信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、 第三章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)一、差分與差分方程 與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的微分及積分運(yùn)算相對(duì)應(yīng)，離散時(shí)間信號(hào)有差分及序列求和運(yùn)算。 設(shè)有序列 ，則稱 為 的移位序列。 序列的差分可分為前向差分和后向差分。 一階前向差分定義： 一階后向差分定義： 前向差分和后向差分的關(guān)系：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析本書主要采用的是后向差分，簡(jiǎn)稱差分。差分運(yùn)算具有線性性質(zhì)。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析二階差分可定義為：類似可定義三階、四階、n階差分。N階差分式中信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 序列 的求和運(yùn)算為 差分方程是包含關(guān)于變量k的未知序

2、列 及其各階差分的方程式，它的一般形式可寫為： 式中差分的最高階為n階，稱為n階差分方程。 各階差分均可寫為 及其各移位序列的線性組合，故上式常寫為：若各移位序列的系數(shù)為常數(shù)，則方程為常系數(shù)差分方程。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知初始條件 ，激勵(lì) ，求解：將差分方程中除 以外的各項(xiàng)都能移到等號(hào)右 端，得對(duì)于 ，將已知初始值 代入上式，得類似地，依次迭代得信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析二、差分方程的經(jīng)典解 一般而言，如果單輸入單輸出的LTI系統(tǒng)的激勵(lì) ，其全響應(yīng)為 ，那么，描述該系統(tǒng)激勵(lì) 與響應(yīng) 之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階常系數(shù)線性差分方程，它可以寫為

3、：式中 都是常數(shù)上式可縮寫為差分方程的解由齊次解和特解兩部分組成：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 齊次解： 當(dāng)差分方程中的激勵(lì)及其各移位項(xiàng)均為零時(shí)，齊次方程的解為齊次解。 首先分析最簡(jiǎn)單的一階差分方程。若一階差分方程的齊次方程為 它可改寫為： 信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 之比等于-a表明，序列 是一個(gè)公比為-a的等比級(jí)數(shù)，因此 有如下形式： 對(duì)于n階齊次方程，它的齊次解由形式為 的序列組合而成，將 代入到差分方程中，得： 由于 ，消去C，且 ，以 除上式，得 為差分方程的特征根。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析特征根單實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根r重實(shí)根R重共軛復(fù)根齊次解y h (k)不同特

4、征根所對(duì)應(yīng)的齊次解齊次解信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析特解信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 全解 線性差分方程的全解是齊次解與特解之和，如果方程的特征根均為單根，則差分方程的全解為 如果特征根1為r重根，而其余n-r個(gè)特征根為單根時(shí)，差分方程的全解為： 式中 由初始條件決定。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 如果激勵(lì)信號(hào)是在k=0時(shí)接入的，差分方程的解適合于k0。對(duì)于n階差分方程，用給定的n個(gè)初始條件 就可確定全部待定系數(shù)。如果差分方程的特解都是單根，可得：由以上方程可求得全部待定系數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件 激勵(lì) 求方程全解解：求齊次

5、解差分方程的特征方程為可解得特征根 為二重根，其齊次解求特解，根據(jù)激勵(lì)函數(shù)的形式可知其特解：將 代入微分方程中得信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析微分方程的全解為將初始條件代入上式，有由上式得 。最后得方程的全解為信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 已知初始條件 ；激勵(lì)為有始的周期序列 ，求其全解。 解：首先求齊次解。差分方程的特征方程為 解得特征根 方程的齊次解信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析求特解根據(jù)激勵(lì)函數(shù)形式設(shè)特解為其移位序列將特解及其移位序列代入微分方程中，得信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析解得 ，于是特解方程的全解將已知的初始條件代入上式，有由上

6、式解得 ，最后得全解信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 一般而言，如果差分方程所有的特征根均滿足 ，那么其自由響應(yīng)將隨著k的增大而逐漸衰減趨近于0。這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，這時(shí)的自由響應(yīng)也稱為瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)定系統(tǒng)在階躍序列或有始周期序列作用下，其強(qiáng)迫響應(yīng)也稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 三、零輸入響應(yīng) 系統(tǒng)的激勵(lì)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)，用 表示。在零輸入條件下，微分方程等號(hào)右端為零，化為齊次方程。 一般設(shè)定激勵(lì)是在k=0時(shí)接入系統(tǒng)的，在k0時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)與系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式相同。這樣就把求單位序列響應(yīng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求差分方程齊次解的問(wèn)題

7、，而k=0處的值 可按零狀態(tài)的條件由差分方程確定。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：求如圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)寫差分方程根據(jù)單位序列響應(yīng) 的定義，它應(yīng)滿足方程DD信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析求初始值由 求由于（2）求 對(duì)于k0， 滿足方程 求齊次解其特征方法為其特征根 ，方程的齊次解為 信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 將初始值代入，有 請(qǐng)注意，這時(shí)已將 代入，因而方程的解也滿足k=0。有上式可解得 于是得系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：如圖離散系統(tǒng)，求其單位序列響應(yīng)（1）列方程 由 得DD信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析根據(jù)單位序列響應(yīng)的定義，

8、 應(yīng)滿足方程和初始狀態(tài)（2）求 思路：將 和 看作是兩個(gè)激勵(lì)，分別求它們的單位序列響應(yīng)，然后按線性性質(zhì)求得系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 階躍響應(yīng) 當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位階躍序列時(shí) 時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)或階躍響應(yīng)，用 表示。若已知系統(tǒng)的差分方程，那么利用經(jīng)典法可以求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 類似地 有信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：求如圖所示離散系統(tǒng)的單位階響應(yīng)（1）經(jīng)典法 系統(tǒng)的差分方程為： 根據(jù)階躍響應(yīng)的含義， 滿足方程DD信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析初始狀態(tài) 上式可寫為得：差分方程的特征根：方程的特解解為： 則系統(tǒng)階

9、躍響應(yīng)為將初始值 代入，得 ，則信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析（2）利用單位階躍序列 已知系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為： 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析常用的幾何數(shù)列求和公式：1.2.3.信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析4.5.6.7.信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.3 卷積和 本節(jié)討論離散系統(tǒng)對(duì)任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)一、卷積和 在LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，把激勵(lì)信號(hào)分解為一系列沖激函數(shù)，求出各沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)時(shí)的沖激響應(yīng)，然后將這些響應(yīng)相加就得到對(duì)于該激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。這個(gè)相加的過(guò)程表現(xiàn)為求卷積積分。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 將離散信號(hào)分解為單位序列

10、之和，利用系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)求激勵(lì)信號(hào)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，這個(gè)過(guò)程表現(xiàn)為求卷積和。 任意離散時(shí)間序列 可表示為：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 如果LTI系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為 ，那么，由線性系統(tǒng)的齊次性和時(shí)不變系統(tǒng)的移位不變性可知，系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)為 。則序列 作用于系統(tǒng)所引起的零狀態(tài)響應(yīng) 應(yīng)為 信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 卷積和也簡(jiǎn)稱為卷積，通常用 表示，即 LTI系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì) 與系統(tǒng)單位序列響應(yīng) 的卷積和。 一般地，若有兩個(gè)序列 ，其卷積和為信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：如 求解：由卷積的定義式，考慮到 得根據(jù) 的定義，故信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)

11、的時(shí)域分析（2）由卷積和的定義故顯然，上式中k0，故應(yīng)寫成：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析二、卷積和的圖示 在計(jì)算卷積和時(shí)，正確地選定參變量k的適用區(qū)域以及確定相應(yīng)的求和上限和下限是十分關(guān)鍵的步驟，圖示法也是求簡(jiǎn)單序列卷積和的有效方法。 用作圖法計(jì)算序列卷積和的有效方法。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：如有兩個(gè)序列信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 （1）將序列 的自變量換為i，序列 的圖形如圖所示。（2）將 反轉(zhuǎn)后，得 ，如圖所示。 信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析求卷積和的序列陣列表信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析列表法求解例信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析三、卷積的性質(zhì)

12、離散信號(hào)卷積和的運(yùn)算也服從某些代數(shù)運(yùn)算規(guī)則。 交換律 分配律 結(jié)合律信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 如果序列之一是單位序列，由于 僅當(dāng)k為0時(shí)等于1，不為0時(shí)全為0，因而有： 即序列 與單位序列 的卷積和就是序列 本身 將上式推廣， 與移位序列 的卷積和有交換律，有信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 例：如圖的復(fù)合系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成，已知子系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)分別為 ，求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng) 。 信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 解：根據(jù)單位序列響應(yīng)的定義，復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng) 是激勵(lì) 時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即 令 ，則子系統(tǒng)1的零狀態(tài)響應(yīng)為： 當(dāng)子系統(tǒng)2的輸入為 時(shí)，子系統(tǒng)2的零

13、狀態(tài)響應(yīng)亦即復(fù)合系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為： 考慮到當(dāng) 時(shí)， 時(shí) 以及在 區(qū)間 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析顯然上式僅在k0成立，故得：通常利用單位序列來(lái)簡(jiǎn)便求移位序列的卷積和。信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析例：如圖所示的離散系統(tǒng)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。已知初始狀態(tài) 激勵(lì)解：該系統(tǒng)的差分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析（1）求零輸入響應(yīng)根據(jù)零輸入響應(yīng)的定義，它滿足方程由初始狀態(tài) 得初始條件：對(duì)應(yīng)特征方程的特征根為 ，故有將初始條件代入得零輸入響應(yīng)為：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析（2）求單位序列響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)單位序列響應(yīng)的定義，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng) 滿足初始狀態(tài) 如前例中求法得：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì) 與單位序列響應(yīng) 的卷積和，即信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的全響應(yīng)為：信號(hào)與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.4 反卷積 在前面的討論中，若給定系統(tǒng)的激勵(lì) 和單位序列響應(yīng) ，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：