lingo-多目標(biāo)規(guī)劃模型

1、多目標(biāo)決策方法李小飛多目標(biāo)決策的基本概念多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型及其非劣解多目標(biāo)決策建模的應(yīng)用實(shí)例用LINGO軟件求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題1求解方法概述LINGO（或LINDO）不能直接求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但可以通過(guò)逐級(jí)求解線(xiàn)性規(guī)劃的方法，求得目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的滿(mǎn)意解。2.示例例1用LINGO求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題minz=片/J+P?d+P3d1Oxj+15兀2+d40+兀2+d=10s.t.0,j=1,2,3解：首先對(duì)應(yīng)于第一優(yōu)先等級(jí)，建立線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：minz=d；g+15/+d-d=405.LS_*xx2,d,d0用LINGO求解，得最優(yōu)解=0,最優(yōu)值為0。具體求解過(guò)程如下：注畧LINGOS豐9rviovK.

2、lp臺(tái)Xel日1186|o|*r|n|E|窮昭Globalqp&udaIsolutionfogdCtojectivevalue:O.QOOOOOtocqIaolvctrlcetrotiono:0VaxibleValuePducedCostDI0.0000001ooooooXIo.Doaaooo.oooodoxz0.000000000000040.000000.000000AovlnckoxSurplusDulPrice10.0000007000000Z0.0000000000000加UyLn1.ColL9.07m對(duì)應(yīng)于第二優(yōu)先等級(jí)，將盯=0作為約束條件，建立線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：minz=d；1Oxj

3、+15x2+d；一d；=40兀1+兀2+一=10s.t.0,J=1,2用LINGO求解，得最優(yōu)解d：=d嚴(yán)0=6,最優(yōu)值為6。具體LINGO程序及輸出信息如下：LINGO程序?yàn)椋▍⒁?jiàn)圖4）:model:min=d2_;10*xl+15*x2+dl_-dl二40;x1+x2+d2_-d2=10;dl=0;ENDCV61函燈Oi|II恥呷QN3-O-tP-XP+xxs+ix40l廠(chǎng)Zp.uiux:Tspoor段4図ie|O|X3綣1：|70H1倉(cāng)日RQXjj-0,j=1,2,3用LINGO求解，得最優(yōu)解是旺=4入=0,+=右=0，d=6,d；=7,最優(yōu)值為7。具體LINGO程序及輸出信息如下（參見(jiàn)

4、圖6）:model:min=d3_;10*xl+15*x2+dl_-dl二40;x1+x2+d2_-d2=10;x2+d3_-d3=7;dl=0;d2二&END圖 LINGO運(yùn)算后輸出為：（參見(jiàn)圖7）因止匕，K=4入=0,盯=d是目標(biāo)規(guī)劃的滿(mǎn)意解。=0,d2=6,d=7就第一部分多目標(biāo)決策的基本概況本章將從多目標(biāo)決策（也稱(chēng)多目標(biāo)規(guī)劃）方法的作用出發(fā)，通過(guò)分析簡(jiǎn)單的多目標(biāo)決策問(wèn)題的幾個(gè)案例，闡述多目標(biāo)決策的基本概念。任何決策問(wèn)題的解決主要依賴(lài)于所謂的決策者和分析者。決策者一般指有權(quán)挑選行動(dòng)方案，并能夠從中選擇滿(mǎn)意方案作為最終決策的人員。政府官員、企業(yè)行政管理人員均為某類(lèi)問(wèn)題的決策者。It聘翁學(xué)家

5、、工程師、系統(tǒng)分析員、社會(huì)決策者的作用是：評(píng)價(jià)和判斷各目標(biāo)的相對(duì)重要性；根據(jù)目標(biāo)的當(dāng)前水平值以及主觀(guān)的判斷和經(jīng)驗(yàn)，提供關(guān)于決策方案的偏好信息。分析者一般指能夠提供可行方案和各目標(biāo)之間的折中信息的人或只有一個(gè)目標(biāo)的決策問(wèn)題稱(chēng)為單目標(biāo)決策（或單目標(biāo)規(guī)劃）問(wèn)題，相應(yīng)的解題方法稱(chēng)為單目標(biāo)方法。具有2個(gè)或2個(gè)以上目標(biāo)的決策問(wèn)題稱(chēng)為多目標(biāo)決策問(wèn)題，相應(yīng)的求解方法稱(chēng)為多目標(biāo)方法。從方法的特點(diǎn)來(lái)看，單目標(biāo)方法強(qiáng)調(diào)分析者的作用，忽視決策者的作用。而多目標(biāo)方法則由決策者探尋和確定備選的可行方案范圍，評(píng)價(jià)目標(biāo)的相對(duì)價(jià)值。從求解過(guò)程來(lái)看，單目標(biāo)方法采用統(tǒng)一的單一度量單位，向決策者提供唯一的最優(yōu)方案。由于模型的不準(zhǔn)確性

6、和單一目標(biāo)的片面性，這種所謂最優(yōu)的方案并不一定是決策者滿(mǎn)意的。自然,用這種最優(yōu)方案作為決策者的最終決策具有強(qiáng)迫性質(zhì)，往往難以為決策者接受。另一方面，多目標(biāo)方法向決策者提供經(jīng)過(guò)仔細(xì)選擇的備選方案（多種方案）。這樣使得決策者有可能利用自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)這些方案進(jìn)行評(píng)價(jià)和判斷，從中找岀滿(mǎn)意方案或給出偏好信息以及尋找更多的備選方案。概括起來(lái)，多目標(biāo)決策方法處理實(shí)際決策問(wèn)題有三個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn)：（1）加強(qiáng)了決策者在決策過(guò)程中的作用；（2）可以得到范圍更為廣泛的備選決策方案；（3）決策問(wèn)題的模型和分析者對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)將更加現(xiàn)實(shí)。多目標(biāo)決策問(wèn)題的案例及特點(diǎn)我們介紹兩個(gè)日常生活中常見(jiàn)的決策問(wèn)題。第一個(gè)是顧客到商店購(gòu)

7、買(mǎi)衣服。對(duì)于顧客而言，購(gòu)買(mǎi)衣服就是一個(gè)浜策問(wèn)題，顧客耒人是決策者，各種各樣的衣服是行動(dòng)方案集。該決策問(wèn)題的解就是顧客最終買(mǎi)到一件合適的衣服（或選擇一個(gè)滿(mǎn)意的方案）。那么，一件衣服（即一個(gè)方案）合適否（滿(mǎn)意否）應(yīng)該根據(jù)幾個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)，比如衣服的質(zhì)量、價(jià)格、大小、式樣、顏色等。因此，顧客購(gòu)買(mǎi)衣服的問(wèn)題是多目標(biāo)決策問(wèn)題。又如，公務(wù)人員外出辦事總要乘某種交通工具。這也是一個(gè)決策問(wèn)題，決策者是公務(wù)員，備選方案是可利用的交通工具。公務(wù)員為了選擇合適的交通工具，需要考慮幾個(gè)指標(biāo)，比如：時(shí)間、價(jià)格、舒適性、方便程度等。顯然這也是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題。在生產(chǎn)系統(tǒng)、工程系統(tǒng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，多目標(biāo)決策問(wèn)題更是屢見(jiàn)不

8、鮮。比如在煉油廠(chǎng)的生產(chǎn)計(jì)劃中，基本的決策問(wèn)題是如何根據(jù)企業(yè)的外部環(huán)境與內(nèi)部條件，制定岀具體的作業(yè)計(jì)劃。該計(jì)劃應(yīng)能使企業(yè)的各種主要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)。這些指標(biāo)包括：利潤(rùn)、原油量、成本、能耗等。其他企業(yè)一般也有類(lèi)似的多目標(biāo)計(jì)劃決策問(wèn)題。多目標(biāo)決策問(wèn)題有兩個(gè)共同的特點(diǎn)，即各目標(biāo)的不可公度性和相互之間的矛盾性。所謂目標(biāo)的不可公度性指各目標(biāo)之間沒(méi)有統(tǒng)一的量綱，因此難以作相互比較。目標(biāo)之間的矛盾性是指，如果改進(jìn)某一目標(biāo)的值，可能會(huì)使另一個(gè)或一些目標(biāo)變差。正因?yàn)楦髂繕?biāo)的不可公度性和相互之間的矛盾性，多目標(biāo)決策問(wèn)題不能簡(jiǎn)單的作為單目標(biāo)問(wèn)題來(lái)處理。必須深入研究其脣征，特別是解的性質(zhì)。單自*示決策一般有最優(yōu)

9、解，且往往是唯一的，有時(shí)可能存在無(wú)限多個(gè)解。但是這里的“最優(yōu)”往往帶有片面性，不能全而準(zhǔn)確的反映決策者的偏好信息。多目標(biāo)決策問(wèn)題不存在所謂藥“最優(yōu)”解，只呑吞滿(mǎn)意解。滿(mǎn)意解指決策者對(duì)于有關(guān)的所有目標(biāo)值都認(rèn)為滿(mǎn)同、O對(duì)于單目標(biāo)決策問(wèn)題的解一般具有全序最優(yōu)性，而多目標(biāo)決策問(wèn)題的可行方案集中的各方案只有部分序而非全序，并且一般不存在滿(mǎn)足最優(yōu)性的可行解，而只有矛盾性，即，盡管某一個(gè)可行解能使個(gè)目標(biāo)中的某個(gè)目標(biāo)最優(yōu)，但不可能使其他的T個(gè)目標(biāo)同時(shí)最優(yōu)。各目標(biāo)之間的這種矛盾性是多目標(biāo)問(wèn)題的基本特性，不具有這種特性的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。可行解的非劣性正是多目標(biāo)問(wèn)題矛盾性所引起的。非劣性的意義可解釋為：

10、設(shè)某一可行工解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函敦值為g),若不存在其他可行解既能在FOO的基礎(chǔ)上改進(jìn)某一目標(biāo)的值，同時(shí)又不至于使任何別的目標(biāo)的值變差。在不同的研究方向，非劣性可能有不同的說(shuō)法，比如，數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家又稱(chēng)之為“有效性”或“最優(yōu)性”。下面舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明非劣性。例試分析下表所示四個(gè)方案的非劣性。方案目標(biāo)函數(shù)方案的性質(zhì)Fl(x)F2(x)XI1021非劣X(jué)21418非劣X(jué)31216劣X(jué)4820劣解:F,(%4)恥4)故;dx4o同理，x2x3.xlox2.xlox3,x2ox4因此四個(gè)方案的優(yōu)劣性見(jiàn)表。非劣性可以用下圖說(shuō)明。目+標(biāo)+值jn+(20+1目標(biāo)值；圖多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解在圖

11、1中，max%/).就方案和來(lái)說(shuō)，的乙目標(biāo)值比大，但其目標(biāo)值A(chǔ)比小，因此無(wú)法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣。在各個(gè)方案之間，顯然：比好，比好，比好，比好。第二部分多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型及其非劣解一、多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型任何多目標(biāo)決策問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部分組成：兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)；若干個(gè)約束條件。對(duì)于多目標(biāo)決策問(wèn)題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫(xiě)為如下形式:(Z=F(X)=max(min)(X)max(min)/2(X)s.L(X)=G=g2嚴(yán)x(min)(X(g加丿式中：X=x1,x2xjr為決策變量向量?？s寫(xiě)形式:max(miii)Z=F(X)s.t.(X)VG有個(gè)決策變量，個(gè)目標(biāo)函數(shù)，加個(gè)約束方程,則：

12、Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是加維函數(shù)向量；G是加維常數(shù)向量；多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最小），而不顧其它目標(biāo)。對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿(mǎn)意的解決？每一個(gè)決策變量取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿(mǎn)意的解決？目+標(biāo)+值+f.(D+1目標(biāo)值；圖多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解如上例的各個(gè)方案之間,比好，比好，比好，比好。+0(D+1目標(biāo)值6目標(biāo)值/!而對(duì)于方案、之間則無(wú)法確定優(yōu)劣,而且又沒(méi)有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱(chēng)為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解或有效解，其余方案都稱(chēng)為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱(chēng)為

13、非劣解集。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，就不會(huì)存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解。二、多目標(biāo)決策的非劣解的求解方法為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題去處理。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)規(guī)劃模型方法一效用最優(yōu)化模型（線(xiàn)性加權(quán)法）思想：規(guī)劃問(wèn)題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過(guò)效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：maxZ=0（X）si.O（X）G0是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。但困

14、難是要確定合理的權(quán)系數(shù)，以反映不同目標(biāo)之間的重要程度。在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值右來(lái)反映原問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即:max屮=2九Wi1=10心1，兀2,7)(心1，2,仙k式中，入應(yīng)滿(mǎn)足：工人=1i=l向量形式：maxs.t.(X)G方法二罰款模型(理想點(diǎn)法)思想：規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值(或稱(chēng)滿(mǎn)意值)；通過(guò)比較實(shí)際值與期望值尸之間的偏差來(lái)選擇問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：minZ=XAZ_Z*)21=1.i(19兀2,9咒)giQ=，加)或?qū)懗删仃囆问剑簃inZ=(F-F*)rA(F-F*)(X)G式中，人是與第，個(gè)目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；4是

15、由&(i=12Q組成的mXm對(duì)角矩陣。方法三約束模型（極大極小法）理論依據(jù)：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個(gè)目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個(gè)可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：max（min?=/；（x1,x2,xH）（旺,兀2，,兀）gi（i=1,2,，加）（黑5fj廣（J=2,3,k）方法四目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）需要預(yù)先確定各個(gè)目標(biāo)的期望值，同時(shí)給每一個(gè)目標(biāo)賦予一個(gè)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個(gè)目標(biāo)，厶個(gè)優(yōu)先級(jí)（LK）,目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：LKminZ=卩工+0：）/

16、=1k-0（旺,兀2,，E）/.+d；一況；=f；（i=1,2,K）式中：時(shí)和d廠(chǎng)分別表示與力相應(yīng)的、與冷相比的目標(biāo)超過(guò)值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；刃表示第/個(gè)優(yōu)先級(jí)；廠(chǎng)、表示在同一優(yōu)先級(jí)刃中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。三、目標(biāo)規(guī)劃方法1.基本思想:給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下,使總俞偏離目標(biāo)（k的扁羞最小。2.目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式假定有厶個(gè)目標(biāo)，K個(gè)優(yōu)先級(jí)(KL),個(gè)變量。在同一優(yōu)先級(jí)以中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為畋廣、術(shù)，則多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以表示為：KLminZ=丫以丫屈一+確盯)k=l1=1目標(biāo)函數(shù)町一町=g(Z=1,2,)目標(biāo)約束J

17、=1yaux)b(i=1,2,，/)絕對(duì)約束j=lX.O(J=1,2,，池)町,叭0(Z=1,2,.,D非負(fù)約束KLminZ=p&藝（0同+coid）k=l1=1目標(biāo)函數(shù)H&役+町一力詔（心1，2,丄）目標(biāo)約束;=1yX（=,）（i=1，2,，加）絕對(duì)約束7=1X.O（J=1,2,，池）非負(fù)約束0（Z=l，2,也）在以上各式中，g、歐分別為賦予刃優(yōu)先因子的第k個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，珈為第k個(gè)目標(biāo)的預(yù)期值，Xj為決策變量，d藝、說(shuō)分別為第個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量。目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量d+、d-。其中，正偏差

18、變量表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因?yàn)闆Q策值不可能既超過(guò)目標(biāo)值同時(shí)又未達(dá)到目標(biāo)值，故有d+Xd-=O成立。絕對(duì)約束和目標(biāo)約束絕對(duì)約束，必須嚴(yán)格滿(mǎn)足的等式約束和不等式約束，譬如，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的所有約束條件都是絕對(duì)約束，不能滿(mǎn)足這些約束條件的解稱(chēng)為非可行解，所以它們是硬約束。目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問(wèn)題的需要將絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。優(yōu)先因子(優(yōu)先等級(jí))與權(quán)系數(shù)

19、一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題，常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)各個(gè)目標(biāo)的考慮，往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子Px,次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子P，并規(guī)定刃刃+1(/=1,2,.)表示刃比pM有更大的優(yōu)先權(quán)。即：首先保證Pi級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級(jí)目標(biāo)；而0級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)卩1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類(lèi)推。若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子門(mén)的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)(f=l,2,.,Z:)o這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后,盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，

20、目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是:minZ=f（d+,d）基本形式有三種：a）要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小，即minZ=f（d+一）b）要求不超過(guò)目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即minZ=/（J+）c）要求超過(guò)目標(biāo)值，也就是超過(guò)量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即minZ=f（d）對(duì)每一個(gè)具體目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可根據(jù)決策者的要求和賦于各目標(biāo)的優(yōu)先因子來(lái)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。評(píng)注：目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的形式有：線(xiàn)性模型、非線(xiàn)性模型、整數(shù)模型、交互作用模型等；一個(gè)目標(biāo)中的兩個(gè)偏差變量冷、+至少一個(gè)等于零，偏差變量向量的叉積等于零：dXd+=O；一般目標(biāo)規(guī)劃是將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)寫(xiě)成一

21、個(gè)由偏差變量構(gòu)成的函數(shù)求最小值，按多個(gè)目標(biāo)的重要性，確定優(yōu)先等級(jí)，順序求最小值；按決策者的意愿，事先給定所要達(dá)到的目標(biāo)值。當(dāng)期望結(jié)果不超過(guò)目標(biāo)值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)求正偏差變量最小；當(dāng)期望結(jié)果不低于目標(biāo)值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)求負(fù)偏差變量最??；當(dāng)期望結(jié)果恰好等于目標(biāo)值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)求正負(fù)偏差變量之和最由目標(biāo)構(gòu)成的約束稱(chēng)為目標(biāo)約束，目標(biāo)約束具有更大的彈性，允許結(jié)果與所制定的目標(biāo)值存在正或負(fù)的偏差；如果決策者要求結(jié)果一定不能有正或負(fù)的偏差，這種約束稱(chēng)為系統(tǒng)約束；目標(biāo)的排序問(wèn)題。多個(gè)目標(biāo)之間有相互沖突時(shí)，決策者首先必須對(duì)目標(biāo)排序。排序的方法有兩兩比較法、專(zhuān)家評(píng)分等方法，構(gòu)造各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)，依據(jù)權(quán)系數(shù)的大小確定目標(biāo)順序；

22、合理的確定目標(biāo)數(shù)。目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中包含了多個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)于具有相同重要性的目標(biāo)可以合并為一個(gè)目標(biāo)，如果同一目標(biāo)中還想分出先后次序，可以賦予不同的權(quán)系數(shù)，按系數(shù)大小再排序。多目標(biāo)決策問(wèn)題.多目標(biāo)決策研究的范圍比較廣泛，在決策中，可能同時(shí)要求多個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)例如，企業(yè)在對(duì)多個(gè)項(xiàng)目投資時(shí)期望收益率盡可能最大，投資風(fēng)險(xiǎn)盡可能最小，屬于多目標(biāo)決策問(wèn)題，本章的目標(biāo)規(guī)劃盡管包含有多個(gè)目標(biāo)，但還是按單個(gè)目標(biāo)求偏差變量的最小值，目標(biāo)函數(shù)中不含有決策變量，目標(biāo)規(guī)劃只是多目標(biāo)決策的一種特殊情形.本章不討論多目標(biāo)規(guī)劃的求解方法，只給出利用lingo軟件求解線(xiàn)性多目標(biāo)規(guī)劃的簡(jiǎn)單程序。引例1生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題甲乙資源限額

23、材料2324工時(shí)3226單位利潤(rùn)43現(xiàn)在工廠(chǎng)領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場(chǎng)等一系列其他因素，提出如下目標(biāo)：根據(jù)市場(chǎng)信息，甲產(chǎn)品的銷(xiāo)量有下降的趨勢(shì)，而乙產(chǎn)品的銷(xiāo)量有上升的趨勢(shì)，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的嚴(yán)量。盡可能充分利用工時(shí)，不希望加班。應(yīng)盡可能達(dá)到并超過(guò)計(jì)劃利潤(rùn)30元?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：在原材料不能超計(jì)劃使用的前提下，如何安排生產(chǎn)才能使上述目標(biāo)依次實(shí)現(xiàn)？解：（1）決策變量：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為召和X2偏差變量：對(duì)于每一目標(biāo)，我們引進(jìn)正、負(fù)偏差變量。如對(duì)于目標(biāo)1,設(shè)表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù),表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。稱(chēng)它們分別為產(chǎn)量比較的負(fù)偏差變量和正偏差變量。則對(duì)于目標(biāo)1,可將

24、它表示為等式約束的形式-X1+X2+df-=0（目標(biāo)約束）同樣設(shè)d?-和d2+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于可利用工時(shí)和高于可利用工時(shí)，即加班工時(shí)的偏差變量，則對(duì)目標(biāo)2,有3x1+2x2+d2-d2+=26對(duì)于目標(biāo)3,設(shè)ds-和ds+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于計(jì)劃利潤(rùn)30元和高于計(jì)劃利潤(rùn)30元的偏差變量，有：4x1+3x2+d3_-d3+=30約束條件：有資源約束和目標(biāo)約束資源約束：2xi+3x224目標(biāo)約束：為上述各目標(biāo)中得出的約束目標(biāo)函數(shù)：三個(gè)目標(biāo)依次為：minZdf,minZ2=d2+d2-,minZ3=d3-因而該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表述如下：minZdf，minZ2=d2+d2_,minZ3=d

25、3c2x1+3x224s.t-x1+x2+d廠(chǎng)d+=0|3x1+2x2+d2_-d2+=264x1+3x2+d3_-d3+=30例某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到4,B,C三種設(shè)備,關(guān)于產(chǎn)品的贏(yíng)利與使用設(shè)備的工時(shí)及限制如下表所示。問(wèn)該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能達(dá)到下列目標(biāo)：甲乙設(shè)備的生產(chǎn)能力（h）A（h/件）2212（h/件）4016C（h/件）0515贏(yíng)利（元/件）200300甲乙設(shè)備的生產(chǎn)能力（h）A（h/件）2212B（h/件）4016C（h/件）0515贏(yíng)利（元/件）200300（1）力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1500元；（2）考慮到市場(chǎng)需求，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應(yīng)盡量保持1:2；（3）設(shè)

26、備A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；（4）設(shè)備C可以適當(dāng)加班，但要控制；設(shè)備B既要求充分利用，又盡可能不加班。在重要性上，設(shè)備B是設(shè)備C0勺3咅。建立相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型并求解。解：設(shè)備4是剛性約束，其余是柔性約束。首先，最重要的指標(biāo)是企業(yè)的利潤(rùn)，因此，將它的優(yōu)先級(jí)列為第一級(jí)；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比例，列為第二級(jí)；再次，設(shè)備的工作時(shí)間要有所控制，列為第三級(jí)。在第三級(jí)中，設(shè)備劇重要性是設(shè)備C的三倍，因此，它們的權(quán)重不一樣，設(shè)備B前的系數(shù)是設(shè)備C前系數(shù)的3倍。由此得到相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型。設(shè)甲乙的產(chǎn)量分別為兀兀2。rninz=片）+7（3；+3d+）st2xl+2x2Oj=123,4.

27、求第一級(jí)目標(biāo)。LINGO程序如下：model:sets:variable/1.2/:x;S_Con_Num/l.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g二150001615;c二2003002-14005;enddatamin二dminus(l);2*x(l)+2*x(2)vl2;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(ij)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i)；end求得dminus(l)=0,即目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為0,第一級(jí)偏差為0。求第二級(jí)目標(biāo)，LINGO程序如

28、下：model:sets:variable/1.2/:x;S_Con_Num/l.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g二150001615;c二2003002-14005;enddatamin=dplus(2)+dminus(2);!二級(jí)目標(biāo)函數(shù);2*x(l)+2*x(2)vl2;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i)；dminus二0;!級(jí)目標(biāo)約束；for(variable:gin(x);end求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值

29、為0,即第二級(jí)的偏差仍為0。求第三級(jí)目標(biāo)，LINGO程序如下：model:sets:variable/1.2/:x;S_Con_Num/l.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4);!三級(jí)目標(biāo)函數(shù);2*x(l)+2*x(2)vl2;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(iJ)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i)；_dminus(

30、l)=0;!級(jí)目標(biāo)約束；dplus(2)+dminus(2)=0;!級(jí)目標(biāo)約束；end目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為29,即第三級(jí)偏差為29。分析計(jì)算結(jié)果,Xl=2.x2=4占=100o因此，目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解為/=(2,4)。最優(yōu)利潤(rùn)為1600o多目標(biāo)規(guī)劃的LINGO通用程序model:sets:level/1.3/:p,z,goal;variable/L.2/:x;h_con_num/l.l/:b;s_con_num/l4/:g.dplus,dminus;h_con(h_conmm5variable):a;s_con(s_con_num.variable):c;obj(level,s_conium)/l

31、1,22,33,34/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=?;goal=?0;b=12;g=150001615;a=22;c=200300214005;vvplus=OI31;vvminus=l130:enddatamin=sum(level:p*z);p(ctr)=l;for(level(i)li#ne#ctr:p(i)=0);for(level(i):z(i)=sum(obj(ij):wplus(ij)*dplus(j)+wminus(ij)*dminus(j)；for(h_con_num(i):sum(variable(j):a(ij)*x(j)b(i);for(

32、s_con_num(i):sum(variable(j):c(ij)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i)；for(level(i)li#11#size(level):bnd(0,z(i),goal(i);end當(dāng)程序運(yùn)行時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)對(duì)話(huà)框。在做第一級(jí)目標(biāo)計(jì)算時(shí)，ctr輸入1,goal和goal(2)輸入兩個(gè)較大的值，表明這兩項(xiàng)約束不起作用。求得第一級(jí)的最優(yōu)偏差為0,進(jìn)行第二輪計(jì)算。在第二級(jí)目標(biāo)的運(yùn)算中，ctr輸入2。由于第一級(jí)的偏差為0,因此goal(1)的輸入值為0,goal(2)輸入一個(gè)較大的值。求得第二級(jí)的最優(yōu)偏差仍為0,進(jìn)行第三級(jí)計(jì)算。在第三級(jí)的計(jì)算中，ctr輸

33、入3。由于第一級(jí)、第二級(jí)的偏差均是0,因此，goal(l)和goal(2)的輸入值也均是0。最終結(jié)果是：兀=2,兀2=4,最優(yōu)利潤(rùn)是1600兀，第三級(jí)的最優(yōu)偏差為29。第三部分例1考慮資源消耗如表1所示。Xp兀2、兀3分別為甲、乙、丙的產(chǎn)量。表1產(chǎn)品資源甲乙丙現(xiàn)有資源設(shè)備A312200設(shè)備B224200材料C451360材料D235300利潤(rùn)（元/件）403050使企業(yè)在計(jì)劃期內(nèi)總利潤(rùn)最大的線(xiàn)性規(guī)劃模型為:maxZ=40 xj+3Qx2+5Qx33兀+x2+2x32002xl+2x2+4x3200v4兀i+5兀253602兀+3兀2+5兀30,x20,x30最優(yōu)解X=(50,30,10),Z=

34、3400現(xiàn)在決策者根據(jù)企業(yè)的實(shí)際情況和市場(chǎng)需求，需要重新制定經(jīng)營(yíng)目標(biāo)，其目標(biāo)的優(yōu)先順序是：利潤(rùn)不少于3200元；產(chǎn)品甲與產(chǎn)品乙的產(chǎn)量比例盡量不超過(guò)15；(4)(3)提高產(chǎn)品丙的產(chǎn)量使之達(dá)到30件;設(shè)備加工能力不足可以加班解決，能不加班最好不加班;(5)受到資金的限制，只能使用現(xiàn)有材料不能再購(gòu)進(jìn)。解：設(shè)甲、乙、丙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為可、勺、兀3。如果按線(xiàn)性規(guī)劃建模思路，最優(yōu)解實(shí)質(zhì)是求下列一組不等式的解4Ck+30 x9+503200兀1.5兀250n303坷+廠(chǎng)+2*32002xl+2x2+4兀32004兀+5x?+兀33602xl+3x2+5兀3o,no通過(guò)計(jì)算不等式無(wú)解，即使設(shè)備加班10小時(shí)仍然

35、無(wú)解.在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中生產(chǎn)方案總是存在的，無(wú)解只能說(shuō)明在現(xiàn)有資源條件下，不可能完全滿(mǎn)足所有經(jīng)營(yíng)目標(biāo).這種情形是按事先制定的目標(biāo)順序逐項(xiàng)檢查，盡可能使得結(jié)果達(dá)到預(yù)定目標(biāo)，即使不能達(dá)到目標(biāo)也使得離目標(biāo)的差距最小，這就是目標(biāo)規(guī)劃的求解思路，對(duì)應(yīng)的解稱(chēng)為滿(mǎn)意解.下面建立例1的目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型.設(shè)為未達(dá)到目標(biāo)值的差值，稱(chēng)為負(fù)偏差變量，為超過(guò)目標(biāo)值的差值，稱(chēng)為正偏差變量，一Nhd+Q.設(shè)1一未達(dá)到利潤(rùn)目標(biāo)的差值，姑為超過(guò)目標(biāo)的差值當(dāng)利潤(rùn)小于3200時(shí)0廠(chǎng)0且廣=0,有40 x1+30 x2+50 x3+d1_=3200成立當(dāng)利潤(rùn)大于3200時(shí)，1+0且廠(chǎng)=0,有40 xx+30 x2+50 x3-(1=3

36、200成立當(dāng)利潤(rùn)恰好等于3200時(shí)，dx=0且i+=0,有40兀1+30兀2+50兀3=3200成立實(shí)際利潤(rùn)只有上述三種情形之一發(fā)生，因而可以將三個(gè)等式寫(xiě)成一個(gè)等式40 x1+30 x2+50 x3+d1d=3200利潤(rùn)不少于3200理解為達(dá)到或超過(guò)3200,即使不能達(dá)到也要盡可能接近3200,可以表達(dá)成目標(biāo)函數(shù)-取最小值，則有mindV40 xj+30兀2+50兀3+-=3200設(shè)d.d；分別為未達(dá)到和超過(guò)產(chǎn)品比例要求的偏差變量，則產(chǎn)量比例盡量不超過(guò)15的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：|mind；1.5兀2+d2d20設(shè)3一、厶+分別為產(chǎn)品丙的產(chǎn)量未達(dá)到和超過(guò)30件的偏則產(chǎn)量丙的產(chǎn)量盡可能達(dá)到30件的數(shù)學(xué)表

37、達(dá)式為:mind,+d；30設(shè)d八如為設(shè)備A的使用時(shí)間偏差變量，右、茁為設(shè)備B的使用時(shí)間偏差變量，最好不加班的含義是d-和卻同時(shí)取最小值，等價(jià)于df+d5+取最小值，則設(shè)備的目標(biāo)函數(shù)和約束為：min（d；+d；）0,x20,x30且為整數(shù)d；、：nOJ=l,2,5丿丿1XI282X2203X3304dl-05dl+206d227d2+08d3-09d3+010d4-3611d4+012d5-013d5+16滿(mǎn)意解:約束實(shí)際偏差目標(biāo)1Cl3220d；=2032002C2-2迓=203C330304C4164d；=362005C5216d；=162006C6242-118=3607C7266-34

38、=300約束分析:例2車(chē)間計(jì)劃生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均需經(jīng)過(guò)A、B、C三道工序加工.工藝資料如表2所示.表2產(chǎn)品工序產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙每天加工能力（小時(shí)）A22120B12100C2.20.890產(chǎn)品售價(jià)（元/件）5070產(chǎn)品利潤(rùn)（元/件）10（1）車(chē)間如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使產(chǎn)值和利潤(rùn)都盡可能高;（2）如果認(rèn)為利潤(rùn)比產(chǎn)值重要，怎樣決策。解：設(shè)可、兀2分別為產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的日產(chǎn)量，得到線(xiàn)性多目標(biāo)規(guī)劃模型：maxZj=5(k+70 x2maxZ2=10兀+8x22xl+2x2120%!+2x01002.2xl+0.8x20(1)將模型化為目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題.首先，通過(guò)分別求產(chǎn)值最大和利潤(rùn)最大的線(xiàn)性規(guī)劃最

39、優(yōu)解.產(chǎn)值最大的最優(yōu)解：X(1)=(20,40),=3800利潤(rùn)最大的最優(yōu)解：X3=(30,30),Z2=540目標(biāo)確定為產(chǎn)值和利潤(rùn)盡可能達(dá)到3800和540,得到目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：minZ=d+d50%|+70 xo+d-=380010X|+8xo+dcd；=540+2x2120E+2x21002.2x+0.8兀20,j=1,2(2)給右賦予個(gè)比久啲系數(shù)大的權(quán)系數(shù)，如mnZ=d；+3d,約束條件不變權(quán)系數(shù)的大小依據(jù)重要程度給定，或者根據(jù)同一優(yōu)先級(jí)的偏差變量的關(guān)系給定，例如，當(dāng)利潤(rùn)右減少一個(gè)單位時(shí)，產(chǎn)值久減少3個(gè)單位，則賦予-權(quán)系數(shù)3,則目標(biāo)函數(shù)為minZ=d；+3；，等價(jià)于minZ=pxd-

40、p2d例3某單位領(lǐng)導(dǎo)在考慮本單位職工的升級(jí)調(diào)資方案時(shí)，依次遵守以下規(guī)定：不超過(guò)年工資總額60000；每級(jí)的人數(shù)不超過(guò)定編規(guī)定的人數(shù)；II,DI級(jí)的升級(jí)面盡可能達(dá)到現(xiàn)有人數(shù)的20%,且無(wú)越級(jí)提升；(4)HI級(jí)不足編制的人數(shù)可錄用新職工，又I級(jí)的職工有10%有關(guān)資料匯總下表3,問(wèn)如何擬定滿(mǎn)意的方案?表3等級(jí)工資額（元/年）現(xiàn)有人數(shù)編制人數(shù)I20001012II15001215III10001515合計(jì)3742解：1）設(shè)定決策變量。假設(shè)九無(wú)2,勺分別表示提升到I、H級(jí)和錄用到in級(jí)的新職工人數(shù)。2）確定所需考慮的各個(gè)目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)及權(quán)系數(shù)。對(duì)各目標(biāo)的優(yōu)先因子確定為：P1：不超過(guò)年工資總額60000元；P2:每級(jí)的人數(shù)不超過(guò)定編規(guī)定的人數(shù)；P3：II、HI級(jí)升級(jí)面盡可能達(dá)到現(xiàn)有人數(shù)的20%；3）將各個(gè)目標(biāo)寫(xiě)入目標(biāo)規(guī)劃的約束條件。年工資總額不超H60000元;2000(1010 x0l+xJ+1500(12西+x?)+1000(15勺+)+=60000每級(jí)的人數(shù)不超過(guò)定編規(guī)