彈性力學簡明教程-第四章-課后作業(yè)題答案

1、9第四章平面問題的極坐標解答【4-8】實心圓盤在p二r的周界上受有均布壓力q的作用，試導出其解答?！窘獯稹繉嵭膱A盤是軸對稱的，可引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中的式（4-11），即Ac=+B（1+2lnp）+2CTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 Pp2Ac=+B（3+2lnp）+2C HYPERLINK l bookmark44 9P2T=0P9丿（a）首先，在圓盤的周界（P=r）上，有邊界條件（0）=-q，由此得pp=rA0=+B（1+2lnp）+2C二-qpp2（b）其次，在圓盤的圓心，當pt0時，式（a）中c,c的第一、第二項均趨p9于無限大，這是不可能

2、的。按照有限值條件（即，除了應(yīng)力集中點以外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。），當p=0時，必須有A=B=0。把上述條件代入式（b）中，得C=-q/2。所以，得應(yīng)力的解答為c=c=-qT=0。p9p9【4-9】半平面體表面受有均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)=p2（Bsin20+5）求解應(yīng)力分量（圖4-15）o【解答】（1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程V4=0，顯然滿足。（2）由求應(yīng)力分量表達式c=-2Bsin2p+2C9pc=2Bsin29+2C99t=-2Bcos29-C兀(3)考察邊界條件：注意本題有兩個9面，即申=2，分別為p面。在p面上，應(yīng)力符號以正面正向、負面負向為正。因此，有(G)=0,

3、得C=0；99二土兀2(p)=-q,得B=-您。P99=土兀22將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，得Q=qsin29p9=-qsin299T=qcos29P9【4-14】設(shè)有內(nèi)半徑為r而外半徑為R的圓筒受內(nèi)壓力q，試求內(nèi)半徑和外半徑的改變量，并求圓筒厚度的改變量?！窘獯稹勘绢}為軸對稱問題，只有徑向位移而無環(huán)向位移。當圓筒只受內(nèi)壓力q的情況下，取應(yīng)力分量表達式，教材中式(4-11)，注意到B=0。內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求(T)=0,(T)=0;P9P=rP9P=R9)=-q,9)=0PP=rPP=R由表達式可見，前兩個關(guān)于1的條件是滿足的，而后兩個條件要求=-q,=0。A+2Cr2VAc+2CR2由上式

4、解得qr2R2（R2-丫2）qr22（R2-丫2）(a)把A，B，C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分離，教材中式(4-12)oqr2E（R2-）（1+RP+Icos9+Ksin9,（b）（c）u=HP-Isin9+Kcos9=0。9式(c)中的P，9取任何值等式都成立，所以各自由項的系數(shù)為零H二I所以，軸對稱問題的徑向位移式（b）為qr2Er2)p)p+E口而圓筒是屬于平面應(yīng)變問題故上式中ET1芯,尸占代替，則有1+R2+p2EP1一|LX2此時內(nèi)徑改變?yōu)閒1+卩11一卩丿R2+f1卩11一卩丿R21R2+r2Er1一卩2外徑改變?yōu)閒1+卩11一卩丿R2+f1卩11一卩丿R2r2ER1一|L

5、X2qr(1一p2)2rRgR2一r2圓環(huán)厚度的改變?yōu)閝r1一p2)u一uRr【4-16】在薄板內(nèi)距邊界較遠的某一點處，應(yīng)力分量為=二0，xyT二q，如該xy處有一小圓孔，試求孔邊的最大正應(yīng)力?！窘獯稹浚?）求出兩個主應(yīng)力，即X2y土二+q。原來的問題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下兩邊受均布壓力q，如下圖所示。根據(jù)教材中的式（4-18）TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 r2r2o-qcos2q)(l-)(1-3),PP2P2r4o=-qcos2q)(l+3),9P4r2r2tt-qsin2g)(l-)(1+3一 HYPERLINK l book

6、mark80 P99PP2p2(4-18)沿著孔邊P=r，環(huán)向正應(yīng)力是申=4qcos2qo最大環(huán)向正應(yīng)力為C-4q。max4-17】同習題【4-16,但解答】（1）求出兩個主應(yīng)力，-G=T=q。yxy即g-GxyI2丿原來的問題變?yōu)榫匦伪“逯辉谧笥覂蛇吺芫祭?q,如下圖所示。CiG2G+Gxy+2+T2xy2q，0。q+qG+G可以將荷載分解為兩部分：第一部分是四邊的均布拉力鬥2玄-q，第二部分是q-qG-Gq-q左右兩邊的均布拉力答2-Ty-q和上下兩邊的均布壓力鬥2-q。對于第一部分荷載，可應(yīng)用教材中的式（4-17），對于第二部分荷載，可應(yīng)用教材中的式（4-18），將兩部分解答疊加，即得原荷載作用下的應(yīng)力解答（基爾斯解答）=q(1-工)+qcos2(1r2)(1-3r2),PP2P2