人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程

1、人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程本章結(jié)構(gòu)人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理死亡即刻賠付保險躉繳純保費(fèi)的厘定(連續(xù)模型)死亡年末賠付保險躉繳純保費(fèi)的厘定（離散模型)遞歸方程人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程第二章中英文單詞對照一躉繳純保費(fèi)精算現(xiàn)時值死亡即刻賠付保險（連續(xù)模型）死亡年末給付保險（離散模型）定額受益保險Net single premiumActuarial present valueInsurances payable at the moment of death Insurances payable at the end of the year o

2、f deathLevel benefit insurance人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程第二章中英文單詞對照二定期人壽保險終身人壽保險兩全保險生存保險延期保險變額受益保險Term life insuranceWhole life insuranceEndowment insurancePure endowment insuranceDeferred insuranceVarying benefit insurance人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程2.0 保費(fèi)厘定的原理 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定的原理 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程人壽保險簡介什么是人壽保險狹義的人壽保險是以被

3、保險人在保障期是否死亡作為保險標(biāo)的的一種保險。(定期壽險和終身壽險) 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標(biāo)的的一種保險。它包括以保障期內(nèi)被保險人死亡為標(biāo)的的狹義壽險，也包括以保障期內(nèi)被保險人生存為標(biāo)的的生存保險和兩全保險。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程人壽保險的分類受益金額是否恒定定額受益保險 變額受益保險保單簽約日和保障期期始日是否同時進(jìn)行非延期保險延期保險 保障標(biāo)的的不同人壽保險（狹義）生存保險兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程人壽保險的性質(zhì)保障的長期性這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險賠付金額和賠付時

4、間的不確定性人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機(jī)變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機(jī)變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。被保障人群的大數(shù)性這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預(yù)測將來的風(fēng)險。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定假定條件:假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。假定三：保險公司可以預(yù)測將來的投資受益（即預(yù)定利率）。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程純保費(fèi)厘定原理原則保費(fèi)凈均衡原則解釋所謂凈均衡原則，即保

5、費(fèi)收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值 按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于保險賠付金的期望現(xiàn)時值 。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程2.1 連續(xù)型人壽模型死亡即刻賠付（未來壽命T連續(xù)）躉繳純保費(fèi)的厘定人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程死亡即刻賠付人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之

6、后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程基本符號 投保年齡 的人。 人的極限年齡 保險金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的定義在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現(xiàn)時值 躉繳純保費(fèi)的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程主要險種的躉繳純保費(fèi)的厘定n年期定期壽險終身壽險n年期兩全保險n年期生存保險延期h年的 n年期定期壽險延期h年的終身壽險延期h年的n年期的兩全保險遞增

7、終身壽險遞減n年定期壽險人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程1、n年定期壽險定義保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險基本函數(shù)關(guān)系人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費(fèi)）所以方差等價為 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例設(shè)計算人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例答案人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程2、終身壽險定義保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責(zé)任

8、范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保額1元終身壽險基本函數(shù)關(guān)系人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 方差公式記所以方差等價為 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例設(shè)(x)投保終身壽險，保險金額為1元保險金在死亡即刻賠付。簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為計算人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例答案人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例答案人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程3、n 年定期生存保險定義被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。假定： 歲的人，保額1元，n年

9、定期生存保險基本函數(shù)關(guān)系人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定符號：躉繳純保費(fèi)厘定現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程相關(guān)公式及意義 年齡xx+tx+n現(xiàn)時值11S1人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程4、n年定期兩全保險定義被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險基本函數(shù)關(guān)系人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期生

10、存險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知則人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程現(xiàn)值隨機(jī)變量方差因?yàn)樗匀藟郾ｋU躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例設(shè)計算人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例答案人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程5、延期m年定期壽險定義保險人對被保險人在投保m年后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期壽險基本函數(shù)關(guān)系人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程6、延期終身壽險定義保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險基本函數(shù)關(guān)系人壽保險躉

11、繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程延期終身壽險壽險躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 方差公式記所以方差等價于人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險，保額1元。保險金在死亡即刻賠付。已知求：人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例答案人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程7、延期m年n年定期兩全保險定義被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險基本函數(shù)關(guān)系人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定人壽保險躉繳純保費(fèi)厘

12、定原理和遞歸方程現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差記： m年延期n年定期壽險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期生存險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期兩全險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知則人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險8、遞增終身壽險定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù)特別：一年遞增一次一年遞增m次一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險一年遞增一次(第k個保單年度內(nèi)死亡立即給付k元)現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險一年遞增m次在每個保單年度的第i/m年內(nèi)死亡即刻給付1/m元。（i=0

13、,1, m)現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）被保人在 t時刻死亡給付t元?，F(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險9、遞減定期壽險定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)特別：一年遞增一次一年遞增m次一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程一年遞減一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程2.2 離散型的人壽保險模型死亡年末賠付（未來壽命K離散）躉繳純保費(fèi)的厘定人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程死亡年末賠付

14、的含義 死亡年末賠付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險賠付。由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末賠付時刻是一個離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費(fèi)時通常先假定的理賠方式。 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程基本符號 歲投保的人整值剩余壽命 保險金在死亡年末給付函數(shù) 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險賠付金在簽單時的現(xiàn)時值。 躉繳純保費(fèi)。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程1. 定期壽險

15、死亡年末賠付場合假定：(X) 簽約保額為1個單位的n 年定期保險?；竞瘮?shù)關(guān)系記K為被保險人整值剩余壽命，則人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程常用計算基數(shù)計算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡化計算常用基數(shù)：人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程2. 終身壽險死亡年末賠付場合假定：(X) 簽約保額為1個單位的終身壽險。 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程3. 生存保險的賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的生存保險。 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程定義現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存

16、活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。n年期純生存保險的躉繳純保費(fèi)為在生存年金研究中習(xí)慣用 表示該保險的精算現(xiàn)值人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程4. 兩全保險的賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的兩全保險。 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程5. m年延期n年定期壽險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的m年延期n年定期壽險。 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程6. m年延期終身壽險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的m年延期終身壽險。 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程7. m年延期兩全壽險的賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的m年延期兩全壽險。 人壽保險

17、躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險8. 遞增的n年定期保險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的遞增的n年定期保險。被保人在第k+1個保單年度內(nèi)死亡，則給付k+1元的保險金。（k=0,1, ,n） 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險9. 遞增的終身保險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的遞增的終身壽險。被保人在第k+1個保單年度內(nèi)死亡，則給付k+1元的保險金。（k=0,1, ） 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程變額收益保險10. 遞減的n年定期保險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的遞減的n年定期保險。被保人在第k+1個保單年度內(nèi)死亡，

18、則給付n-k元的保險金。（k=0,1, ,n） 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險延期m年的n年定期壽險延期m年的終身壽險n年期兩全保險延期m年的n年期兩全保險遞增終身壽險遞減n年定期壽險kxxkkkxqpvA+=+=w01人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例設(shè)年齡為35歲的人投保離散型的保險金額為5000元的25年定期保險。求該保單的躉繳純保費(fèi)。（年利率i=6）人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例設(shè)年齡為25歲的人購買離散型的保額為5000元的30年兩全保險，試求該保單的躉繳純保費(fèi)（年利率i=6）。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例設(shè)年齡為30

19、歲的人購買離散型的遞增的30年定期保險，保險利益是：被保人在第一個保單年度內(nèi)死亡，則給付1000元；在第二個保單年度內(nèi)死亡，則給付1100元；在第三個保單年度內(nèi)死亡，則給付1200元，依次下去，直到第30個保單年度內(nèi)死亡，則給付3900元。試求該保單的躉繳純保費(fèi)（預(yù)定年利率i=6）人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例設(shè)年齡為30歲的人投保離散型的遞減的20年定期保險，保險利益是：被保人在第一個保單年度內(nèi)死亡，則給付5000元；在第二個保單年度內(nèi)死亡，則給付4900元；在第三個保單年度內(nèi)死亡，則給付4800元，依次下去，直到第20個保單年度內(nèi)死亡，則給付3100元。試求該保單的躉繳純保費(fèi)（預(yù)定

20、年利率i=6）人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例（x）歲的人投保5年期的定期壽險，保險金額為1萬元，保險金死亡年末給付，按附錄示例生命表計算：（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費(fèi)。（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費(fèi)。（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費(fèi)。（4）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費(fèi)。人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例答案人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程2.3 在死亡均勻分布下的壽險模型 1. 以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：則有 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程在死亡均勻分布下的

21、其它壽險模型2. n年定期壽險3. 兩全保險4. m年延期壽險5. 變額險種人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費(fèi)是死亡年末賠付凈躉繳純保費(fèi)的 倍。條件1：條件2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理和遞歸方程例（x）歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄示例生命表計算：（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費(fèi)。（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費(fèi)。（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費(fèi)。（4）60