混沌與分形模型初步匯總課件

1、第二部分 基于過程的動(dòng)力學(xué)模型與應(yīng)用 第五章 混沌與分形模型初步5.1動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與混沌5.1.1 混沌(chaos)的發(fā)現(xiàn)洛侖茲關(guān)于大氣對(duì)流的模型圖5.2 洛侖茲方程在相平面的投影軌跡洛侖茲 Lorenz 方程 式中x、y和z分別與對(duì)流強(qiáng)弱、對(duì)流引起的水平溫差和垂直溫差有關(guān)的變量，、r和b分別與流體力學(xué)中的普蘭多數(shù)（Prandtl） 、瑞利數(shù)和區(qū)域大小有關(guān)的參量。變量上面的“”表示該變量對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。 蝴蝶效應(yīng) 1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)翅膀，有可能會(huì)在美國(guó)的德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。他的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從此以

2、后，所謂“蝴蝶效應(yīng)”之說就不脛而走，名聲遠(yuǎn)揚(yáng)了。 “蝴蝶效應(yīng)”之所以令人著迷、令人激動(dòng)、發(fā)人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩，更在于其深刻的科學(xué)內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學(xué)魅力。 從科學(xué)的角度來看，“蝴蝶效應(yīng)”反映了混沌運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特征：系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為對(duì)初始條件的敏感依賴性。 一則西方寓言：丟失一個(gè)釘子，壞了一只蹄鐵； 壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬； 馬蹄鐵上一個(gè)釘子是否會(huì)丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長(zhǎng)期”效應(yīng)卻是一個(gè)帝國(guó)存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領(lǐng)域中的所謂“蝴蝶效應(yīng)”。折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)帝國(guó)。 傷了一位騎士，輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗； 什么是混沌呢

3、？ 混沌學(xué)的任務(wù)就是尋求混沌現(xiàn)象的規(guī)律，加以處理和應(yīng)用。 60年代混沌學(xué)的研究熱悄然興起，滲透到物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、力學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等諸多領(lǐng)域，成為一門新興學(xué)科。 它的原意是指無序和混亂的狀態(tài)（混沌譯自英文Chaos）。這些表面上看起來無規(guī)律、不可預(yù)測(cè)的現(xiàn)象，實(shí)際上有它自己的規(guī)律。 混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性-不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象。科學(xué)家給混沌下的定義是：1）、對(duì)初始條件的敏感依賴性這是混沌系統(tǒng)的典型特征。初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生極大的差別;或者說，起初小的誤差引起災(zāi)難性后果

4、。洛倫茲在他的玩具天氣模型中發(fā)現(xiàn)了這一特性。 在生活中，人們知道一串事件往往具有一個(gè)臨界點(diǎn)，那里小小的變化會(huì)放大. 然而混沌意味著這種臨界點(diǎn)比比皆是。它們無孔不入，無時(shí)不在。在天氣這樣的系統(tǒng)中，對(duì)初始條件的敏感依賴性乃是各種大小尺度的運(yùn)動(dòng)互相糾纏所不能逃避的后果，因此，洛倫茲斷言：長(zhǎng)期預(yù)報(bào)注定要失敗。信息從小尺度傳向大尺度，把初始的隨機(jī)性放大。 2）、極為有限的可預(yù)測(cè)性 當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌過程后，系統(tǒng)或表現(xiàn)為整體的不可預(yù)言，或表現(xiàn)為局部的不可預(yù)言?；煦缪芯空邆?cè)谧匀唤绾蜕鐣?huì)中發(fā)現(xiàn)了大量混沌現(xiàn)象，如湍流中的旋渦，閃電的分支路徑，流行病的消脹、股市的升降、心臟的纖顫、精神病行為、城鎮(zhèn)空間分布及規(guī)模與數(shù)

5、量等級(jí)等等。 信息論認(rèn)為，信息是對(duì)事物不確定性的一種量度。信息量大，消除不確定性的程度就大。我們擁有的關(guān)于某物的信息越多，對(duì)該事物的預(yù)測(cè)就會(huì)更準(zhǔn)確。但是，當(dāng)系統(tǒng)變得混沌以后，它成了一架產(chǎn)生信息的機(jī)器，成了連續(xù)的信息源，收集更多的信息變得毫無意義。 3）、混沌的內(nèi)部存在著超載的有序 混沌內(nèi)部的有序是指混沌內(nèi)部有結(jié)構(gòu)，而且在不同層次上其結(jié)構(gòu)具有相似性，即所謂的自相似性。 混沌內(nèi)部的有序還表現(xiàn)為不同系統(tǒng)之間跨尺度的相似性，即所謂普適性。費(fèi)根鮑姆通過兩種完全不同的反饋函數(shù)Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代計(jì)算，即取一個(gè)數(shù)作輸入，產(chǎn)生另一個(gè)數(shù)作輸出，再將前次的輸出作輸入，如此反復(fù)

6、迭代計(jì)算。當(dāng) r 值較小時(shí)，結(jié)果趨向一個(gè)定數(shù)，當(dāng) r 超過某值時(shí)，其軌跡出現(xiàn)分岔。 5.1.2 生態(tài)系統(tǒng)中的振蕩與混沌 令xn和xn+1分別表示親代和子代的種群數(shù)量。很容易看出，xn+1應(yīng)與xn有關(guān)：子代數(shù)量xn+1與親代數(shù)量xn的關(guān)系應(yīng)為 相當(dāng)于二次函數(shù) 迭代由f(x) 所實(shí)現(xiàn)的映射稱為邏輯斯蒂（logistic）映射。 當(dāng) 時(shí)，參數(shù)變化時(shí)，長(zhǎng)時(shí)間xn演化的形態(tài)可以有好多種。時(shí)，xn0時(shí)，xn周期2，即在兩個(gè)值上跳動(dòng)xn周期4，即在四個(gè)值上來回跳動(dòng) 3.57 = xn混沌吸引子5.1.3 混沌的其它例子滴水水龍頭混沌的特征 1、對(duì)初始條件的敏感依賴性。 3、混沌的內(nèi)部存在著超載的有序。 2、

7、極為有限的可預(yù)測(cè)性。5.1.4 混沌判斷-李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)定幾種混沌圖片（1）幾種混沌圖片（2）幾種混沌圖片（3）幾種混沌圖片（4）5.2 分形（fractal）現(xiàn)象與分形維數(shù)(Mandelprot)曾說過： “浮云不呈球形，山峰不呈錐體，海岸線不是圓圈，樹干不是光溜溜的，閃電永不會(huì)沿直線行進(jìn)” Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. How

8、long is the coast of Britain? (Science, 1967)The true answer is: it depends! It depends on the scale at which you measure it. Benot Mandelbrot122869定義：部分以某種形式與整體相似的形狀叫做分形 。特點(diǎn)：自相似性；無標(biāo)度。英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？5.2.1 自然界分形現(xiàn)象的幾個(gè)實(shí)例1. 菜花形狀的特征2. Cantor集合Cantor 集合 中點(diǎn)數(shù)不可數(shù)（比有理數(shù)還多?。鋮^(qū)間長(zhǎng)度為零！3.Weierstrass函數(shù)其中 1s2 且 ，W(x) 是處

9、處連續(xù)、處處不可微的函數(shù)。對(duì)應(yīng) s=1.4, 的圖象是4. Van Koch 雪花曲線5.（兩種不同的雪花結(jié)晶照片，由于晶體結(jié)晶的起始位置（晶種）具有一定的隨機(jī)性，和規(guī)則的分形結(jié)構(gòu)相比這兩個(gè)雪花有些“瑕疵”。）大自然的不規(guī)則性： 樹木花草、山川河流、煙霧云彩等是不 規(guī)則的。晶體的生長(zhǎng)，分子的運(yùn)動(dòng)軌跡等也是不規(guī)則的。如何用幾何來描述它？ B. Mandelbrot 觀察到英國(guó)海岸線與Van Koch 曲線的關(guān)系，提出了一門描述大自 然的幾何形態(tài)的學(xué)科-分形(Fractal) 5.2.2 隨機(jī)分形的幾個(gè)例子 二維土壤切片的數(shù)字化圖像，白色代表孔隙,黑色代表土壤。（二維逾滲模型(percolation)相應(yīng)的每個(gè)格點(diǎn)被孔隙占有的概率為 p=0.63，黑色代表孔隙,白色代表土壤）（計(jì)算機(jī)38 000步模擬之后生成的DLA（Diffusion Limit Aggregation）結(jié)構(gòu)） 分形的特性 1、具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu) 2、局部與整體的相似性 3、具有非拓?fù)渚S數(shù)，并且它大于對(duì)應(yīng)的 拓?fù)渚S數(shù) 4、具有隨機(jī)性 5、在大多數(shù)情況下，分形可以用非常 簡(jiǎn)單的方法確定，可能由迭代產(chǎn)生。 5.2.3 分形與分形維數(shù)的定義 分形的維數(shù) 1、相似維數(shù)：設(shè)分形 F 是自相似的，即 F 由 m 個(gè)子集構(gòu)成，每個(gè)子集放大 c 倍后同 F一樣，則定義 F 的維數(shù)為 對(duì)于Cantor集，對(duì)于Van Koch雪花曲