導(dǎo)數(shù)和應(yīng)用教(學(xué))案

1、課題：變化率問題教學(xué)目標(biāo)：1理解平均變化率的概念；2了解平均變化率的幾何意義；3會求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率；教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念.教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：一、已知物體運(yùn)動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度等；二、求曲線的切線；三、求已知函數(shù)的最大值與最小值；四、求長度、面積、體積和重心等。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最

2、有效的工具。導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.二、知識探究探究一：氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r(V)如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r(V)33Vvr當(dāng)V從0增加到1時，氣球半徑增加了r(1)r(0)0.62(dm)氣球的平均膨脹率為r(1)r(0)0.62(dm/L)0當(dāng)V從1增加到2時，氣球半徑增加了r(2)r(1)0.16(dm)氣

3、球的平均膨脹率為r(2)r(1)0.16(dm/L)1可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.思考：當(dāng)空氣容量從V增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少？r(V2)r(V1)V2V1探究二：高臺跳水：在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：m與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.912+6.5t+10.如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速v度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)？思考計算:0t0.5和1t2的平均速度v0.5這段時間里,2這段時間里，vv詩4.05(m/s)；hh(1)8.2(m/s)探究:計算運(yùn)動員在0t2165這段時間里的平均速度，并思考以下問題:

4、49運(yùn)動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)65_h(45)h(0)，所以vh(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知,65h(-)h(0)0(s/m)，雖然運(yùn)動員在065小049色這段時間里的49平均速度為0(s/m)，但實(shí)際情況是運(yùn)動員仍然運(yùn)動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)。探究(三)：平均變化率1、平均變化率概念：上述問題中的變化率可用式子稱為函數(shù)f(X)從X1到X2的平均變化率2若設(shè)xx2x1,yf(x2)f(x-i)(這里x看作是對于X1的一個增量”可用X1+X代替X2,同樣yf(

5、x2)f(xj)則平均變化率為丄型一XX2X1f(X1X)f(X1)思考：觀察函數(shù)f(X)的圖象：平均變化率yf(X2)f(X1)表示什么?直線AB的斜率y=f(x2)-f(x1)yf(X2)y=f(x)X=X2-X1f(Xo+Vx)-f(Xo)Vx3、函數(shù)f(x)從xo到Xo+Ax的平均變化率怎么表示?三、典例分析例1.已知函數(shù)f(x)=x2x的圖象上的一點(diǎn)A(1,2)及臨近一點(diǎn)B(1x,2y),解：2y(1x)2(1x),y(1x)2(1x)23Xxx例2、求2.yx在xxo附近的平均變化率。、22解：y(X。22yx)X。，所以(Xox)XoxX222Xo2xoxXXo2xoxX所以yx

6、在xXo附近的平均變化率為2xoX2、,例3、求函數(shù)y=5x+6在區(qū)間2,2+x內(nèi)的平均變化率例4、某盞路燈距離地面高8m一個身高1.7m的人從路燈的正底下出發(fā)，以1.4m/s的速四課堂練習(xí)度勻速沿某直線離開路燈，求人影長度的平均變化率解：略1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為st23，則在時間(3,3t)中相應(yīng)的平均速度為物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動，求在4s附近的平均變化率253t過曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P(1,1)和Q(1+x,1+y)作曲線的割線，求出當(dāng)厶x=0.1時割線的斜率.五回顧總結(jié)平均變化率的概念2函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率六布置作業(yè)課后記：課題：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)：1

7、了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;3會求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1、函數(shù)平均變化率：-1f（X2）f（Xi）x）f（Xi）XX2X-IX2、函數(shù)平均變化率的幾何意義：表示曲線上兩點(diǎn)連線（割線）的斜率.因?yàn)檫\(yùn)動員從3、在高臺跳水運(yùn)動中，平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動員在這段時間里運(yùn)動狀態(tài)高臺騰空到入水的過程中，不同時刻的速度是不同的。二、知識探究1、引例：計算運(yùn)動員在1、引例：計算運(yùn)動員在49這段時間里的平均速度，并思考以下問題:運(yùn)動員在這段時間內(nèi)使靜止的

8、嗎?你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知,h（65）h（0），所以V65o490(s/m),雖然運(yùn)動員在0t49這段時間里的平均速度為0（s/m），但實(shí)際情況是運(yùn)動員仍然運(yùn)動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài).2、.瞬時速度：我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運(yùn)動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運(yùn)動員的瞬時速度呢？比如，t2時的瞬時速度是多少？考察t2附近的情況：加時，在2十山崗這段時間內(nèi)j山沁時，在2,2十&這段肘間內(nèi)戶-城2衍（2+血）-就2+山

9、-4.9A?-13.1AZ2-A/Q=79&-13.1(2斗A)-2MQ=Y9拉-口1當(dāng)A;=-0.01時，A=-13.051;護(hù)當(dāng)=0.01時，Az=-13.05bQ當(dāng)&二0001時，=-13.0951:p當(dāng)山二0001時，A2=-13.0951；=-0001時，Ai=-13.05951：p當(dāng)拉=0.001時，=-13051；q當(dāng)Ai=-00001時，Ai=-13.09995b門當(dāng)AZ=0.0001時，=-13.09995b當(dāng)Az=-0,00001時,A；-13.09995b-當(dāng)山=0.00001時,Az=-13.099951,護(hù)*一、思考：當(dāng)t趨近于o時，平均速度V有什么樣的變化趨勢？、結(jié)

10、論：當(dāng)t趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度V都趨近于一個確定的值13.1.、從物理的角度看，時間t間隔無限變小時，平均速度v就無限趨近于史的瞬時速度,因此，運(yùn)動員在t2時的瞬時速度是13.1m/s、為了表述方便，我們用limh(2一t)h(2)13.1表示“當(dāng)t2,t趨近于0時,t0t平均速度v趨近于定值13.T、小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。limf(xox)f(xo)x0我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0出的導(dǎo)數(shù)，記作f(X。)或ylxx0，3、導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)y=f(x)在

11、x=xo處的瞬時變化率是：即帆)limf(xox)f(xo)X0 x說明：(1)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=xo處的瞬時變化率(2)(2)xxxo，當(dāng)x0時，xXo，所以f(xo)limf(x)f(xo)x0 xx04、一般地，第一步，求函數(shù)值增量：第二步，求平均變化率:Vy_f(x+Vx)-f(x)VxVx第三步，取極限，求導(dǎo)數(shù):f(xo)=VxmVy0Vx5、常見結(jié)論:(1)limX?xof(x)-f(X。)X-xo=f(Xo)(2)limf(Xo-Vx)-f(xo)Vx?0Vx=-f(Xo)求函數(shù)f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)有哪幾個基本步驟?y=f(x+x)f(xo);m小-f(Xo)n

12、(3)f(Xo+2Vx)-f(Xo)=“(f(Xo+mVx)-f(Xo)(3)lim=2f(x0)(4)limvx?0Vxvx?0nVx三、典例分析例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：先求y=f(1+Ax)-f(1)=6x+(x)解：-yx再求y6xx再求lim1X0 x6解：法一(略)法二:ylx1223x31limx1x122lim3(x1)lim3(x1)6x1x1x1(2)求函數(shù)f(x)=x2x在x1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解：-yx(1X)2(1x)2Xf(1)譏x(1x)2(1x)2lim(3x)3xx0例2.(課本例1)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等

13、各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度(單位：C)為f(x)x27x15(0 x8)，計算第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.解：在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f(2)和f(6)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，ff(2x)f(X。)xx(2x)27(2x)15(227215)x3x所以f(2)limx0fxlim(x3)3同理可得：f(6)5在第2h時和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為3和5,說明在2h附近，原油溫度大約以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5C/h的速率上升.注：一般地，f(xo)反映了原油溫度在時刻x0附近的變

14、化情況.四課堂練習(xí)21質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為st3，求質(zhì)點(diǎn)在t3的瞬時速度為.2.求曲線y=f(x)=x3在x1時的導(dǎo)數(shù).3例2中，計算第3h時和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.五.回顧總結(jié)瞬時速度、瞬時變化率的概念導(dǎo)數(shù)的概念六.布置作業(yè)課題：導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；理解曲線的切線的概念；3通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)過程：一復(fù)習(xí)引入1、函數(shù)f(x)在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)的含義是什么？f飢)=limVy=limf(Xo+VX)-

15、f(Xo)0Vx0VxVx0Vx2、求函數(shù)f(x)在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)有哪幾個基本步驟？3、導(dǎo)數(shù)f(Xo)表示函數(shù)f(x)在x=Xo處的瞬時變化率，這是導(dǎo)數(shù)的代數(shù)意義，導(dǎo)數(shù)是否具有某種幾何意義，是一個需要探究的問題二.知識探究探究一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義1、曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)Pn(Xn，f(Xn)(n1,2,3,4)沿著曲線f(X)趨近于點(diǎn)P(Xo,f(Xo)時，割線PPn的變化趨勢是什么？1L蘆rf(Xo)，我們就說f(xo)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作：y極小值=f(xo).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.探究二：函數(shù)極值的求解考察上圖中，曲線在極值點(diǎn)處附近切線的斜率情況.上

16、圖中，曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為o,極大值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)為負(fù)；極小值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)為正.2、利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的極大(小)值：一般地，當(dāng)函數(shù)f(X)在點(diǎn)xo處連續(xù)時，判別f(xo)是極大(小)值的方法是：如果在Xo附近的左側(cè)f(X)o,右側(cè)f(X)Vo,那么,f(Xo)是極大值；如果在Xo附近的左側(cè)f(X)Vo,右側(cè)f(X)o,那么,f(Xo)是極小值；思考：導(dǎo)數(shù)為o的點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn)？(導(dǎo)數(shù)為o的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).)3如函數(shù)f(X)=X,x=o點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是o,但它不是極值點(diǎn).說明：、函數(shù)的極值點(diǎn)Xi是區(qū)間a,b內(nèi)部的點(diǎn)，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).、函數(shù)的極大(小)值可能不止一個，

17、并且函數(shù)的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值.、函數(shù)在a,b上有極值，其極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，像相鄰兩個極大值間必有一個極小值點(diǎn).3、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖像如圖，貝V函數(shù)三、典例分析3例1求函數(shù)yx34x4的極值3解：y=x24=(x+2)(x2).令y=0，解得xi=2，X2=2.當(dāng)x變化時，y,y的變化情況如下表.X(m,2)2(2,2)2(2,+g)y+:0一0+y極大值283、極小值43284因此，當(dāng)x=2時，y極大值=，當(dāng)x=2時，y極小值=3總結(jié)：求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：求導(dǎo)函數(shù)f(X)；求方程f(x)=

18、0的根；檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.例2求函數(shù)yx2ex的極值例3求函數(shù)y=(x21)3+1的極值.2解：定義域?yàn)镽,y=6x(x1)2.由y=0可得X1=1,X2=0,X3=1當(dāng)x=0時，y有極小值，并且y極小值=0.X(,1)1(1,0)0y一0一0y無極值、極小值0X(0,1)1(1,+)y+0+y無極值當(dāng)x變化時，y,y的變化情況如下表:X32例4.y2的極值2(x1)2例5.y(x1)Vx2的極值練習(xí)：求函數(shù)yx3ex的極值四、課堂小結(jié)函數(shù)的極值的定義。2、求函數(shù)極值的基本步驟：確

19、定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f(x)t解方程f(x)=0t判斷在根附近左右兩側(cè)f(x)的符號t作出結(jié)論.五、課后作業(yè)課后記課題：函數(shù)的極值(二)教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)的極大值、極小值、極值點(diǎn)的意義2、掌握函數(shù)極值的判別方法進(jìn)一步體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)的作用教學(xué)重點(diǎn)：求函數(shù)的極值教學(xué)難點(diǎn)：嚴(yán)格套用求極值的步驟教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入函數(shù)的極值的定義。略函數(shù)的極值點(diǎn)xi是區(qū)間a,b內(nèi)部的點(diǎn)，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).函數(shù)的極大(小)值可能不止一個，并且函數(shù)的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值.函數(shù)在a,b上有極值，其極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，像相鄰兩個極大值間必有一個極小值點(diǎn).2、求函數(shù)極值的基本步驟：確定函數(shù)

20、定義域，求導(dǎo)數(shù)f(x)t解方程f(x)=0t判斷在根附近左右兩側(cè)f(x)的符號t作出結(jié)論.二、講授新課例1.已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1時取得極值，且f(1)1.(1求常數(shù)a、b、c的值；(2)判斷x1分別是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)？練習(xí)：(1)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且知當(dāng)x=-1時取得極大值7當(dāng)x=3時取得極小值，試求函數(shù)f(x)的極小值，并求a、b、c的值已知f(x)ax3bx22x在x2,x1處取得極值.求f(x)的解析式；求f(x)的單調(diào)區(qū)間.10,其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)y(1,0),(20).例2已知f(x)ax3bx2ex在點(diǎn)命處取得極大值如圖，

21、求()1x的值；(2)a、b、e的值.例3.若f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值,又有極小值求a的取值范圍例4.函數(shù)f(x)x2ex1ax3bx2已知x2和x1為f(x)的極值點(diǎn).(1求a和b的值；討論f(x)的單調(diào)性.32例5、設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x-x-x+a.,(1)求f(x)的極值;(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點(diǎn)例2已知函數(shù)f(x)x3x.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)M(t,f(t)處的切線方程;(2)設(shè)a0，如果過點(diǎn)(a,b)可作曲線yf(x)的三條切線，證明：abf(a).例3.已知f(x)ax3bx2ex在區(qū)間0,1上是增函數(shù),在區(qū)

22、間(,0),(1,)上是減函13數(shù),又f(羅2.(i)求f(x)的解析式；(成立,求m的取值范圍.13數(shù),又f(羅2.(i)求f(x)的解析式；(成立,求m的取值范圍.n)若在區(qū)間0,m(m0)上恒有f(x)x例4.設(shè)函數(shù)f(x)ax2blnx，其中ab0.證明：當(dāng)ab0時，函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)ab0時，函數(shù)f(x)有且只有一個極值點(diǎn)，并求出極值.例5設(shè)函數(shù)f(x)x2bln(x1)，其中b01(i)當(dāng)b時，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；2(n)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(川)證明對任意的正整數(shù)n，不等式ln-1冷冷都成立.nnn解：略四、小結(jié)五、作業(yè)：見資料課題：函數(shù)的最大(小)值

23、與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上所有點(diǎn)(包括端點(diǎn)a,b)處的函數(shù)中的最大(或最小)值必有的充分條件；2、使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟.教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系.教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)也就是說，如果X。是函數(shù)yfx的極大(小)值點(diǎn)，那么在點(diǎn)X。附近找不到比fx。更大(小)的值但是，在解決實(shí)際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個值最大，

24、哪個值最小如果x。是函數(shù)的最大(小)值，那么fx。不小(大)于函數(shù)yfx在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值.知識探究吧1、觀察圖中一個定義在閉區(qū)間a,b上的函數(shù)f(x)的圖象圖中f(xj與f(X3)是極小值，f(X2)是極大值.函數(shù)f(x)在a,b上的最大值是f(b)，最小值是f(x3).2、結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間a,b上函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)yf(x)在a,b上必有最大值與最小值.說明：、如果在某一區(qū)間上函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間上連續(xù).(可以不給學(xué)生講)、給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有

25、最大值與1最小值.如函數(shù)f(x)丄在(0,)內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；x、在閉區(qū)間上的每一點(diǎn)必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，、函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，是f(x)在閉區(qū)間a,b上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件.(可以不給學(xué)生講)3、“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系、最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對性.、從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；、函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個.、極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最

26、值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f(x)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了.一般地，求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：、求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；、將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)f(x)在a,b上的最值典例分析3例1.(課本例5)求fx-x4x4在0,3的最大值與最小值3TOCo1-5hz解：由例4可知，在0,3上，

27、當(dāng)x2時，f(x)有極小值，并且極小值為f(2)3又由于f04,f31134因此，函數(shù)fxx34x4在0,3的最大值是4,最小值是一.33例2求函數(shù)y=x42x2+5在區(qū)間0,2上的最大值與最小值.答案：f(x)max=f(2)=13,f(x)min=f(1)=4.例3求函數(shù)f(x)=sin2xx在區(qū)間-P,P上的最大值與最小值2答案：f(x)max=f(-P)=P,f(x)min=二-P2222例4221求函數(shù)f(x)二(1+x)-ln(1+x)在-1,e-1上的最大值e例5已知mln(x+m).2、,3x2例6、若對任意x1,2，不等式x-2x+a1為常數(shù)，若當(dāng)x0,1時，AiB，求a的取

28、值范圍答案：a?Qlnxax例8若存在正實(shí)數(shù)x,使不等式3ln成立，求a的取值范圍1+x1+x答案：a(0,2).例9已知函數(shù)f(X)二x2eax,其中av0為常數(shù)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的最大值.答案：略四課堂練習(xí)1.下列說法正確的是()A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值是M最小值是m若M=m則f(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函數(shù)y=lx413x12x，在-1,1上的最小值為（）432A.0B.-2C.1124求函數(shù)y4x2x25

29、在區(qū)間2,2上的最大值與最小值.五回顧總結(jié)、12yI10118-1611r-41.21y=x4-2x2+5=BJj-4-2O24x1函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),區(qū)間端點(diǎn)；2函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間a,b上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件;3閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間（a,b）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法.六布置作業(yè)課題：生活中的優(yōu)化問題舉例（-）教學(xué)目標(biāo)：使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用提高將實(shí)際問題

30、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題.教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.二新課講授導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定

31、函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：典例分析例1.海報版面尺寸的設(shè)計學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dmi,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最?。?28解：設(shè)版心的高為xdm,則版心的寬為dm,此時四周空白面積為x128512S(x)(x4)(舊2)1282xx求導(dǎo)數(shù)，得S(x)2于是寬為128x

32、128165122。令S(x)2x8。當(dāng)x(0,16)時,8,x0。512亍0，解得x16(x16舍去)。xS(x)0.因此，x16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2.在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起圖),做成一個無蓋的方底箱子，圖),做成一個無蓋的方底箱子，解法一：設(shè)箱底邊長為xcm,箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少?60 x則箱咼hcm得箱子容積22V(x)xh360 xx小x60)V(x)60 x60)令V

33、(x)60 x3x=02解得x=0(舍去)由題意可知,是最大值*解得x=0(舍去)由題意可知,是最大值*,x=40,并求得V(40)=16000當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時，箱子容積很小，因此，16000答：當(dāng)x=40cm時,解法二：設(shè)箱高為答：當(dāng)x=40cm時,解法二：設(shè)箱高為箱子容積最大，最大容積是xcm,則箱底長為(60-2x)cm,則得316000cm箱子容積V(x)(602x)2x(0 x30).(后面同解法60160-2x*60-2x-x60-2x-I-6-2x，略）由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處.事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)V（x）x2h60 x

34、2x32、V(x)（602x）2x在各自的定義域中都只有一個極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例3.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R,則表面積S=2nRh+2n於,V由V=nRTh,得h2，貝yR2V,2V,2+2nR=+2nRR2RS(R)=2nR令s(R)零+4冗R=0解得，R=，從而R2h=即h=2R因?yàn)榇穑寒?dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省S（R）只有一個極值，所以它是最小值變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時,它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才

35、能使所用材料最??？2例4.已知矩形的兩個頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個頂點(diǎn)位于拋物線y=4x在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長.【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點(diǎn)為（x,y），且x0,y0,則另一個在拋物線上的頂點(diǎn)為（一x,y）,在x軸上的兩個頂點(diǎn)為（一x,0）、（x,0）,其中0vxv2.設(shè)矩形的面積為S,貝US=2x（4x2）,0vxv2.由S（x）=86x=0,得x=2J3，易知x=是S在（0,2）上的極值點(diǎn)，33即是最大值點(diǎn)，所以這種矩形中面積最大者的邊長為23和8.33【點(diǎn)評】應(yīng)用題求解，要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件.應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯

36、一，即可確定極小值就是最小值.四課堂練習(xí)1把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長、寬、高各為多少時，面積最大？2把長為100cm的鐵絲分成兩段，各圍成正方形，怎樣分法，能使兩個正方形面積之和最??？用總長為14.8m的鋼條制作一個長方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.答案：（高為1.2m，最大容積1.8m3）五回顧總結(jié)1利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路:優(yōu)化問題建立數(shù)學(xué)模型用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題11解決數(shù)學(xué)模型r作答用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案2解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)

37、函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決.在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。六布置作業(yè)1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（二）教學(xué)目標(biāo)1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用2、提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題.教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.二新課講授導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小

38、值的實(shí)際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：三.典例分析例1.飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？背景知識】：某制造商制

39、造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是0.8r半徑為2cm時，利潤最小，這時f20，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值.0.8r半徑為2cm時，利潤最小，這時f20，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值.半徑為6cm時，利潤最大.換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問題：(1)瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(2)瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤

40、是yfr0.2當(dāng)r0,2時，fr0,fr為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為2cm時，利潤最小.例2.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x),出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x),R(x)C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。3r0.8r230.8-r有圖像知：當(dāng)r3時，f30，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)r3時，利潤才為正值.,0r633令fr0.8(r22r)0解得r2(r0舍去)當(dāng)r0,2時，fr0；當(dāng)r2,6時，fr0.當(dāng)半徑r2時，fr0它表示fr單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；

41、當(dāng)半徑r2時，fr0匕表示fr單調(diào)遞減，即半徑越大，禾U潤越低(2)、如果C(x)=50 x+10000,產(chǎn)品的單價P=1000.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的1函數(shù)關(guān)系式為p25-q.求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？8分析：利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.1解：收入Rqpq25q812利潤LRC25qq281L-q21，令L0，即4答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大+課堂練習(xí)25q-q2,812(1004q)q221q100(0q100)

42、1q210,求得唯一的極值點(diǎn)q84”41、書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元,每千冊書存放一年要耗庫費(fèi)40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少？由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即x，故有2+20,y=150X30+-X40,yx2令y=0,得x=15，且y45002x90003x,f(15)0,【解】假設(shè)每次進(jìn)書x千冊，手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和為y元，所以當(dāng)x=15時，y取得極小值，且極小值唯一,150故當(dāng)x=15時，y取得最小值，此時進(jìn)貨次數(shù)為150=10(次).15即該書店分10次

43、進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊書，所付手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少.2、甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最?。俊窘狻吭O(shè)水廠D點(diǎn)與乙城到岸的垂足B點(diǎn)之間的距離為x千米，總費(fèi)用為y元，則CD=；x2402.y=500(50 x)+700、x21600=25000500 x+700：x21600,y=500+700-(x2+1600)22x=500+700 x_.X21600令y=o,解得x=56答：水廠距甲距離為50-千米時，總費(fèi)用

44、最省.3某公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3a5）的管理費(fèi)，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（9a11）時，一年的銷售量為（12-x）2萬件.（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Qa）.五回顧總結(jié)1利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：優(yōu)化問題建立數(shù)學(xué)模型用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題1f1解決數(shù)學(xué)模型If優(yōu)化問題白勺答案h作答用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題2解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決.在

45、這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。六布置作業(yè)課題：生活中的優(yōu)化問題舉例（三）教學(xué)目標(biāo)1使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用2、提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題.教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題.教學(xué)過程一.創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.二新課講授導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有

46、關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路:三.典例分析例1.磁盤的最大存儲量問題計算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可

47、作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特(bit)。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域.是不是r越小，磁盤的存儲量越大？r為多少時，磁盤具有最大存儲量(最外面的磁道不存儲任何信息)？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)x每磁道的比特數(shù)。設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存mr

48、儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)土丄。所以，磁盤總存儲量nrr2r2f(r)xJr(Rr)mnmn(1)它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.2(2)為求f(r)的最大值，計算f(r)0,f(r)R2rmn令f(r)0,解得rR時，f(r)0；當(dāng)rR時，f(r)0.Rmn4mn4因此r2時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例2.汽油的使用效率何時最高我們知道，汽油的消耗量w(單位：L)與汽車的速度v(單位：km/h)之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量w是汽車速度v的函數(shù).根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個問題：是不是汽車的速度越快，汽車

49、的消耗量越大？“汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率(單位：L/m)就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G-，其中，w表示汽油消耗量(單位：L),ss表示汽油行駛的路程（單位：km）.這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的問題.通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率g（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度V（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系gfv.從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題.因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率g（

50、即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度v（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題.w解：因?yàn)間wg，這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求g的最小值從圖象上看，g表ssvVVt示經(jīng)過原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最小在此切點(diǎn)處速度約為90km/h.因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90km/h從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即f90,約為L.例3.一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周

51、l=ABbBGCD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h(yuǎn)和下底邊長b.解：由梯形面積公式，得DE=3h,BC=b1S-(A4BCh,其中AD=2DE+BC2A嚀兩A嚀兩&肩h2b)hb)hCD：cos30CD：cos30h,AB=CD1=2hx2+b.3S由得b=h.343h,代入，|=Xh347當(dāng)h4時，47當(dāng)h4時，4S時,v3h=4時，I取最小值，此時b=243四課堂練習(xí)請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設(shè)OO為xm，貝y1x4OO由題設(shè)可得正六

52、棱錐底面邊長為：32(x1)282xx2,(單位：m)故底面正六邊形的面積為：6-(842、22xx)=33(82x2x2),(單位:m2)帳篷的體積為：V(x)33(82xx22、1)；(X1)3J331(1612xx3)2求導(dǎo)得V(x)3(1223x2)。令V(x)0，解得x2(不合題意，舍去)，x2,當(dāng)1x2時，V(x)0,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2x4時，V(x)0，V(x)為減函數(shù)。當(dāng)x2時，V(x)最大。答：當(dāng)OO為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為16.3m3?！军c(diǎn)評】當(dāng)要求的最大(小)值的變量y與幾個變量相關(guān)時，我們總是先設(shè)幾個變量中的一個為x,然后再根據(jù)條件x來表示其他變量，并寫

53、出y的函數(shù)表達(dá)式f(x).五回顧總結(jié)1利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：2解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。六布置作業(yè)課題：曲邊梯形的面積教學(xué)目標(biāo)：理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法教學(xué)重點(diǎn)：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近(取極限)教學(xué)難點(diǎn)：對過程中所包含的基本的微積分“以直代曲”的思想的理解教學(xué)過程：1創(chuàng)設(shè)情景問題1：我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面

54、圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學(xué)研究和實(shí)際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)定積分的基本概念以及定積分的簡單應(yīng)用，初步體會定積分的思想及其應(yīng)用價值。一個概念：如果函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間I上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)yf(x)稱為區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)(不加說明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù))2新課講授問題2:如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線yf(x)的一段，我們把由直線xa,xb(ab),y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計算這個曲邊梯形的面積？0aJr；*例1：求圖中陰影部分是由拋物線yx2，直線x1以及x軸所圍成的平面圖形的面積S。

55、問題3：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：7/鄉(xiāng):;Z70曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都把區(qū)間0,1分成許多個小區(qū)間，進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值.分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S.也即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.解：（1）分割：在

56、區(qū)間0,1上等間隔地插入n1個點(diǎn)，將區(qū)間0,1，ni1iV,；分別過上述（i1,2丄，n），其長度為x丄nn1個分點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到0,1等分成n個小區(qū)間:記n他們的面積分別記作：S,（2）近似代替2記fXX,如圖所示，當(dāng)i1i-一，-上，可以認(rèn)為函數(shù)nn他們的面積分別記作：S,（2）近似代替2記fXX,如圖所示，當(dāng)i1i-一，-上，可以認(rèn)為函數(shù)nnS2，Sn,顯然，Si1n很大，即x很小時，在區(qū)間2fxx的值變化很小，近似的i1i1等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值f-一1，從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊i1（如圖）這樣，在區(qū)間-一n-上

57、,n用小矩形的面積Si近似的代替Si,即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有Si1g-n(i1,2,L,n)(3)求和由,上圖中陰影部分的面積Sn為Sn=0gnn1g-n2/=飛1n22Ln2n2n從而得到S的近似值SSn（4）取極限分別將區(qū)間0,1等分8,16,20,SnSlimlim2n等份1113（如圖），可以看到,當(dāng)n趨向于無窮大時,12n向于S,從nSn11g-nlimn12n3求曲邊梯形面積的四個步驟第一步：分割在區(qū)間a,b中任意插入n1各分點(diǎn)，將它們等分成n個小區(qū)間Xi1,Xi1,2丄，n，區(qū)間Xi1,Xi的長度XiXj人1,第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯

58、形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值.第三步：求和.第四步：取極限。說明：1.歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割|以直代曲|求和逼近最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實(shí)值例2.求y2xX2,y0,0X2圍成圖形面積解：1.分割：在區(qū)間0,2上等間隔地插入n1個點(diǎn)，將區(qū)間0,2等分成n個小區(qū)間：0,-,-,-，2門1,1，記第i個區(qū)間為幻丄，色(i1,2丄,n),nnnnnn其長度為X2i2i1,分別過一n上述n1個分點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個小nn曲邊梯形，他們的面積分別記作：S,S2，,Sn,顯然，nSSii1(2)近似代替:y2xx2，當(dāng)n很大，即X很小時，在區(qū)間2i12i(i1

59、,2,L,n)上，可以nJn認(rèn)為函數(shù)y2xX2的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)2211處的函數(shù)值2丄21，這樣，在區(qū)間上，用小矩nnnnn形的面積Si近似的代替Si，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有2i122i12i122i12SQcyQSiSi2gx2gnnnnn(3)求和:由，-上圖中陰影部分的面積Sn為nn2i12i122SnS2g-i1i1nnnni1i128n24gi1ng1nnni1ni1i1=012n=012nLn121222Ln8n1n2n1從而得到S的近似值SSn1n2n1（4）取極限：SlimSnnlim8n1n2n1n練習(xí)：設(shè)S表示由曲線y.x

60、,x=1,以及x軸所圍成平面圖形的面積。四：課堂小結(jié)求曲邊梯形的思想和步驟：分五：課后作業(yè)以直代曲求和逼近（“以直代曲”的思想）課后記:課題：汽車行駛的路程教學(xué)目標(biāo)：1、了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點(diǎn)；感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）2、通過與求曲邊梯形的面積進(jìn)行類比，求汽車行駛的路程有關(guān)問題，再一次體會“以直代曲“的思想教學(xué)重點(diǎn)：掌握過程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）教學(xué)難點(diǎn)：過程的理解教學(xué)過程：一復(fù)習(xí)引入1、連續(xù)函數(shù)的概念；2、求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；3、禾U用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動路程與時間