熱力學統(tǒng)計物理A

1、電子科技大學2008至2009學年第1學期熱力學.統(tǒng)計物理 課程考試題（A卷）（120分鐘）考試形式：閉卷 考試日期：2008年12月28日一四五六七八九十總分評卷教師一.填空題（本題共7題，每空3分，總共21分）1=，則PT1（dV1假設一物質(zhì)的體漲系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)經(jīng)過實驗測得為：a三習|方| =事；kV kdT）T T該物質(zhì)的物態(tài)方程為：牛 =const。1 mol理想氣體，保持在室溫下（T = 300 K）等溫壓縮，其壓強從1Pn準靜態(tài)變?yōu)?0Pn，則氣體在該過程所放出的熱量為：RT ln10 = 5.74 x 103焦耳。計算機的最底層結構是由一些數(shù)字邏輯門構成的，比如說邏輯與門，有

2、兩個輸入，一個輸出，請從統(tǒng)計物理 的角度估算，這樣的一個邏輯與門，室溫下（T = 300K）在完成一次計算后，產(chǎn)生的熱量是：kT ln2 = 2.87 x 10-21 焦耳。已知巨熱力學勢的定義為J = F - N，這里F是系統(tǒng)的自由能，N是系統(tǒng)的粒子數(shù)，R是一個粒子的化學勢，則巨熱力學勢的全微分為：dJ = -SdT - pdV - N血。5.已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達式為 =二（p2 + p2 + p2）+ ax + bx2 + c，其中a,b,c是常 2m x y z數(shù)，則粒子的平均能量為：2kT。6.溫度T時，粒子熱運動的熱波長可以估算為:入=或者入= 2mnkTh2mk

3、T7.正則分布給出了具有確定的粒子數(shù)N、體積V、溫度T的系統(tǒng)的分布函數(shù)。假設系統(tǒng)的配分函數(shù)為Z，微e - EskT觀狀態(tài)s的能量為E，則處在微觀狀態(tài)s上的概率為：P =-二.簡答題（本題共3題，總共30分）1.請從微觀和統(tǒng)計物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。（10分）答：（1）熱力學中研究的熱平衡輻射系統(tǒng)，是一個和腔壁達到熱力學平衡的系統(tǒng)，熱力學理論可以證明，它的吉布斯函數(shù)為零。（2分）（2）從微觀角度看，平衡輻射場可以認為是光子氣體，每一個單色平面波對應于一個能量和動量 確定的光子，腔壁中的輻射場對應于能量和動量從零到無窮大連續(xù)取值的光子氣體。輻射場和腔 壁不斷發(fā)生熱交換，從

4、微觀角度來看，相當于交換光子，因此，腔壁中的光子數(shù)不守恒。（2分）（3）光子是玻色子，滿足玻色分布。在確定玻色分布公式的時候，由于光子數(shù)不守恒，因此確定 TOC o 1-5 h z 第一個拉氏乘子a的條件不存在，從物理上理解，這個拉氏乘子a就應該為零，因為a*， 故化學勢為零。（4分）（4）化學勢即為摩爾吉布斯函數(shù)（或者單個光子的吉布斯函數(shù)），光子氣體的吉布斯函數(shù)等于摩爾數(shù)（或者平均分子數(shù)）乘上化學勢，因此光子氣體的吉布斯函數(shù)為零。（2分）請說說你對玻耳茲曼分布的理解。（10分）答：（1）系統(tǒng)各個能級中的粒子數(shù)，構成一個數(shù)列，稱為分布。物理上，需要在給定的分布下， 確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。（3分

5、）（2）玻耳茲曼系統(tǒng)是這樣的一個系統(tǒng)，它的各個粒子是可以分辨的，因此，要確定玻耳茲曼的微觀狀態(tài)，就需要確定每一個粒子的微觀狀態(tài)，給出玻耳茲曼系統(tǒng)的一個分布，只是確定了每一個 能級的粒子數(shù)，但是這些粒子是哪一些粒子并沒有確定。（3分）（3）由于等概率原理，在給定的宏觀狀態(tài)下，任何一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是一樣的。不同的分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)是不一樣的，因此，對應微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，這就是 最概然分布。玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布就是玻耳茲曼分布。（4分）等概率原理以及在統(tǒng)計物理學中的地位。（10分）答：（1）作為熱運動的宏觀理論，熱力學討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由幾個宏觀參量表征，例如對

6、于一個孤立系統(tǒng)，可以用粒子數(shù)N、體積V和能量E來表征系統(tǒng)的平衡態(tài)，狀態(tài)參量給定之后，處 于平衡態(tài)的系統(tǒng)的所有宏觀物理量都具有確定值。（2分）（2）系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是指構成系統(tǒng)的每一個粒子的力學運動狀態(tài)，顯然，在確定的宏觀狀態(tài)之下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生及其復雜的變化，例如，對于一個沒有 相互作用的系統(tǒng)中，總能量是由N個單粒子能量的簡單求和得到的，因此，將會有大量不同的方 式選擇個別粒子的能量使其總和等于總能量。（2分）（3）等概率原理認為：在任意時刻，該系統(tǒng)處于各個微觀態(tài)中的任意一個狀態(tài)都是同等可能的， 也就是概率是一樣的。對于一個孤立系統(tǒng)，數(shù)學表述就是：設所有可能的

7、微觀狀態(tài)的數(shù)目Q是粒 子數(shù)N、體積V和能量E的函數(shù)：O = O（N,V,E），則每一個微觀狀態(tài)的概率為16。（3分）（4）統(tǒng)計物理認為，宏觀物理量是相應的微觀物理量的系綜平均值，要求系綜平均值，就必須知 道系統(tǒng)在各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。等概率原理給出了孤立系統(tǒng)的各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，因 此，只要知道總的微觀狀態(tài)數(shù)，就可以計算各種宏觀物理量。這樣，等概率原理在連接宏觀物理量和相對應的微觀物理量之間建立了一個可以計算的橋梁。當然，實際上，對給定的孤立系統(tǒng)， 計算總的微觀狀態(tài)數(shù)一般是很困難的，但是它是分析其他問題（如分析正則分布和巨正則分布） 的基礎，等概率原理也稱為微正則分布。（3分）三.計算題

8、（本題共4題，總共49分）1. 一均勻桿的長度為L，單位長度的定壓熱容量為cp，在初態(tài)時左端溫度為T1，右端溫度為T2 , T T2 , 從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請計算桿達到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用 到的積分公式為 jln x - dx = j d（x - In x - x）。）（10分）答：設桿的初始狀態(tài)是左端/ =0溫度為，右端I = L為T，從左到右端，位于/到”+出的初始溫度為T - T 1T - TT = Ti +Pj Ld (-1T2- T 0 L,達到平衡后溫度為加，這一小段的熵增加值為:T +T12dS = c dlT + T dT寸=Cpd

9、1 -ln T-T- T + _11 i L（4分）根據(jù)熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為 L1 C L L T + T( T -T AS = j dS = jLc dl - In2= jLc dl ln2-jLc dl - In T +110 p T + T2- Ti 10 p 20 p 1 L 1 L+ T2 - T 1L=c L - In T1 + T2 - cp2 pTT=c L ln2T1 + T2pe 1 e j T2 dx In xT - T T21- 1=c L In T1 + T2 - c L 1 (T In T - TIn T - T + T )p2 p T -221121

10、（6分）2.設一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p = f （V）T，試證明其內(nèi)能和體積無關。（10分）證明：以（V,尸）作為自變量，則熵的全微分為:dS =dT +dV(3分)利用熱力學基本微分方程，有:dU = TdS pdVdS )I dT + T 、dT )V=T傍VdT + T當當dV JTdV - pdV-P dV因此有:dU dV JT（3分）由麥氏關系代入上式，可以得到：竺1dV ）T_TP | _TI I pdT )V利用物態(tài)方程可以知:故有:=f (V)dU dV *=T ddL) p = Tf (V) p = 0V（4分）得證。3.表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運動，可

11、以看作是二維氣體。請用經(jīng)典統(tǒng)計理論計算:（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。（9分）（2）二維氣體分子的最概然速率。（4分）答：玻耳茲曼分布的經(jīng)典表達式是Aw（2分）a = e a部 i/hr0在沒有外場時，二維情況下的分子質(zhì)心運動能量的經(jīng)典表達式為e = 2m=2m(px+p2)在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動動量在dp dPy范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為一 dp dp0因此，在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動動量在dp dpy范圍內(nèi)的分子數(shù)為A 1 c c一 e -眼 2 mkT +p 2） dp dp0參數(shù)由總分子數(shù)為N的條件定出jj _Ae-眼（p：+p2）dp dp = Nh 2x y0積分出，得1 N1e

12、-a =h 22兀 mkT A 0因此，質(zhì)心動量在dp.py范圍內(nèi)的分子數(shù)為N 2 燈 e -力（P；+p-2）dp dp用速度作為變量，p = mv ;p = mv，上式化為: TOC o 1-5 h z yyN 命 eUPdVxdVy這就是在面積A內(nèi)，分子在dvxdvy范圍內(nèi)的分子數(shù)。用n = NA表示單位面積內(nèi)的分子數(shù)，則在單位面積內(nèi)， 速度在dv dv范圍內(nèi)的分子數(shù)為 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document f （v , v ）dv dv = n m e一2kT（v； +叩dv dv （5分）x y x y2 兀 kTx y這就是二維情況下的

13、速度分布律。歸一化條件為:jj f （v , v ）dv dvx y x y=jj ne 2 kT2兀kTm-（v2 危2）dv dv=n化為極坐標，并對角度進行積分，可得二維情況下的速率分布律（2分）f （v）dv = nme 一 2 kTv 2vdvkT最概然速率vm滿足條件:空=nd （e-斯2v） = 0 dv kT dv由此得到:(4分)It弋m在這個速率附近，分子數(shù)最多。（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強和內(nèi)能的關系為：UP = A這里，A是面積。這個結論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費米分布都是成立的。（8分）（2）假設自由電子在二維平面上運動，電子運動為非相對論性的

14、，面密度為 =Na，試求0 K時電子氣體 的費米能量、內(nèi)能和簡并壓強。（8分）答：（1）不妨假設二維空間為正方形，邊長為L，根據(jù)周期性邊界條件，二維自由粒子在x和） 方向的動量分量的可能取值為:h p =一 n ; n = 0,1,2,Ahp = /n ;n = 0,1,2,A因此對于非相對論的自由粒子，能量為：=已=(-)2(n 2 + n 2)=一件(n 2 + n 2) = aA-1nxny2m 2m L x y2m A x y以單一指標Z代替（n ,n ），上式可以記為： = aA-1Z因此當有N個粒子存在時，產(chǎn)生的壓強為：p = 一 aBA iZ=- (-1)aA - 2 aZZ=A-1 乙 aZU A（8分）（2）在面積A = L2內(nèi)，在p - p + dp內(nèi)，自由粒子的量子態(tài)的數(shù)目為:(L )22 叩 dph由于電子自旋為2，因此利用自由粒子的非相對論能量動量關系 = p22m，得到在 - + d 內(nèi)，自由電子的量子態(tài)的數(shù)目為：A4Am 一2 2 兀md =dh2h2根據(jù)費米分布，一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：f = 1ea + 阮 + 1在面積A內(nèi)，在 - + d內(nèi)，自由電子的數(shù)目為:4Am1,4 兀Am TOC o 1-5 h z dN =d8 =d8h 2 ea + 阮 + 1h 2 e（8-四