定積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

1、定積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用1.成本函數(shù)總成本 = 固定成本 + 可變成本平均成本(單位成本)=2.收益函數(shù) 收益=價格銷量，即R(Q) = PQ . 3.利潤函數(shù) 利潤=總收益-總成本，即L(Q) = R(Q)-C(Q) . 復(fù)習4.邊際 f(x) 在 x=x0處的邊際值為f(x0). 邊際的經(jīng)濟意義:當 時, x 改變一個單位, y 改變個單位 .5.常用的邊際函數(shù) 邊際成本；邊際收益；邊際利潤 定積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)二、資金流的現(xiàn)值和未來值 第六章 一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù) 問題：已知某邊際經(jīng)濟函數(shù)，求該總經(jīng)濟量. 設(shè)某個經(jīng)濟函數(shù) u(x)的邊際函數(shù)為 , 則有 于是

2、2. 已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為 ，x為銷售量，R(0)=0, 則總收益函數(shù)為1. 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 ，x為產(chǎn)量，固定成本為C(0), 則總成本函數(shù)為3. 設(shè)利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x),其中x為產(chǎn)量， R(x)是收益函數(shù),C(x)是成本函數(shù)，若 L(x),R(x),C(x)均可導(dǎo)，則邊際利潤為： L ?(x)=R?(x)-C?(x).因此總利潤為： 例1 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為 固定成本 C(0) = 1000, 求生產(chǎn) x 個產(chǎn)品的總成本函數(shù) . 解 例2 已知邊際收益為 , 設(shè)R(0) = 0, 求 收益函數(shù)R(x) . 解 例3：設(shè)某商品的邊際收益為 (1) 求銷

3、售50個商品時的總收益和平均收益； (2) 如果已經(jīng)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；解: (1) 總收益函數(shù):平均收益: 例3：設(shè)某商品的邊際收益為 (1) 求銷售50個商品時的總收益和平均收益； (2) 如果已經(jīng)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；解: (2) 總收益為:平均收益: 例4：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x臺的邊際成本為 (萬元/臺)，邊際收入為 (萬元/臺). (1) 若不變成本為C(0)=10 (萬元/臺),求總成本函數(shù)，總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)；(2)當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總成本與總收入的增量;解: (1)總成本為 由于當產(chǎn)量為零

4、時總收入為零,即R(0)=0,于是 總收入為總利潤函數(shù)為（萬元）(2)當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總成本的增量為;當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總收入的增量為;（萬元） 二、由變化率求總量 例5 某工廠生產(chǎn)某商品, 在時刻 t 的總產(chǎn)量變化率為 (單位/小時). 求由 t = 2 到 t = 4 這兩小時 的總產(chǎn)量 . 解 總產(chǎn)量 例6 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 , 當 產(chǎn)量由200增加到300時, 需追加成本為多少? 解 追加成本 設(shè)有本金A0,年利率為r,則一年后得利息A0r,本利和為A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和為An=A0+nA0r=A0(1+nr)這就是單利的

5、本利和計算公式1. 單利假設(shè)在期初投資一個單位的本金，在每一時期內(nèi)都得到完全相同的利息金額，這種計息方式為單利.三、收益流的現(xiàn)值與未來值 第二年以第一年后的本利和A1為本金,則兩年后的本利和為A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此計算,n年后應(yīng)得本利和為AnA0(1r)n這就是一般復(fù)利的本利和計算公式. 2. 復(fù)利這種計息方式的基本思想是：利息收入自動被計入下一期的本金. 就像常說的“利滾利”.三、收益流的現(xiàn)值與未來值 資金周轉(zhuǎn)過程是不斷持續(xù)進行的, 若一年中分n期計算,年利率仍為r,于是每期利率為r/n ,則一年后的本利和為A1A(1 r/n )n，t年后本利和為AtA(1 r/n

6、)nt ，若采取瞬時結(jié)算法,即隨時生息,隨時計算,也就是n時,得t年后本利和為 這就是連續(xù)復(fù)利公式 因此，在年利率為r的情形下,若采用連續(xù)復(fù)利，有： （1）已知現(xiàn)值為A0, 則t年后的未來值為AtAert， （2）已知未來值為At , 則貼現(xiàn)值為A At e-rt期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計息方式，即每時3. 連續(xù)復(fù)利每刻計算復(fù)利的方式稱為連續(xù)復(fù)利.貼現(xiàn)值：時刻t的一個貨幣單位在時刻0時的價值.4、收益流的現(xiàn)值和將來值 我們知道, 若以連續(xù)復(fù)利率 r 計息, 一筆 P 元人民幣 從現(xiàn)在起存入銀行, t 年后的價值(將來值) 若 t 年后得到 B 元人民幣, 則現(xiàn)在需要存入銀行的金 額(現(xiàn)值)

7、 下面先介紹收益流和收益流量的概念 . 若某公司的收益是連續(xù)地獲得的 , 則其收益可被看作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流 . 而收益流對時間的變化率稱為收益流量 . 收益流量實際上是一種速率 , 一般用 R (t) 表示 ; 若時間 t 以年為單位 , 收益以元為單位 , 則收益流量的 單位為: 元/年. (時間 t 一般從現(xiàn)在開始計算) . 若 R(t) = b 為常數(shù) , 則稱該收益流具有均勻收益流量. 將來值：現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時點上的價值現(xiàn)值：將來某一時點的一定資金折合成現(xiàn)在的價值， 俗稱“本金” 例如：假設(shè)銀行利率為5%,你現(xiàn)在存入銀行10000塊,一年以后可得本息10500元

8、. 10500為10000的將來值,而10000為10500的現(xiàn)值 . 和單筆款項一樣 , 收益流的將來值定義為將其存入 銀行并加上利息之后的本利和 ; 而收益流的現(xiàn)值是這 樣一筆款項, 若把它存入可獲息的銀行, 將來從收益流 中獲得的總收益, 與包括利息在內(nèi)的本利和, 有相同的 價值. 在討論連續(xù)收益流時, 為簡單起見, 假設(shè)以連續(xù)復(fù)利 率 r 計息 . 若有一筆收益流的收益流量為 R(t) (元/年) , 下面計 算其現(xiàn)值及將來值 . 考慮從現(xiàn)在開始(t = 0)到 T 年后這一時間段 . 利用元 素法, 在區(qū)間 0 , T 內(nèi), 任取一小區(qū)間 t , t + dt , 在該小 區(qū)間內(nèi)將

9、R (t) 近似看作常數(shù) , 則應(yīng)獲得的金額近似等 于 R (t) dt (元) . 從現(xiàn)在( t = 0 )算起, R (t) dt 這一金額是在 t 年后的將 來而獲得, 因此在 t , t + dt 內(nèi), 從而，總現(xiàn)值為收益的現(xiàn)值 在計算將來值時, 收入 R(t) dt 在以后的( T t )年內(nèi)獲 息, 故在 t , t + dt 內(nèi) 例8 假設(shè)以年連續(xù)復(fù)利率 r = 0.1 計息 (1) 求收益流量為100元/年的收益流在20年期間的現(xiàn) 值和將來值; (2) 將來值和現(xiàn)值的關(guān)系如何? 解釋這一關(guān)系 . 解 (1) 從而，將來值為收益流的將來值 (2) 顯然 若在 t = 0 時刻以現(xiàn)

10、值 作為一筆款項存 入銀行, 以年連續(xù)復(fù)利率 r = 0.1計息, 則20年中這筆單 獨款項的將來值為 而這正好是上述收益流在20年期間的將來值 . 例9? 某公司投資100萬元建成1條生產(chǎn)線，并于1年后取得經(jīng)濟效益，年收入為30萬元，設(shè)銀行年利率為10%，問公司多少年后收回投資解 設(shè)T年后可收回投資，投資回收期應(yīng)是總收入的現(xiàn)值等于總投資的現(xiàn)值的時間長度，因此有 即解得T=4.055，即在投資后的4.055年內(nèi)可收回投資 一般來說, 以年連續(xù)復(fù)利率 r 計息, 則在從現(xiàn)在起到 T 年后該收益流的將來值等于將該收益流的現(xiàn)值作為 單筆款項存入銀行 T 年后的將來值. 例1 設(shè)有一項計劃現(xiàn)在( t = 0 )需要投入 1000 萬元, 在 10 年中每年收益為 200 萬元. 若連續(xù)利率為 5%, 求 收益資本價值W. (設(shè)購置的設(shè)備10年后完全失去價值) 解資本價值 = 收益流的現(xiàn)值 投入資金的現(xiàn)值 例2 某企業(yè)一項為期10年的投資需購置成本80萬元, 每年的收益流量為10萬元, 求內(nèi)部利率? (注: 內(nèi)部利率 是使收益價值等于成本的利率) . 解由收益流的現(xiàn)值等于成本, 得 可用近似計算得 設(shè)有一筆數(shù)量為A0元的資金存入銀行，若年利率為r，按復(fù)利方式每年計息一次，則該筆資金t年后的本利和為1.