自動(dòng)控制理論課件：3第三章 時(shí)域分析法

1、什么是時(shí)域分析? 指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據(jù)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 由于時(shí)域分析是直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，所以時(shí)域分析具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。 第三章 時(shí)域分析法 系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)在某一個(gè)輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的函數(shù)，是描述系統(tǒng)的微分方程的解。 控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)的性質(zhì)，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及輸入信號(hào)的形式。在實(shí)際的使用中，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)是多種多樣的。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，在分析系統(tǒng)時(shí)，采用典型的輸入信號(hào)。 這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對(duì)靜止的（處于穩(wěn)定狀態(tài)），被控制量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零。規(guī)定

2、控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，典型初始狀態(tài)即在 時(shí)1. 階躍函數(shù)：A為階躍幅度拉氏變換：A=1時(shí)稱(chēng)為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。0tr(t)10t1(t)3-1 典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)：是指很接近實(shí)際控制系統(tǒng)經(jīng)常遇到的輸入信號(hào)，并在數(shù)學(xué)描述上加以理想化后能用較為典型且簡(jiǎn)單的函數(shù)形式表達(dá)出來(lái)的信號(hào)。 如指令的突然轉(zhuǎn)換，電源的突然接通，負(fù)載的突變等，都可視為階躍作用。 發(fā)生在t=0時(shí)的階躍函數(shù)，相當(dāng)于在時(shí)間t=0時(shí)，把一個(gè)定常信號(hào)突然加到系統(tǒng)上。 2. 斜坡函數(shù)A=1時(shí)稱(chēng)為單位斜坡函數(shù)。拉氏變換：1t0Ax(t) 斜坡函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為常量A，這種函數(shù)表示由零值開(kāi)始隨時(shí)間t作線性增長(zhǎng)（恒速增長(zhǎng)）的

3、信號(hào)，故斜坡函數(shù)又稱(chēng)為等速度函數(shù)。3. 拋物線函數(shù)A=1時(shí)稱(chēng)為單位拋物線函數(shù)。拉氏變換： 拋物線函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為常量A，這種函數(shù)表示由零值開(kāi)始隨時(shí)間t以等加速度增長(zhǎng)的信號(hào)，故拋物線函數(shù)又稱(chēng)為等加速度函數(shù)。4. 脈沖函數(shù)：當(dāng)A=1時(shí)，記為 。 理想單位脈沖函數(shù)：t0拉氏變換： 在實(shí)際中，如果系統(tǒng)的脈動(dòng)輸入量值很大，而持續(xù)時(shí)間與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)相比非常小時(shí)，可以用脈沖函數(shù)去近似表示這種脈動(dòng)輸入。如脈沖電壓信號(hào)、沖擊力、陣風(fēng)等。理想的脈沖函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，它只有數(shù)學(xué)上的意義。 當(dāng)描述脈沖輸入時(shí)，脈沖的面積或者大小是非常重要的，而脈沖的精確形狀通常并不重要。使用典型的輸入信號(hào)只是為了分析和設(shè)計(jì)的方

4、便。采用典型的輸入信號(hào)，可以使問(wèn)題的數(shù)學(xué)處理系統(tǒng)化，可以由此去推知更復(fù)雜輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)。單位階躍函數(shù)近似 單位斜坡函數(shù) 脈沖函數(shù)（-函數(shù)）A=1 單位-函數(shù) R(s) = 1單位拋物線函數(shù)r(t) =(t) = r(t) =r(t) =r(t) =R(s) = 1/SR(s) = 1/S2 R(s) = 1/S3 提示：上述幾種典型輸入信號(hào)的關(guān)系如下：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位斜坡函數(shù)單位拋物線函數(shù)積分積分積分微分微分微分 正弦函數(shù)拉氏變換： 用正弦函數(shù)作輸入信號(hào)，可以求得系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此分析系統(tǒng)的性能。（第五章 頻域分析） 分析系統(tǒng)

5、特性究竟采用何種典型輸入信號(hào)，取決于實(shí)際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見(jiàn)的輸入信號(hào)形式。 當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時(shí)，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號(hào)；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時(shí)間增長(zhǎng)變化時(shí)，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號(hào)。線性定常系統(tǒng)的描述線性常系數(shù)微分方程的解： 輸出 = 任一特解 + 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特解：電網(wǎng)絡(luò)中常常用穩(wěn)態(tài)響應(yīng)作為一個(gè)特解（穩(wěn)態(tài)分量）通解：齊次解（方程右邊=0） 零輸入響應(yīng) 、也稱(chēng)自由分量、暫態(tài)分量特解：若系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出中所有暫態(tài)分量將衰減到零，即 穩(wěn)態(tài)分量與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)零狀態(tài)響應(yīng)3-2 線性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)由傳遞函數(shù)用拉普拉斯變換工具可以使求解更加簡(jiǎn)單得輸出的拉普拉斯變換將

6、輸出進(jìn)行拉普拉斯反變換得輸出的時(shí)域形式(單位階躍響應(yīng))步驟：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求c(t)=L-1(C(s) 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)過(guò)程之前的過(guò)程稱(chēng)為暫態(tài)過(guò)程（瞬態(tài)過(guò)程）。暫態(tài)分析是分析暫態(tài)過(guò)程中輸出響應(yīng)的各種運(yùn)動(dòng)特性。 理論上說(shuō)，只有當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程，但在進(jìn)行分析時(shí)，只要輸出量的實(shí)際值與希望值之間的偏差不再超過(guò)允許的誤差范圍，就認(rèn)為系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程。 對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，對(duì)于一個(gè)有界的輸入，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，微分方程的全解將趨于一個(gè)穩(wěn)態(tài)的函數(shù)，使系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)新的平衡狀態(tài)。工程上稱(chēng)為進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)過(guò)程和暫態(tài)過(guò)程穩(wěn)定的控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示：瞬態(tài)過(guò)程穩(wěn)

7、態(tài)過(guò)程瞬態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程0tc(t)0tc(t)衰減振蕩單調(diào)變化結(jié) 論線性系統(tǒng)響應(yīng)可分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)之和。線性系統(tǒng)響應(yīng)可分解為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和線性系統(tǒng)響應(yīng)由齊次方程的通解加上非齊次方程的一個(gè)特解構(gòu)成（數(shù)學(xué)上有意義但工程上不適用）暫態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo) 通常以單位階躍響應(yīng)來(lái)衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義暫態(tài)過(guò)程的時(shí)域性能指標(biāo)。實(shí)際應(yīng)用的控制系統(tǒng)，多數(shù)具有阻尼振蕩的階躍響應(yīng)，我們根據(jù)衰減振蕩的階躍響應(yīng)曲線來(lái)定義系統(tǒng)常用的暫態(tài)性能指標(biāo)。3-3 控制系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo) 所謂時(shí)域分析法，是在時(shí)間域內(nèi)研究控制系統(tǒng)性能的方法，根據(jù)響應(yīng)表達(dá)式和響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。先決條件：穩(wěn)定

8、系統(tǒng)系統(tǒng)傳函的極點(diǎn)直接決定暫態(tài)相應(yīng)的性能具有衰減振蕩的暫態(tài)過(guò)程如圖所示： 延遲時(shí)間輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。 上升時(shí)間輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值c()所需的時(shí)間。0tc(t)或指由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間。一、穩(wěn)態(tài)性能4.調(diào)整時(shí)間3.峰值時(shí)間輸出響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。當(dāng)輸出量c(t)和穩(wěn)態(tài)值c()之間的偏差達(dá)到允許范圍（一般取2%或5%）并維持在此允許范圍之內(nèi)所需的最小時(shí)間。0tc(t) 越小，說(shuō)明系統(tǒng)從一個(gè)平衡狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)平衡狀態(tài)所需的時(shí)間越短。5.最大超調(diào)量（簡(jiǎn)稱(chēng)超調(diào)量） 暫態(tài)過(guò)程中輸出響應(yīng)的最大值超過(guò)穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。0tc(t)

9、AB 超調(diào)量表示系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)沖的程度，超調(diào)量大，不僅使系統(tǒng)中的各個(gè)元件處于惡劣的工作條件下，而且使調(diào)節(jié)時(shí)間加長(zhǎng)。 在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過(guò)程進(jìn)行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過(guò)程的振蕩程度，是穩(wěn)定性指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性能指標(biāo)。時(shí)間tr上 升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量Mp =AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts其中ts和 是最重要的兩個(gè)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)。二、穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差e(t)=r(t)-c(t)當(dāng)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差特性便于參數(shù)尋優(yōu)及性能比較 綜合性能指標(biāo)但它不能使階躍響應(yīng)的各參數(shù)均最優(yōu)，甚至某些參數(shù)還可能不能用 ?；仡櫱叭?jié)內(nèi)容 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析3-1 典型輸入信號(hào) 3-2 線性定常系

10、統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 3-3 控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)典型信號(hào)之間的關(guān)系S=13-4 一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng) 框圖用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱(chēng)為一階系統(tǒng)。-2.閉環(huán)傳遞函數(shù)可見(jiàn)一階系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，式中 為時(shí)間常數(shù)。 單位階躍響應(yīng) 可見(jiàn)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)刹糠纸M成，當(dāng)時(shí)間t時(shí)，暫態(tài)分量衰減為零。 這是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線，初始值為0，穩(wěn)態(tài)值為1。0tc(t)輸出由兩部分組成：一部分不隨時(shí)間變化1；另一部分隨隨時(shí)間變化 。因此，系統(tǒng)的階躍輸出是隨時(shí)間變化的一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具備兩個(gè)重要的特點(diǎn)：0.950.980.6321 2 3 4 5 00.20.40.60.81tC(t)

11、C() 可見(jiàn)，調(diào)整時(shí)間只與時(shí)間常數(shù)有關(guān)。時(shí)間常數(shù)越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。1）當(dāng)t= 時(shí)，即當(dāng)t等于時(shí)間常數(shù)時(shí)，響應(yīng)c(t)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。調(diào)整時(shí)間： ts=3 （對(duì)應(yīng)5%誤差帶） 或ts=4 （對(duì)應(yīng)2%誤差帶）同樣的方法可以算出，當(dāng)t=2 、3 、4 和5 時(shí)， c(t)將分別上升到86.5% 、95% 、98.2%和99.3% 。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具備兩個(gè)重要的特點(diǎn)： 這也是在單位階躍響應(yīng)曲線上確定一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的方法之一。0.950.980.6321 2 3 4 5 00.20.40.60.81tc(t)c()斜率=1/2）響應(yīng)曲線的初始斜率等于 。上式表明：如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)一直

12、以初始速度 上升，則達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間恰好為 。 一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線是一條單調(diào)衰減的指數(shù)曲線。只包含瞬態(tài)分量！脈沖響應(yīng)的積分就是階躍響應(yīng)而另一方面，階躍信號(hào)是脈沖信號(hào)的積分如果將脈沖信號(hào)做積分運(yùn)算一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)0t引入穩(wěn)態(tài)誤差的概念：當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的實(shí)際穩(wěn)態(tài)值與給定值之差。即：一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差從曲線上可知，一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)具有和輸入相同的斜率，只要在時(shí)間上滯后, 這就存在著ess= 的穩(wěn)態(tài)誤差。0t一階系統(tǒng)單位加速度響應(yīng) 一階系統(tǒng)在加速度函數(shù)輸入作用下，其誤差隨時(shí)間推移而增長(zhǎng)，直到無(wú)限大。閉環(huán)極點(diǎn)（特征根

13、）：-1/ 時(shí)間tr上 升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量Mp =AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts暫態(tài)性能指標(biāo)復(fù) 習(xí)暫態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程一階系統(tǒng)框圖-2.閉環(huán)傳遞函數(shù)（3）調(diào)節(jié)時(shí)間0.950.980.6321 2 3 4 5 00.20.40.60.81tC(t)C()ts=3 （對(duì)應(yīng)5%誤差帶）ts=4 （對(duì)應(yīng)2%誤差帶）結(jié) 論（1） 一階慣性環(huán)節(jié)沒(méi)有超調(diào)，達(dá)不到輸出值，故MP=0，tr=，tp=，（2）脈沖、階躍穩(wěn)態(tài)誤差為零，斜坡響應(yīng)為 ， 拋物線為框圖用二階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱(chēng)為二階系統(tǒng)。它是控制系統(tǒng)常見(jiàn)的組成形式，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下常近似地用二階系統(tǒng)來(lái)表征。3-5 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)- 框圖2.

14、閉環(huán)傳遞函數(shù)-由傳遞函數(shù)內(nèi)容回顧：求解輸出響應(yīng)c(t)得輸出的拉普拉斯變換將輸出進(jìn)行拉普拉斯反變換得輸出的時(shí)域形式(單位階躍響應(yīng))共軛復(fù)根的實(shí)部一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)這是典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其中 阻尼比或衰減系數(shù)無(wú)阻尼自然振蕩角頻率由系統(tǒng)的特征方程不難求出閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)特征根為：閉環(huán)傳遞函數(shù) 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)當(dāng) 不同時(shí)，特征根和階躍響應(yīng)有不同的形式。時(shí)特征根為：時(shí)特征根為：負(fù)阻尼（ 0）極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。特征根為： -1單調(diào)發(fā)散 -1 0振蕩發(fā)散特征根為：特征根為一對(duì)共軛虛根 當(dāng) 時(shí)，無(wú)阻尼情況此時(shí)輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以 稱(chēng)為無(wú)

15、阻尼振蕩頻率。無(wú)阻尼（ =0）特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根 當(dāng) 時(shí)，欠阻尼（0 1） 當(dāng) 時(shí)， 階躍響應(yīng)為非振蕩單調(diào)上升過(guò)程，但上升速度比臨界阻尼時(shí)緩慢。過(guò)阻尼情況從圖可見(jiàn)：（）越小，振蕩越厲害，當(dāng)增大到以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。（）之間時(shí)，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。（）在無(wú)振蕩時(shí)，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)。（）過(guò)阻尼系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)。二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無(wú)阻尼自然振蕩角頻率對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)具有決定性的影響。現(xiàn)在針對(duì)阻尼的情況，討論暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與特征參量的關(guān)系。 二、二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)欠阻尼情況 稱(chēng)為阻尼角到虛軸的距離：到實(shí)軸的距離：到原點(diǎn)的距離

16、：極點(diǎn)分布圖0與負(fù)實(shí)軸夾角：欠阻尼情況單位階躍輸入時(shí)，輸出的拉氏變換為：欠阻尼情況單位階躍輸入時(shí)，輸出為：當(dāng) 時(shí)， 上升時(shí)間增大 或減小 ，均能減小 ，從而加快系統(tǒng)的初始響應(yīng)速度。0tc(t)上升時(shí)間 峰值時(shí)間整理得：由于 出現(xiàn)在第一次峰值時(shí)間，取n=1，有：增大 或減小 ，均能減小 ，從而加快系統(tǒng)的初始響應(yīng)速度。閉環(huán)極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn)，峰值時(shí)間越小。0tc(t) 最大超調(diào)量將峰值時(shí)間 代入 得最大超調(diào)量只和阻尼比 有關(guān)， 越大， 越小。0tc(t)AB00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100越大，超調(diào)量越小 與穩(wěn)態(tài)值 之間的差值達(dá)到允

17、許范圍（取或）時(shí)的暫態(tài)過(guò)程時(shí)間滿足上式的值有多個(gè)，按定義，其中最小的值是調(diào)整時(shí)間為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，采用近似的計(jì)算方法，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.05或0.02時(shí)，暫態(tài)過(guò)程結(jié)束，因此忽略正弦函數(shù)的影響，得到 調(diào)節(jié)時(shí)間由此可求得設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常由要求的 決定，所以 由 所決定近似與成反比,閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)， 越小 阻尼比 是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。總結(jié) 在 的情況下階躍響應(yīng)為單調(diào)變化曲線，無(wú)超調(diào)和振蕩，但 長(zhǎng)。 當(dāng) 時(shí)，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。 在 的情況下階躍響應(yīng)為衰減振蕩，暫態(tài)性能較好?？偨Y(jié) 在欠阻尼 情況下工作時(shí)，若 過(guò)小，則超調(diào)量大，調(diào)

18、節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，暫態(tài)性能差。 最大超調(diào)量 只與 有關(guān)，所以一般根據(jù) 來(lái)選擇 。 在 之間，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都較小。工程上常取 作為設(shè)計(jì)依據(jù)，稱(chēng)為最佳阻尼比。 解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：例：如圖所示系統(tǒng)， 試求： 和 ; 和 若要求 ， 當(dāng)T不變時(shí)K=?當(dāng)T不變時(shí)，T=0.25，過(guò)阻尼：x1欠阻尼：0 x1欠阻尼：0 x 0 。2.判斷各項(xiàng)系數(shù)是否都為正值 特征方程式各項(xiàng)系數(shù)均為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。一、勞斯判據(jù)3.如果所有系數(shù)都是正的，則可以將多項(xiàng)式系數(shù)按下列格式列出勞斯陣列表（勞斯表）勞斯表的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，項(xiàng)系數(shù)組成，第二行為2，4，6，項(xiàng)系數(shù)組成。 用同樣的方法，

19、求取表中其它行的系數(shù)，一直進(jìn)行到第n+1行（s0行）為止。 為了簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，可以用一個(gè)正數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。4.根據(jù)勞斯表中第一列各元素的符號(hào)，用勞斯判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯判據(jù)： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列各元素均為正數(shù)。如果第一列系數(shù)中有負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于特征方程式的根在s平面右半部分的個(gè)數(shù)。例1：特征方程為： ，試判斷穩(wěn)定性。解：勞斯表為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 均大于零 且例2：系統(tǒng)的特征方程為：-1 3 0（ 2）1 0 0（ ） 勞斯表第一列有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號(hào)變化兩次，表示有兩個(gè)極點(diǎn)在s的右半平面。解：

20、勞斯表為：二、 勞斯判據(jù)的兩種特殊情況1）勞斯表某一行中的第一列項(xiàng)等于零，但其余各項(xiàng)不全為零或者沒(méi)有其余項(xiàng)。處理方法 用一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替這個(gè)零，并據(jù)此計(jì)算出陣列中的其余各項(xiàng)。如果上下兩項(xiàng)的符號(hào)相同，則說(shuō)明系統(tǒng)存在一對(duì)虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果不同，表明有一次符號(hào)變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。若 則例：特征方程式為： ，試判斷穩(wěn)定性。解：勞斯表為：故第一列有兩次符號(hào)變化，s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定 。2）勞斯表某一行中所有的系數(shù)都為零大小相等符號(hào)相反的實(shí)根共軛虛根對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根表明在s平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，至少要下述幾種情況之一出現(xiàn):2）勞斯表某一行中所有的系數(shù)都為

21、零處理方法 可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，并以此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。 大小相等，位置徑向相反的根可以通過(guò)求解輔助方程得到，而且根的數(shù)目總是偶數(shù)（輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的）。設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞 斯 表s0s1s2s3s451756116601 勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2 出現(xiàn)零行怎么辦?3 如何求對(duì)稱(chēng)的根? 由零行的上一行構(gòu)成輔助方程: 有大小相等符號(hào)相反的特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行s2+1=0對(duì)其求導(dǎo)得零行系數(shù): 2s1211繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定求解輔助方程得: s1,2=j由綜

22、合除法可得另兩個(gè)根為s3,4= -2,-3例：1 6 81 6 8輔助方程為：求導(dǎo)得：用1，3，0代替全零行即可。或因?yàn)榈谝涣性囟即笥诹?，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第一列元素都大于零，說(shuō)明s右半平面沒(méi)有閉環(huán)極點(diǎn)。但出現(xiàn)了全零行，表明系統(tǒng)有共軛虛數(shù)極點(diǎn)。例：輔助方程為：此時(shí)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J(rèn)為是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的共軛虛數(shù)極點(diǎn)可由輔助方程求出。解得：設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： ，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的赫爾維茨行列式的主子行列式全部為正。古爾維茨行列式的構(gòu)造：主對(duì)角線上的各項(xiàng)為特征方程的第二項(xiàng)系數(shù) 至最后一項(xiàng)系數(shù) ，在主對(duì)角線以下各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次減小，在主對(duì)角線以上各行

23、中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次增加。當(dāng)下標(biāo)大于n或小于0時(shí)，行列式中的項(xiàng)取0。 赫爾維茨行列式：三、赫爾維茨判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用赫爾維茨判據(jù)：赫爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：四、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用 判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例： 系統(tǒng)的特征方程為： ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯表如下：因?yàn)?，但勞斯表第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號(hào)變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響 利用代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個(gè)別參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開(kāi)環(huán)放大系數(shù) K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K 稱(chēng)為臨界放大系數(shù)KL 。例：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試

24、確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：勞斯表：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)特征方程為：（1）若得 負(fù)值 ，應(yīng)將結(jié)果改為 假定我們不取K為負(fù)值。（2）實(shí)際上要求系統(tǒng)工作在K小于臨界值的狀態(tài)，當(dāng)K=臨界值時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是等幅振蕩，相當(dāng)于有一對(duì)共軛負(fù)數(shù)極點(diǎn)位于虛軸上。顯然不能正常工作。 確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量） 利用勞斯和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對(duì)穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問(wèn)題。 確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量） 利用實(shí)部最大的特征方程的根

25、p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。 作 的垂線，若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱(chēng)該系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。一般說(shuō)， 越大，穩(wěn)定程度越高。可用 代入特征方程，得以 z 為變量的新的特征方程，用勞斯-赫爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱(chēng)系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。例：系統(tǒng)特征方程為： 。 行全為零，以它上面的行組成輔助方程 。對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用其系數(shù)代替 行，其系數(shù)為1。有一對(duì)共軛虛根，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量恰為1。用勞斯判據(jù)可知它是穩(wěn)定的。判斷它是否具有穩(wěn)定裕量 a =1。令 則：12小結(jié)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于左半S平面勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可給出使系統(tǒng)

26、穩(wěn)定的某一參數(shù)的范圍。勞斯判據(jù)沒(méi)有也不能說(shuō)明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)該采取的校正途徑線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）全部具有負(fù)實(shí)部?；蛘哒f(shuō)，特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半平面。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定s平面穩(wěn)定系統(tǒng)在受到外界擾動(dòng)作用時(shí)，其被控制量將偏離平衡位置，當(dāng)這個(gè)擾動(dòng)作用去除后，若系統(tǒng)在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)能自動(dòng)恢復(fù)到其原來(lái)的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。復(fù) 習(xí)使用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟如下：1.列出系統(tǒng)特征方程式式中各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，且使 a0 0 。2.判斷各項(xiàng)系數(shù)是否都為正值 特征方程式各項(xiàng)系數(shù)均為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。勞斯判據(jù)復(fù) 習(xí)3.如果所有系數(shù)都是正的，

27、則可以將多項(xiàng)式系數(shù)按下列格式列出勞斯陣列表（勞斯表）復(fù) 習(xí)4.根據(jù)勞斯表中第一列各元素的符號(hào)，用勞斯判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯判據(jù)： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列各元素均為正數(shù)。如果第一列系數(shù)中有負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于特征方程式的根在s平面右半部分的個(gè)數(shù)。復(fù) 習(xí)作業(yè)3-15、3-163-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)性能是控制系統(tǒng)的又一重要特性,它表征了系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的準(zhǔn)確度或抑制擾動(dòng)信號(hào)的能力。而衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)是穩(wěn)態(tài)誤差的大小。穩(wěn)態(tài)：當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)的固定響應(yīng)。恒值控制系統(tǒng)：恒值隨動(dòng)控制系統(tǒng)：跟隨輸入變化 正弦輸入下系統(tǒng)響應(yīng)是正弦波一 穩(wěn)態(tài)誤差

28、的定義 對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，在輸入加入后，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，其暫態(tài)響應(yīng)已衰減到微不足道時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之間的誤差。給定輸入下的誤差給定誤差擾動(dòng)輸入下的誤差擾動(dòng)誤差 控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分類(lèi)從輸入端定義給定誤差:給定誤差定義為輸入信號(hào)r(t)與反饋信號(hào)b(t)之差，即：給定穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān),還與輸入信號(hào)的大小及形式有關(guān)。而系統(tǒng)的穩(wěn)定性的只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s)擾動(dòng)誤差:擾動(dòng)作用將使系統(tǒng)輸出值c(t)偏離要求值而出現(xiàn)誤差通常以擾動(dòng)輸出量cn(t)的穩(wěn)態(tài)值作為系統(tǒng)的擾動(dòng)誤差擾動(dòng)誤差是從輸出端定義的R(s)C(s)H(s)Er(s

29、)B(s)N(s)不考慮擾動(dòng)量，給定R(s) 后，反饋量的象函數(shù)為二、誤差傳遞函數(shù)響應(yīng)的期望值為R(s) ，給定誤差的象函數(shù)為R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)不考慮輸入量，給定N(s) 后，響應(yīng)的象函數(shù)對(duì)應(yīng)于擾動(dòng)量的響應(yīng)就是擾動(dòng)誤差，所以擾動(dòng)誤差的象函數(shù)為R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s) 系統(tǒng)的擾動(dòng)誤差傳遞函數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)控制系統(tǒng)按照跟蹤階躍輸入信號(hào)，斜坡輸入信號(hào)和拋物線輸入信號(hào)的能力進(jìn)行分類(lèi)，分為0、I、II 型三、控制系統(tǒng)的類(lèi)型H(s)中不含積分環(huán)節(jié) =0 不含積分環(huán)節(jié) 0 型系統(tǒng)=1 含一個(gè)積分環(huán)節(jié) I 型系統(tǒng)=2 含二個(gè)積

30、分環(huán)節(jié) II 型系統(tǒng) 這時(shí)，不考慮擾動(dòng)的影響?？梢詫?xiě)出系統(tǒng)的給定誤差：3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計(jì)算R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s) 對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)，可利用拉氏變換的終值定理 計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差 只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才可計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差例:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)輸入信號(hào)為單位斜坡函數(shù)時(shí)，求系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整K值能使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？-解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義,所以先判穩(wěn)系統(tǒng)特征方程為由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件：由穩(wěn)定的條件知： 不能滿足 的要求顯然， 與輸入和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)。給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計(jì)算式中： 開(kāi)環(huán)放大系數(shù)

31、； 積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)； 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)去掉積分和比例環(huán)節(jié)假設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 的形式如下：可見(jiàn)給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)；與時(shí)間常數(shù)形式的開(kāi)環(huán)增益有關(guān)；與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)（系統(tǒng)型號(hào)）有關(guān)。式中： 稱(chēng)為靜態(tài)位置誤差系數(shù)； 當(dāng)輸入為 時(shí)（單位階躍函數(shù)） 穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)差系統(tǒng)，為有限值的稱(chēng)為有差系統(tǒng)。 的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說(shuō) 反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入的能力。 在單位階躍作用下，0型系統(tǒng)( )為有差系統(tǒng)，型以上的系統(tǒng)( )為無(wú)差系統(tǒng)。 當(dāng)輸入為 時(shí)（單位斜坡函數(shù)）式中： 稱(chēng)為靜態(tài)速度誤差系數(shù)； 的大小反映了系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說(shuō)

32、反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的能力。 當(dāng)輸入為 時(shí)（單位斜坡函數(shù)）有差系統(tǒng) 當(dāng)輸入為 時(shí)（單位加速度函數(shù)）式中： 稱(chēng)為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)； 的大小反映了系統(tǒng)在拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說(shuō) 反映了系統(tǒng)跟蹤拋物線輸入的能力。 當(dāng)輸入為 時(shí)（單位加速度函數(shù)）有差系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)和給定穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)類(lèi)型靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差KpKvKa階躍輸入r(t)=R1(t)斜坡輸入r(t)=Rt拋物線輸入r(t)= Rt2/20型型型 當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)由位置、速度和加速度分量組成時(shí)，即線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例- 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為其中均為大于零的常數(shù)，求系統(tǒng)給定穩(wěn)態(tài)誤差終值 。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：此為

33、型系統(tǒng)試分別求出H(s)=1和H(s)=0.5時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。-例:某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為解:則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)H(s)=1時(shí),系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為靜態(tài)位置誤差系數(shù)： 當(dāng)H(s)=0.5時(shí),則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)位置誤差系數(shù)： 若上列在H(s)=1時(shí),系統(tǒng)的允許誤差為0.2,問(wèn)開(kāi)環(huán)增益k應(yīng)等于多少? 靜態(tài)位置誤差系數(shù)： 小結(jié)：給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)。對(duì)同一系統(tǒng)加入不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。與時(shí)間常數(shù)形式的開(kāi)環(huán)增益有關(guān)；對(duì)有差系統(tǒng)，K，穩(wěn)態(tài)誤差，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，穩(wěn)態(tài)誤差，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。 由此可見(jiàn)，提高系統(tǒng)的型號(hào),增大系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益,都會(huì)提高系統(tǒng)的精度,但這樣又會(huì)降低穩(wěn)定性。因此，對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的要求往往與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性的要求是矛盾的，必須綜合考慮。 使用拉氏變換終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差終值的條件是:sEr(s)的全部極點(diǎn)除坐標(biāo)原點(diǎn)外應(yīng)全部位于s左半平面。 如給定輸入為正弦函數(shù)時(shí)，r(t)=sinwt 的極點(diǎn)在s平面的虛軸上，不能使用終值定理去求取系統(tǒng)的穩(wěn)