自動控制理論課件：3第三章 時域分析法

1、什么是時域分析? 指控制系統在一定的輸入下，根據輸出量的時域表達式，分析系統的穩(wěn)定性、暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 由于時域分析是直接在時間域中對系統進行分析的方法，所以時域分析具有直觀和準確的優(yōu)點。 第三章 時域分析法 系統時域響應在某一個輸入信號作用下，系統輸出隨時間變化的函數，是描述系統的微分方程的解。 控制系統的時域響應的性質，取決于系統本身的結構和參數，系統的初始狀態(tài)以及輸入信號的形式。在實際的使用中，控制系統的輸入信號是多種多樣的。為了簡化問題，在分析系統時，采用典型的輸入信號。 這表明，在外作用加入系統之前系統是相對靜止的（處于穩(wěn)定狀態(tài)），被控制量及其各階導數相對于平衡工作點的增量為零。規(guī)定

2、控制系統的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，典型初始狀態(tài)即在 時1. 階躍函數：A為階躍幅度拉氏變換：A=1時稱為單位階躍函數，記為1(t)。0tr(t)10t1(t)3-1 典型輸入信號典型輸入信號：是指很接近實際控制系統經常遇到的輸入信號，并在數學描述上加以理想化后能用較為典型且簡單的函數形式表達出來的信號。 如指令的突然轉換，電源的突然接通，負載的突變等，都可視為階躍作用。 發(fā)生在t=0時的階躍函數，相當于在時間t=0時，把一個定常信號突然加到系統上。 2. 斜坡函數A=1時稱為單位斜坡函數。拉氏變換：1t0Ax(t) 斜坡函數的一階導數為常量A，這種函數表示由零值開始隨時間t作線性增長（恒速增長）的

3、信號，故斜坡函數又稱為等速度函數。3. 拋物線函數A=1時稱為單位拋物線函數。拉氏變換： 拋物線函數的二階導數為常量A，這種函數表示由零值開始隨時間t以等加速度增長的信號，故拋物線函數又稱為等加速度函數。4. 脈沖函數：當A=1時，記為 。 理想單位脈沖函數：t0拉氏變換： 在實際中，如果系統的脈動輸入量值很大，而持續(xù)時間與系統的時間常數相比非常小時，可以用脈沖函數去近似表示這種脈動輸入。如脈沖電壓信號、沖擊力、陣風等。理想的脈沖函數在現實中是不存在的，它只有數學上的意義。 當描述脈沖輸入時，脈沖的面積或者大小是非常重要的，而脈沖的精確形狀通常并不重要。使用典型的輸入信號只是為了分析和設計的方

4、便。采用典型的輸入信號，可以使問題的數學處理系統化，可以由此去推知更復雜輸入下的系統響應。單位階躍函數近似 單位斜坡函數 脈沖函數（-函數）A=1 單位-函數 R(s) = 1單位拋物線函數r(t) =(t) = r(t) =r(t) =r(t) =R(s) = 1/SR(s) = 1/S2 R(s) = 1/S3 提示：上述幾種典型輸入信號的關系如下：上述幾種典型響應有如下關系：單位脈沖函數單位階躍函數單位斜坡函數單位拋物線函數積分積分積分微分微分微分 正弦函數拉氏變換： 用正弦函數作輸入信號，可以求得系統對不同頻率的正弦輸入函數的穩(wěn)態(tài)響應，由此分析系統的性能。（第五章 頻域分析） 分析系統

5、特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。 當系統的輸入具有突變性質時，可選擇階躍函數為典型輸入信號；當系統的輸入是隨時間增長變化時，可選擇斜坡函數為典型輸入信號。線性定常系統的描述線性常系數微分方程的解： 輸出 = 任一特解 + 對應齊次方程的通解特解：電網絡中常常用穩(wěn)態(tài)響應作為一個特解（穩(wěn)態(tài)分量）通解：齊次解（方程右邊=0） 零輸入響應 、也稱自由分量、暫態(tài)分量特解：若系統穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)時輸出中所有暫態(tài)分量將衰減到零，即 穩(wěn)態(tài)分量與系統初始狀態(tài)無關零狀態(tài)響應3-2 線性定常系統的時域響應由傳遞函數用拉普拉斯變換工具可以使求解更加簡單得輸出的拉普拉斯變換將

6、輸出進行拉普拉斯反變換得輸出的時域形式(單位階躍響應)步驟：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求c(t)=L-1(C(s) 系統達到穩(wěn)態(tài)過程之前的過程稱為暫態(tài)過程（瞬態(tài)過程）。暫態(tài)分析是分析暫態(tài)過程中輸出響應的各種運動特性。 理論上說，只有當時間趨于無窮大時，才進入穩(wěn)態(tài)過程，但在進行分析時，只要輸出量的實際值與希望值之間的偏差不再超過允許的誤差范圍，就認為系統進入穩(wěn)態(tài)過程。 對于穩(wěn)定的系統，對于一個有界的輸入，當時間趨于無窮大時，微分方程的全解將趨于一個穩(wěn)態(tài)的函數，使系統達到一個新的平衡狀態(tài)。工程上稱為進入穩(wěn)態(tài)過程。系統的穩(wěn)態(tài)過程和暫態(tài)過程穩(wěn)定的控制系統的單位階躍響應曲線如圖所示：瞬態(tài)過程穩(wěn)

7、態(tài)過程瞬態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程0tc(t)0tc(t)衰減振蕩單調變化結 論線性系統響應可分解為零狀態(tài)響應和零輸入響應之和。線性系統響應可分解為瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應之和線性系統響應由齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解構成（數學上有意義但工程上不適用）暫態(tài)過程的性能指標 通常以單位階躍響應來衡量系統控制性能的優(yōu)劣和定義暫態(tài)過程的時域性能指標。實際應用的控制系統，多數具有阻尼振蕩的階躍響應，我們根據衰減振蕩的階躍響應曲線來定義系統常用的暫態(tài)性能指標。3-3 控制系統時域響應的性能指標 所謂時域分析法，是在時間域內研究控制系統性能的方法，根據響應表達式和響應曲線分析系統的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。先決條件：穩(wěn)定

8、系統系統傳函的極點直接決定暫態(tài)相應的性能具有衰減振蕩的暫態(tài)過程如圖所示： 延遲時間輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。 上升時間輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值c()所需的時間。0tc(t)或指由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。一、穩(wěn)態(tài)性能4.調整時間3.峰值時間輸出響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值所需要的時間。當輸出量c(t)和穩(wěn)態(tài)值c()之間的偏差達到允許范圍（一般取2%或5%）并維持在此允許范圍之內所需的最小時間。0tc(t) 越小，說明系統從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)所需的時間越短。5.最大超調量（簡稱超調量） 暫態(tài)過程中輸出響應的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分數。0tc(t)

9、AB 超調量表示系統響應過沖的程度，超調量大，不僅使系統中的各個元件處于惡劣的工作條件下，而且使調節(jié)時間加長。 在上述幾種性能指標中， 表示瞬態(tài)過程進行的快慢，是快速性指標；而 反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是穩(wěn)定性指標。其中 和 是兩種最常用的性能指標。時間tr上 升峰值時間tpAB超調量Mp =AB100%調節(jié)時間ts其中ts和 是最重要的兩個動態(tài)性能的指標。二、穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差e(t)=r(t)-c(t)當時的穩(wěn)態(tài)誤差特性便于參數尋優(yōu)及性能比較 綜合性能指標但它不能使階躍響應的各參數均最優(yōu)，甚至某些參數還可能不能用 ?；仡櫱叭?jié)內容 線性系統的時域分析3-1 典型輸入信號 3-2 線性定常系

10、統的時域響應 3-3 控制系統暫態(tài)響應的性能指標典型信號之間的關系S=13-4 一階系統的暫態(tài)響應 框圖用一階微分方程描述的控制系統稱為一階系統。-2.閉環(huán)傳遞函數可見一階系統相當于一個慣性環(huán)節(jié)，式中 為時間常數。 單位階躍響應 可見系統的輸出響應由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩部分組成，當時間t時，暫態(tài)分量衰減為零。 這是一條單調上升的指數曲線，初始值為0，穩(wěn)態(tài)值為1。0tc(t)輸出由兩部分組成：一部分不隨時間變化1；另一部分隨隨時間變化 。因此，系統的階躍輸出是隨時間變化的一階系統的單位階躍響應具備兩個重要的特點：0.950.980.6321 2 3 4 5 00.20.40.60.81tC(t)

11、C() 可見，調整時間只與時間常數有關。時間常數越小，系統響應越快。1）當t= 時，即當t等于時間常數時，響應c(t)達到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。調整時間： ts=3 （對應5%誤差帶） 或ts=4 （對應2%誤差帶）同樣的方法可以算出，當t=2 、3 、4 和5 時， c(t)將分別上升到86.5% 、95% 、98.2%和99.3% 。一階系統的單位階躍響應具備兩個重要的特點： 這也是在單位階躍響應曲線上確定一階系統時間常數的方法之一。0.950.980.6321 2 3 4 5 00.20.40.60.81tc(t)c()斜率=1/2）響應曲線的初始斜率等于 。上式表明：如果系統輸出響應一直

12、以初始速度 上升，則達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間恰好為 。 一階系統單位脈沖響應 一階系統的單位脈沖響應曲線是一條單調衰減的指數曲線。只包含瞬態(tài)分量！脈沖響應的積分就是階躍響應而另一方面，階躍信號是脈沖信號的積分如果將脈沖信號做積分運算一階系統單位斜坡響應0t引入穩(wěn)態(tài)誤差的概念：當時間t趨于無窮時，系統單位階躍響應的實際穩(wěn)態(tài)值與給定值之差。即：一階系統單位斜坡響應存在穩(wěn)態(tài)誤差從曲線上可知，一階系統單位斜坡響應達到穩(wěn)態(tài)時具有和輸入相同的斜率，只要在時間上滯后, 這就存在著ess= 的穩(wěn)態(tài)誤差。0t一階系統單位加速度響應 一階系統在加速度函數輸入作用下，其誤差隨時間推移而增長，直到無限大。閉環(huán)極點（特征根

13、）：-1/ 時間tr上 升峰值時間tpAB超調量Mp =AB100%調節(jié)時間ts暫態(tài)性能指標復 習暫態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程一階系統框圖-2.閉環(huán)傳遞函數（3）調節(jié)時間0.950.980.6321 2 3 4 5 00.20.40.60.81tC(t)C()ts=3 （對應5%誤差帶）ts=4 （對應2%誤差帶）結 論（1） 一階慣性環(huán)節(jié)沒有超調，達不到輸出值，故MP=0，tr=，tp=，（2）脈沖、階躍穩(wěn)態(tài)誤差為零，斜坡響應為 ， 拋物線為框圖用二階微分方程描述的控制系統稱為二階系統。它是控制系統常見的組成形式，許多高階系統在一定的條件下常近似地用二階系統來表征。3-5 二階系統的暫態(tài)響應- 框圖2.

14、閉環(huán)傳遞函數-由傳遞函數內容回顧：求解輸出響應c(t)得輸出的拉普拉斯變換將輸出進行拉普拉斯反變換得輸出的時域形式(單位階躍響應)共軛復根的實部一、二階系統的單位階躍響應一、二階系統的單位階躍響應這是典型二階系統的傳遞函數，其中 阻尼比或衰減系數無阻尼自然振蕩角頻率由系統的特征方程不難求出閉環(huán)系統的極點特征根為：閉環(huán)傳遞函數 二階系統單位階躍響應當 不同時，特征根和階躍響應有不同的形式。時特征根為：時特征根為：負阻尼（ 0）極點實部大于零，響應發(fā)散，系統不穩(wěn)定。特征根為： -1單調發(fā)散 -1 0振蕩發(fā)散特征根為：特征根為一對共軛虛根 當 時，無阻尼情況此時輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以 稱為無

15、阻尼振蕩頻率。無阻尼（ =0）特征根為一對具有負實部的共軛復根 當 時，欠阻尼（0 1） 當 時， 階躍響應為非振蕩單調上升過程，但上升速度比臨界阻尼時緩慢。過阻尼情況從圖可見：（）越小，振蕩越厲害，當增大到以后，曲線變?yōu)閱握{上升。（）之間時，欠阻尼系統比臨界阻尼系統更快達到穩(wěn)態(tài)值。（）在無振蕩時，臨界阻尼系統具有最快的響應。（）過阻尼系統過渡過程時間長。二階系統的時域響應二階系統的特征參量阻尼比和無阻尼自然振蕩角頻率對系統的響應具有決定性的影響。現在針對阻尼的情況，討論暫態(tài)響應指標與特征參量的關系。 二、二階系統暫態(tài)響應的性能指標欠阻尼情況 稱為阻尼角到虛軸的距離：到實軸的距離：到原點的距離

16、：極點分布圖0與負實軸夾角：欠阻尼情況單位階躍輸入時，輸出的拉氏變換為：欠阻尼情況單位階躍輸入時，輸出為：當 時， 上升時間增大 或減小 ，均能減小 ，從而加快系統的初始響應速度。0tc(t)上升時間 峰值時間整理得：由于 出現在第一次峰值時間，取n=1，有：增大 或減小 ，均能減小 ，從而加快系統的初始響應速度。閉環(huán)極點離實軸越遠，峰值時間越小。0tc(t) 最大超調量將峰值時間 代入 得最大超調量只和阻尼比 有關， 越大， 越小。0tc(t)AB00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100越大，超調量越小 與穩(wěn)態(tài)值 之間的差值達到允

17、許范圍（取或）時的暫態(tài)過程時間滿足上式的值有多個，按定義，其中最小的值是調整時間為簡單起見，采用近似的計算方法，認為指數項衰減到0.05或0.02時，暫態(tài)過程結束，因此忽略正弦函數的影響，得到 調節(jié)時間由此可求得設計系統時，通常由要求的 決定，所以 由 所決定近似與成反比,閉環(huán)極點離虛軸越遠， 越小 阻尼比 是二階系統的一個重要參數，用它可以間接地判斷一個二階系統的暫態(tài)品質?？偨Y 在 的情況下階躍響應為單調變化曲線，無超調和振蕩，但 長。 當 時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統不能穩(wěn)定工作。 在 的情況下階躍響應為衰減振蕩，暫態(tài)性能較好?？偨Y 在欠阻尼 情況下工作時，若 過小，則超調量大，調

18、節(jié)時間長，暫態(tài)性能差。 最大超調量 只與 有關，所以一般根據 來選擇 。 在 之間，調節(jié)時間和超調量都較小。工程上常取 作為設計依據，稱為最佳阻尼比。 解：閉環(huán)傳遞函數為：例：如圖所示系統， 試求： 和 ; 和 若要求 ， 當T不變時K=?當T不變時，T=0.25，過阻尼：x1欠阻尼：0 x1欠阻尼：0 x 0 。2.判斷各項系數是否都為正值 特征方程式各項系數均為正值是系統穩(wěn)定的必要條件。一、勞斯判據3.如果所有系數都是正的，則可以將多項式系數按下列格式列出勞斯陣列表（勞斯表）勞斯表的前兩行由特征方程的系數組成。第一行為1，3，5，項系數組成，第二行為2，4，6，項系數組成。 用同樣的方法，

19、求取表中其它行的系數，一直進行到第n+1行（s0行）為止。 為了簡化數值計算，可以用一個正數去除或乘某一行的各項，并不改變穩(wěn)定性的結論。4.根據勞斯表中第一列各元素的符號，用勞斯判據來判斷系統的穩(wěn)定性勞斯判據： 系統穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列各元素均為正數。如果第一列系數中有負數，則系統不穩(wěn)定，且第一列系數符號的改變次數等于特征方程式的根在s平面右半部分的個數。例1：特征方程為： ，試判斷穩(wěn)定性。解：勞斯表為：系統穩(wěn)定的充要條件為： 均大于零 且例2：系統的特征方程為：-1 3 0（ 2）1 0 0（ ） 勞斯表第一列有負數，系統是不穩(wěn)定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點在s的右半平面。解：

20、勞斯表為：二、 勞斯判據的兩種特殊情況1）勞斯表某一行中的第一列項等于零，但其余各項不全為零或者沒有其余項。處理方法 用一個很小的正數來代替這個零，并據此計算出陣列中的其余各項。如果上下兩項的符號相同，則說明系統存在一對虛根，系統處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果不同，表明有一次符號變化，系統不穩(wěn)定。若 則例：特征方程式為： ，試判斷穩(wěn)定性。解：勞斯表為：故第一列有兩次符號變化，s右半平面有兩個極點，系統不穩(wěn)定 。2）勞斯表某一行中所有的系數都為零大小相等符號相反的實根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復根表明在s平面內存在大小相等但位置徑向相反的根，至少要下述幾種情況之一出現:2）勞斯表某一行中所有的系數都為

21、零處理方法 可將不為零的最后一行的系數組成輔助方程，并以此輔助方程式對s求導所得方程的系數代替全零的行。 大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到，而且根的數目總是偶數（輔助方程應為偶次數的）。設系統特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞 斯 表s0s1s2s3s451756116601 勞斯表何時會出現零行?2 出現零行怎么辦?3 如何求對稱的根? 由零行的上一行構成輔助方程: 有大小相等符號相反的特征根時會出現零行s2+1=0對其求導得零行系數: 2s1211繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統穩(wěn)定錯啦!勞斯表出現零行系統一定不穩(wěn)定求解輔助方程得: s1,2=j由綜

22、合除法可得另兩個根為s3,4= -2,-3例：1 6 81 6 8輔助方程為：求導得：用1，3，0代替全零行即可?；蛞驗榈谝涣性囟即笥诹?，所以系統是穩(wěn)定的。第一列元素都大于零，說明s右半平面沒有閉環(huán)極點。但出現了全零行，表明系統有共軛虛數極點。例：輔助方程為：此時系統是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J為是不穩(wěn)定的。系統的共軛虛數極點可由輔助方程求出。解得：設系統的特征方程式為：則系統穩(wěn)定的充要條件是： ，且由特征方程系數構成的赫爾維茨行列式的主子行列式全部為正。古爾維茨行列式的構造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數 至最后一項系數 ，在主對角線以下各行中各項系數下標逐次減小，在主對角線以上各行

23、中各項系數下標逐次增加。當下標大于n或小于0時，行列式中的項取0。 赫爾維茨行列式：三、赫爾維茨判據以4階系統為例使用赫爾維茨判據：赫爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：四、代數判據的應用 判定控制系統的穩(wěn)定性例： 系統的特征方程為： ，判斷系統的穩(wěn)定性。解：勞斯表如下：因為 ，但勞斯表第一列不全為正，所以，系統不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統在s右半平面有兩個極點。 分析系統參數變化對穩(wěn)定性的影響 利用代數穩(wěn)定性判據還可以討論個別參數對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數的取值范圍。若討論的參數為開環(huán)放大系數 K，則使系統穩(wěn)定的最大K 稱為臨界放大系數KL 。例：已知系統的結構圖，試

24、確定系統的臨界放大系數。解：閉環(huán)傳遞函數為：特征方程為：勞斯表：要使系統穩(wěn)定，必須系數皆大于0，勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數特征方程為：（1）若得 負值 ，應將結果改為 假定我們不取K為負值。（2）實際上要求系統工作在K小于臨界值的狀態(tài)，當K=臨界值時，系統的單位階躍響應是等幅振蕩，相當于有一對共軛負數極點位于虛軸上。顯然不能正常工作。 確定系統的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量） 利用勞斯和赫爾維茨穩(wěn)定性判據確定的是系統穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對穩(wěn)定性。在實際系統中，往往需要知道系統離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。 確定系統的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量） 利用實部最大的特征方程的根

25、p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統穩(wěn)定裕量。 作 的垂線，若系統的極點都在該線的左邊，則稱該系統具有 的穩(wěn)定裕度。一般說， 越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以 z 為變量的新的特征方程，用勞斯-赫爾維茨判據進行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統具有 的穩(wěn)定裕度。例：系統特征方程為： 。 行全為零，以它上面的行組成輔助方程 。對輔助方程求導，用其系數代替 行，其系數為1。有一對共軛虛根，所以系統的穩(wěn)定裕量恰為1。用勞斯判據可知它是穩(wěn)定的。判斷它是否具有穩(wěn)定裕量 a =1。令 則：12小結：系統穩(wěn)定的充要條件是系統的特征根位于左半S平面勞斯判據不僅可判定系統的穩(wěn)定性，還可給出使系統

26、穩(wěn)定的某一參數的范圍。勞斯判據沒有也不能說明為避免系統不穩(wěn)定，應該采取的校正途徑線性定常系統穩(wěn)定的充要條件系統特征方程的根（即閉環(huán)極點）全部具有負實部?；蛘哒f，特征方程的根應全部位于s平面的左半平面。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定s平面穩(wěn)定系統在受到外界擾動作用時，其被控制量將偏離平衡位置，當這個擾動作用去除后，若系統在足夠長的時間內能自動恢復到其原來的平衡狀態(tài)，則該系統是穩(wěn)定的。復 習使用勞斯判據判斷系統穩(wěn)定性的步驟如下：1.列出系統特征方程式式中各項系數均為實數，且使 a0 0 。2.判斷各項系數是否都為正值 特征方程式各項系數均為正值是系統穩(wěn)定的必要條件。勞斯判據復 習3.如果所有系數都是正的，

27、則可以將多項式系數按下列格式列出勞斯陣列表（勞斯表）復 習4.根據勞斯表中第一列各元素的符號，用勞斯判據來判斷系統的穩(wěn)定性勞斯判據： 系統穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列各元素均為正數。如果第一列系數中有負數，則系統不穩(wěn)定，且第一列系數符號的改變次數等于特征方程式的根在s平面右半部分的個數。復 習作業(yè)3-15、3-163-11 控制系統的穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)性能是控制系統的又一重要特性,它表征了系統跟蹤輸入信號的準確度或抑制擾動信號的能力。而衡量系統穩(wěn)態(tài)性能的重要指標是穩(wěn)態(tài)誤差的大小。穩(wěn)態(tài)：當時間趨于無窮大時的固定響應。恒值控制系統：恒值隨動控制系統：跟隨輸入變化 正弦輸入下系統響應是正弦波一 穩(wěn)態(tài)誤差

28、的定義 對穩(wěn)定系統而言，在輸入加入后，經過足夠長的時間，其暫態(tài)響應已衰減到微不足道時，穩(wěn)態(tài)響應的期望值與實際值之間的誤差。給定輸入下的誤差給定誤差擾動輸入下的誤差擾動誤差 控制系統穩(wěn)態(tài)誤差分類從輸入端定義給定誤差:給定誤差定義為輸入信號r(t)與反饋信號b(t)之差，即：給定穩(wěn)態(tài)誤差系統的穩(wěn)態(tài)誤差與系統的結構有關,還與輸入信號的大小及形式有關。而系統的穩(wěn)定性的只取決于系統的結構。R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s)擾動誤差:擾動作用將使系統輸出值c(t)偏離要求值而出現誤差通常以擾動輸出量cn(t)的穩(wěn)態(tài)值作為系統的擾動誤差擾動誤差是從輸出端定義的R(s)C(s)H(s)Er(s

29、)B(s)N(s)不考慮擾動量，給定R(s) 后，反饋量的象函數為二、誤差傳遞函數響應的期望值為R(s) ，給定誤差的象函數為R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s)系統的給定誤差傳遞函數不考慮輸入量，給定N(s) 后，響應的象函數對應于擾動量的響應就是擾動誤差，所以擾動誤差的象函數為R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s) 系統的擾動誤差傳遞函數線性系統的穩(wěn)定性對控制系統按照跟蹤階躍輸入信號，斜坡輸入信號和拋物線輸入信號的能力進行分類，分為0、I、II 型三、控制系統的類型H(s)中不含積分環(huán)節(jié) =0 不含積分環(huán)節(jié) 0 型系統=1 含一個積分環(huán)節(jié) I 型系統=2 含二個積

30、分環(huán)節(jié) II 型系統 這時，不考慮擾動的影響?？梢詫懗鱿到y的給定誤差：3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算R(s)C(s)H(s)Er(s)B(s)N(s) 對穩(wěn)定的系統，可利用拉氏變換的終值定理 計算穩(wěn)態(tài)誤差 只有穩(wěn)定的系統，才可計算穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差例:系統結構圖如圖所示，當輸入信號為單位斜坡函數時，求系統在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調整K值能使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？-解：只有穩(wěn)定的系統計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義,所以先判穩(wěn)系統特征方程為由勞斯判據知穩(wěn)定的條件：由穩(wěn)定的條件知： 不能滿足 的要求顯然， 與輸入和開環(huán)傳遞函數有關。給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算式中： 開環(huán)放大系數

31、； 積分環(huán)節(jié)的個數； 開環(huán)傳遞函數去掉積分和比例環(huán)節(jié)假設開環(huán)傳遞函數 的形式如下：可見給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關；與時間常數形式的開環(huán)增益有關；與積分環(huán)節(jié)的個數（系統型號）有關。式中： 稱為靜態(tài)位置誤差系數； 當輸入為 時（單位階躍函數） 穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統稱為無差系統，為有限值的稱為有差系統。 的大小反映了系統在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說 反映了系統跟蹤階躍輸入的能力。 在單位階躍作用下，0型系統( )為有差系統，型以上的系統( )為無差系統。 當輸入為 時（單位斜坡函數）式中： 稱為靜態(tài)速度誤差系數； 的大小反映了系統在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說

32、反映了系統跟蹤斜坡輸入的能力。 當輸入為 時（單位斜坡函數）有差系統 當輸入為 時（單位加速度函數）式中： 稱為靜態(tài)加速度誤差系數； 的大小反映了系統在拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說 反映了系統跟蹤拋物線輸入的能力。 當輸入為 時（單位加速度函數）有差系統靜態(tài)誤差系數和給定穩(wěn)態(tài)誤差系統類型靜態(tài)誤差系數穩(wěn)態(tài)誤差KpKvKa階躍輸入r(t)=R1(t)斜坡輸入r(t)=Rt拋物線輸入r(t)= Rt2/20型型型 當系統的輸入信號由位置、速度和加速度分量組成時，即線性系統的穩(wěn)定性例- 設單位反饋系統的開環(huán)傳函為其中均為大于零的常數，求系統給定穩(wěn)態(tài)誤差終值 。線性系統的穩(wěn)定性解：此為

33、型系統試分別求出H(s)=1和H(s)=0.5時系統的穩(wěn)態(tài)誤差。-例:某控制系統的結構圖為解:則系統穩(wěn)態(tài)誤差當H(s)=1時,系統的開環(huán)傳遞函數為靜態(tài)位置誤差系數： 當H(s)=0.5時,則系統穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)位置誤差系數： 若上列在H(s)=1時,系統的允許誤差為0.2,問開環(huán)增益k應等于多少? 靜態(tài)位置誤差系數： 小結：給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關。對同一系統加入不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。與時間常數形式的開環(huán)增益有關；對有差系統，K，穩(wěn)態(tài)誤差，但同時系統的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。與積分環(huán)節(jié)的個數有關。積分環(huán)節(jié)的個數，穩(wěn)態(tài)誤差，但同時系統的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。 由此可見，提高系統的型號,增大系統的開環(huán)增益,都會提高系統的精度,但這樣又會降低穩(wěn)定性。因此，對穩(wěn)態(tài)誤差的要求往往與系統的穩(wěn)定性和動態(tài)特性的要求是矛盾的，必須綜合考慮。 使用拉氏變換終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差終值的條件是:sEr(s)的全部極點除坐標原點外應全部位于s左半平面。 如給定輸入為正弦函數時，r(t)=sinwt 的極點在s平面的虛軸上，不能使用終值定理去求取系統的穩(wěn)