(1)復變函數(shù)總復習和例題講解解表示 平面上以 為圓心， 為半徑的圓.復變函數(shù)總復習和例題講解例（）（）等于（）等于（）等于（）不存在解當沿，時，有與有關(guān)，極限不存在.復變函數(shù)總復習和例題講解第二章：解析函數(shù)復變函數(shù)的導數(shù)與微分解析函數(shù)的概念 如果 在點 及 的鄰域內(nèi)處處可導，稱在 點解析。如果 在區(qū)域D內(nèi)每一點解析，稱 在D內(nèi)解析，或稱 是D內(nèi)的解析函數(shù)（全純函數(shù)

3、或正則函數(shù)）。如果 在不解析，稱 為 的奇點。復變函數(shù)總復習和例題講解兩個解析函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為0的點）都是解析函數(shù)；解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)。復變函數(shù)連續(xù)、可導、解析之間的關(guān)系 在 解析 在 可導 在 連續(xù) 在區(qū)域D內(nèi)解析 在區(qū)域D內(nèi)可導復變函數(shù)總復習和例題講解函數(shù)可導與解析的充要條件 定理1 設(shè)函數(shù) 定義在區(qū) 域D內(nèi)，則 在D內(nèi)點 可導 與 在點 可微，且滿足柯西-黎曼方程 函數(shù) 在點 處的導數(shù)公式：復變函數(shù)總復習和例題講解 定理2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)有定義，則 在D內(nèi)解析 與在D內(nèi)可微，且滿足柯西-黎曼方程 復變函數(shù)可導與解析的判別方法（1）利用可導與解析的定義及運算

4、法則（2）利用可導與解析的充要條件復變函數(shù)總復習和例題講解初等函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：（1） ，（2）對任意的 ，有加法定理（3） 是以 為周期的周期函數(shù)（4） 在復平面上處處解析，且復變函數(shù)總復習和例題講解2、對數(shù)函數(shù) 主值分支 對數(shù)函數(shù)的每個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)處處解析，且復變函數(shù)總復習和例題講解3、冪函數(shù) 為復數(shù) 當 為正整數(shù) 及分數(shù) 時， 就是 的次乘冪及 次根，此時冪函數(shù) 分別為單值函數(shù)和 值函數(shù)。一般來說，冪函數(shù) 是一個多值函數(shù)。當定義中對數(shù)函數(shù)取主值時，相應(yīng)的冪函數(shù)也稱其主值，冪函數(shù)的各個分支在除去原點及負實軸的復平面內(nèi)也是解析的，且復變函數(shù)總復習和例題講解例 函數(shù) 在

5、何處可導，何處解析.解故 僅在直線 上可導.故 在復平面上處處不解析.復變函數(shù)總復習和例題講解例 設(shè) 為解析函數(shù)，求 的值.解 設(shè)故由于 解析，所以即故復變函數(shù)總復習和例題講解例求下列各式的值解復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解例解答案課堂練習復變函數(shù)總復習和例題講解例解復變函數(shù)總復習和例題講解第三章：復變函數(shù)的積分復積分的定義復積分存在的條件設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，曲線光滑，則復積分存在，且復變函數(shù)總復習和例題講解復積分的性質(zhì)、曲線的長度為，函數(shù)在上滿足復變函數(shù)總復習和例題講解復積分計算的一般方法設(shè)沿曲線連續(xù)，曲線的參數(shù)方程為，其中起點為，終點為，則特別的，有復變函數(shù)總復習和例題講

6、解復積分的基本定理、柯西古薩定理如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)任一條封閉曲線，則復變函數(shù)總復習和例題講解、復合閉路定理設(shè)為多連通區(qū)域內(nèi)的一條簡單閉曲線，為內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含又互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全部屬于，如果在內(nèi)解析，則其中與均取正向其中是由與組成的復合閉路復變函數(shù)總復習和例題講解、牛頓萊不尼茨公式設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，為的一個原函數(shù)，則、柯西積分公式設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全屬于，為內(nèi)任一點，則復變函數(shù)總復習和例題講解、解析函數(shù)的高階導數(shù)公式解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導數(shù)為其中為函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任意一條簡單閉曲線

7、，而且它的內(nèi)部全含于。、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系）如果二元實函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足Laplace方程稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。復變函數(shù)總復習和例題講解）區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。而且虛部是實部的共軛調(diào)和函數(shù)。（這里與的位置不能顛倒）由調(diào)和函數(shù)（或）確定另一個調(diào)和函數(shù)或解析函數(shù)的方法：偏微分法：從柯西黎曼方程出發(fā)，解簡單的一階微分方程。不定積分法：從出發(fā)，將其寫成的函數(shù)，利用積分求出。復變函數(shù)總復習和例題講解解復變函數(shù)總復習和例題講解 解法一 利用柯西-古薩基本定理及重要公式由柯西-古薩基本定理有復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解 解法二 利用柯西積分公

8、式復變函數(shù)總復習和例題講解因此由柯西積分公式得復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解解分以下四種情況討論：復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解解為大于1的自然數(shù). 例 計算下列積分復變函數(shù)總復習和例題講解解法一 不定積分法. 利用柯西黎曼方程, 復變函數(shù)總復習和例題講解 因而得到解析函數(shù)復變函數(shù)總復習和例題講解 解法二 線積分法.復變函數(shù)總復習和例題講解 因而得到解析函數(shù)復變函數(shù)總復習和例題講解解法三 全微分法復變函數(shù)總復習和例題講解解例 已知 求解析函數(shù) ,使符合條件復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)

9、總復習和例題講解第四章：級數(shù)復數(shù)項級數(shù)、復數(shù)列收斂實部和虛部都收斂。設(shè)、復級數(shù)收斂實部級數(shù)與虛部級數(shù)都收斂、復級數(shù)收斂的必要條件：復變函數(shù)總復習和例題講解冪級數(shù)、阿貝爾（Abel）定理冪級數(shù)如果在處收斂，則對滿足的，級數(shù)絕對收斂；如果在處發(fā)散，則對滿足的，級數(shù)發(fā)散。、冪級數(shù)收斂半徑的求法）比值法如果，則）根值法如果，則復變函數(shù)總復習和例題講解.收斂圓收斂半徑復變函數(shù)總復習和例題講解、冪級數(shù)的運算及性質(zhì)）在收斂半徑較小的區(qū)域內(nèi)，冪級數(shù)可以進行加法、減法、乘法運算，利用乘法運算，可定義除法運算；冪級數(shù)也可以進行復合運算。）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)；而且可逐項求導與逐項積分，收斂半徑不變。

10、，復變函數(shù)總復習和例題講解泰勒（Taylor）級數(shù)1、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)如果函數(shù)在圓域內(nèi)解析，則函數(shù)在此圓內(nèi)可以展開成冪級數(shù)，且展開式惟一。、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法）直接法：利用泰勒級數(shù)公式，求各階導數(shù)）間接法：利用已知級數(shù)，逐項積分或求導復變函數(shù)總復習和例題講解羅朗（Laurent）級數(shù)、函數(shù)展開成羅朗級數(shù)如果函數(shù)在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)解析，則在此區(qū)域內(nèi)可以展開成羅朗級數(shù)，且展開式惟一。其中為圓環(huán)內(nèi)繞的任意一條正向簡單曲線。函數(shù)展開成羅朗級數(shù)一般用間接方法復變函數(shù)總復習和例題講解例 判別級數(shù)的斂散性.解發(fā)散，收斂，復變函數(shù)總復習和例題講解解復變函數(shù)總復習和例題講解解收斂收斂復變函數(shù)總復習和例題講解解

11、 由正項級數(shù)的比值判別法知絕對收斂.復變函數(shù)總復習和例題講解例 求下列冪級數(shù)的收斂半徑解復變函數(shù)總復習和例題講解例解復變函數(shù)總復習和例題講解例解有復變函數(shù)總復習和例題講解復變函數(shù)總復習和例題講解 同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是不同的.復變函數(shù)總復習和例題講解第五章：留數(shù)孤立奇點、孤立奇點分類：可去奇點、極點、本性奇點。、奇點的特征）可去奇點孤立奇點為的可去奇點在的去心鄰域內(nèi)的羅朗展開式中不含的負冪指數(shù)項（有限數(shù)）復變函數(shù)總復習和例題講解）極點孤立奇點為的級極點在的去心鄰域內(nèi)的羅朗展開式中只含有限個負冪指數(shù)項且關(guān)于的最高冪為次在的去心鄰域內(nèi)可表示為其中在點解析且孤立奇點為的極點（此特征

12、沒有指出極點的級數(shù)）復變函數(shù)總復習和例題講解）本性奇點孤立奇點為的本性奇點在的去心鄰域內(nèi)的羅朗展開式中含有無窮多個的負冪指數(shù)項不存在且不為無窮大。）零點與極點的關(guān)系若不恒為零的解析函數(shù)在的鄰域內(nèi)能表示為，其中在解析，且，為正整數(shù)，稱為的級零點。復變函數(shù)總復習和例題講解為的級零點不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的。為的級零點是的級極點復變函數(shù)總復習和例題講解）函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)函數(shù)在處的性態(tài)就是在的性態(tài)。如果為的可去奇點、級極點、本性奇點，則為的可去奇點、級極點、本性奇點。復變函數(shù)總復習和例題講解為的可去奇點、極點、本性奇點分別為當時，的極限為有限數(shù)、無窮大、不為無窮大的不存在在內(nèi)羅朗展開式中不

13、含正冪項、含有有限個正冪項、含有無窮多個正冪項。復變函數(shù)總復習和例題講解留數(shù)及其計算1、定義設(shè)為的孤立奇點，則在點的留數(shù)其中是的去心鄰域內(nèi)包含的任意一條正向簡單閉曲線。復變函數(shù)總復習和例題講解、留數(shù)的計算方法）利用羅朗展開式，求出的系數(shù)）討論奇點的類型如果是可去奇點，則如果是本性奇點，只能利用羅朗展開式求它的留數(shù)。如果是極點，可利用下面規(guī)則復變函數(shù)總復習和例題講解規(guī)則如果為的級極點，則特別的，當時，注意：如果極點的實際級數(shù)比低時，此規(guī)則仍然有效規(guī)則設(shè)為的一級極點（只要與在點解析，且，），則復變函數(shù)總復習和例題講解規(guī)則復變函數(shù)總復習和例題講解留數(shù)定理定理設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除去有限個孤立奇點外處處解析，是內(nèi)包含諸奇點的一條正向簡單曲線，它的內(nèi)部全部含于，則定理若函數(shù)在擴充復平面上只有有限個孤立奇點（含