浴缸問(wèn)題分析1

1、問(wèn)題的重述一個(gè)人在一個(gè)水容器中洗澡，但是隨著溫度的降低， 會(huì)使人感覺(jué)到不舒服，由于浴缸不是一個(gè)具有二次加熱系 統(tǒng)和循環(huán)射流的水療浴缸(溫泉式的桶)，所以浴缸中的 人增加了一個(gè)連續(xù)不斷提供熱流的水龍頭，并且當(dāng)浴缸快 要達(dá)到它的額定容積時(shí)，多余的水通過(guò)溢漏流出。要使人 體在浴缸中達(dá)到滿意的舒適度，需要控制熱水龍頭的溫度、 出水的流速以及出水的流速。建立一個(gè)最基本的數(shù)學(xué)模型，得到溫度在人不 運(yùn)動(dòng)時(shí)的分布模型。如果人運(yùn)動(dòng)，必將影響水在浴缸中的蒸發(fā)速度， 得到更優(yōu)的溫度分布模型。在問(wèn)題(1)的情況下，如果考慮熱水龍頭在浴 缸中各向熱傳導(dǎo)系數(shù)不同，得到另一個(gè)溫度分布模型。如果浴缸的形狀、體積改變以及人的形

2、狀、體 積、溫度改變，最終影響的也是熱傳導(dǎo)系數(shù)，所以不建立 模型，只作說(shuō)明。2 .模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明1模型的假設(shè)與說(shuō)明浴缸中的初始水溫己經(jīng)達(dá)到恒溫，在各位置的 溫度都是相同的。浴缸中的水的溫度在空間和時(shí)間上分布是連續(xù)的。忽略浴缸中的水與器壁的熱量交換假設(shè)人在水中的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，并且頭部始 終保持在水面上方。說(shuō)明：(1)對(duì)于假設(shè)(2),由于熱水進(jìn)入時(shí)熱量不 能驟變，并且單位時(shí)間內(nèi)傳遞的熱量很多，故視其為連續(xù) 函數(shù)是合理的，從而可以把優(yōu)化問(wèn)題歸結(jié)為熱傳導(dǎo)、熱擴(kuò) 散問(wèn)題。(2)對(duì)于假設(shè)(3),為了避免在浴缸中洗澡喪失更 多的熱量，浴缸的器壁可以看成一個(gè)恒溫物體，與浴缸中 的水溫相同，不進(jìn)行熱量交

3、換，或者交換的熱量忽略不計(jì)。2.2符號(hào)的使用和說(shuō)明3符號(hào)的說(shuō)明：c表示水的比熱容P表示水的密度耳表示熱水龍的的截面面積Ti表示從水龍頭進(jìn)入浴缸的水的初始溫度u(x,y,乙t)表示浴缸內(nèi)水溫關(guān)于空間和時(shí)間的函數(shù) 人表示浴缸內(nèi)(x,y,z)處水的熱流密度的影響系數(shù) S4表示溢漏水管的截面面積L表示溢出水的溫度3 .模型前的準(zhǔn)備3.1建模前的公式運(yùn)用準(zhǔn)則解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵之一是認(rèn)識(shí)到水分子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，以及 熱傳導(dǎo)的兩個(gè)方程、一個(gè)定理，以及運(yùn)用能量守恒定律。由 此可以得到下列的準(zhǔn)則和定理。準(zhǔn)則1：孤立系統(tǒng)的能量永遠(yuǎn)守恒。定理1：凈吸收的熱量=散發(fā)出的熱量顯然，凈吸熱為熱源出提供的熱量減去流出的熱量，散

4、發(fā)出 的熱量為水蒸發(fā)和傳遞給人的熱量，能量總體平衡。準(zhǔn)則2：在整個(gè)以浴缸、人、熱源、空氣為整個(gè)系統(tǒng)中，滿 足熱傳導(dǎo)方程。定理2：傅里葉定律：熱流向量與溫度梯度成正比，方向相反。，他= r（w,z）客其中久稱為材料的導(dǎo)熱系數(shù)。dn說(shuō)明：傅里葉定律適用于穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)的、無(wú)熱源和有熱源 的溫度場(chǎng)，也適用于常物性和物性隨溫度改變的情況。3.2浴缸初始溫度的選取及數(shù)據(jù)處理根據(jù)大量資料顯示，不同的人群適應(yīng)浴缸水溫不同，舒適度 也不同，如圖所示：?jiǎn)栴}的分析對(duì)于任何一個(gè)問(wèn)題，需要解決的問(wèn)題就是建立一個(gè)在空間和 時(shí)間上的分布模型，并且各處的溫度接近初始溫度。并且針 對(duì)每一個(gè)問(wèn)題我都可以用熱傳導(dǎo)方程和能量守恒定律

5、進(jìn)行 求解。4.1對(duì)沒(méi)有人運(yùn)動(dòng)的模型分析定義定義浴缸中的人為一個(gè)方形物體，長(zhǎng)為a ,寬 為b高為此時(shí)傳遞給人的能量主要通過(guò)上下、左右、 前后表面的截面面積S + + S3 = S ,定義 人是各向同性的物體，滿足傅里葉定律的熱傳導(dǎo)方程，由此 可以得到以下結(jié)論：結(jié)論1人接受的能量是均勻的，結(jié)論2人在浴缸中能量主要通過(guò)呼吸、各器官消耗。結(jié)論3人體的皮膚表面溫度肯定升高4.2對(duì)人運(yùn)動(dòng)過(guò)后的模型分析在人運(yùn)動(dòng)過(guò)后的階段，隨著水表面波動(dòng)較大以及人的位 置發(fā)生變化，促使浴缸中的水的熱傳導(dǎo)系數(shù)久改變，引起 浴缸中的人采取措施的原因主要有兩方面：人體在浴缸中的舒適度明顯降低，熱量散發(fā)的太快。水的溫度驟降加快以后

6、兩個(gè)方面又都受人體運(yùn)動(dòng)的影響，關(guān)系如圖所示:溫度接近 初始溫度在實(shí)際中，影響了多個(gè)方向的導(dǎo)熱系數(shù)，溫度分布影響 肯定受到很大影響，因此，需處理出水溫度、出水流速、入 水流速，更大程度地彌補(bǔ)熱量的流失。所以，在做定量分析 計(jì)算時(shí)，可以先用定性分析方法確定各因素間的函數(shù)關(guān)系, 在求解過(guò)程中利用參數(shù)辨識(shí)方法確定其中的參數(shù)。4.3傳導(dǎo)過(guò)程中熱導(dǎo)系數(shù)不同模型的分析對(duì)于各向同異性物體，對(duì)人而言，在嚴(yán)格意義上講是不 均勻的，水中的成分不同，這些對(duì)熱導(dǎo)系數(shù)也有影響。可以 利用傅里葉的推廣對(duì)各向同異性物體進(jìn)行求解分析。題目要求即使人運(yùn)動(dòng)過(guò)后也盡可能地接近初始溫度，而 且并不改變?nèi)梭w的舒適度，因此，需要處理這個(gè)物

7、體運(yùn)動(dòng)的 模型，根據(jù)查閱大量資料文獻(xiàn)，人體的運(yùn)動(dòng)可以看做一個(gè)質(zhì) 點(diǎn)，模擬質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形一當(dāng)人體上下擺動(dòng)時(shí)，導(dǎo)致浴缸中的水對(duì)人和空氣的導(dǎo) 熱系數(shù)改變，增大了與空氣的交換次數(shù)。溫度下降更快。情形二當(dāng)人體左右擺動(dòng)時(shí)，導(dǎo)致浴缸中的水對(duì)人和空氣的導(dǎo)熱系數(shù)改變，增大了與空氣的交換次數(shù)。溫度下降更快。情形三當(dāng)人體前后擺動(dòng)時(shí)，導(dǎo)致浴缸中的水對(duì)人和空氣的導(dǎo)熱系數(shù)改變，增大了與空氣的交換次數(shù)。溫度下降更快模型的建立與求解5.1問(wèn)題（1）的解決方案及模型參數(shù)的確定：溫度定為初始丁0，人體表面溫度孔，浴缸長(zhǎng)度1.8m,寬度 0.8m,高度0.5米，熱水龍頭出水恒定溫度為知，熱水龍 頭的恒定流速為1，溢漏出水的溫度為溢

8、漏出水的恒定 流速，浴缸的水的溫度在空間和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系： u = u（x,y9z,t）,人的為人的身高為1.8米，人的下半身在 水中（認(rèn)為頭部在水上），人為一個(gè)長(zhǎng)方形物體，人的運(yùn) 動(dòng)看成一個(gè)長(zhǎng)方體來(lái)回翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)1.5米，寬0.45米, 高。米，建立第一個(gè)模型確定能量守恒定律的根據(jù)能量的守恒，綜合上述討論，可以得到在人不運(yùn)動(dòng)前 的熱量傳播（溫度擴(kuò)散）模型熱水龍頭流入的熱量0=洗澡水在浴室中蒸發(fā)的熱量0 + 浴缸中人交換的熱量Q+溢漏水的熱量Q一：求解問(wèn)題：浴缸的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)：當(dāng)浴缸里達(dá)到容積，多余的水通過(guò)一個(gè)排水管中流走。浴缸中的水盡量與初始溫度一致。額外：如果一個(gè)人使用一個(gè)泡泡浴添加劑雖然一開

9、始填滿 浴缸協(xié)助清理，這將如何影響您的模型的結(jié)果嗎？-：影響因素：?jiǎn)蝹€(gè)水龍頭的流速排水管的流速浴缸形狀、體積的影響，體積大，水溫冷卻快，所需熱水增多，形狀分為圓形、三角形、心型，長(zhǎng)方形。形狀不同， 高度不同，長(zhǎng)度不同，寬度不同，對(duì)浴缸中的水溫也有影 響。人的重量（體積）影響浴缸的容積，人的形狀分高低、胖瘦 影響水浴缸的容積。浴缸形采取方形，符合人體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。溫度定為初始To，人體表面溫度丁3，浴缸長(zhǎng)度l.8m,寬度 0.8 in,高度0.5米，熱水龍頭出水恒定溫度為知，熱水龍 頭的恒定流速為1，溢漏出水的溫度為扁，溢漏出水的恒 定流速，浴缸的水的溫度在空間和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系：u = u（x,y,

10、乙t）,人的為人的身高為1.8米，人的下半身在 水中（認(rèn)為頭部在水上），人為一個(gè)長(zhǎng)方形物體，人的運(yùn) 動(dòng)看成一個(gè)長(zhǎng)方體來(lái)回翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)1.5米，寬0.45米, 高。米，建立第一個(gè)模型參數(shù)確定：通過(guò)曲面 隊(duì)的上表面）進(jìn)入（人葡體積）內(nèi)的熱量dQ =cpSVjdt,dQ2 =0 = ffJ dQi = JJJcqMx,人源 2)-(x,y,z/i)dVQQ=J(J：譬g = J： J/cp 等 dVMt (1.1)。3 =啊(。斜刑骨+ $嶂牌MQ.2)10 =cp54,40 =也+。0+也dQi-dQ = J； fjf F(x,yt)dVyitffjF(x.y.z.t)dV) = cp(S1 一

11、S4 v47；) Q由熱量守恒定律得：d0_d0=d0+d0=r jjpp為小+r ujj印)+相+七禪)皿 J# & Jri 十 dx dx dy dy dz dz=j?11 Qdu d 八 du、 d 八 du、 d 八 du、 _z 、+W (人旗-)+ =(入 m)+ m (入 M)= F (x,y,z,)& dx dx dy dy ft ftdii 2( Wu d2u+ v V =7(x, JSZ,，)dt dx2 dy2 dz2)其中/=；，/稱為非齊次項(xiàng)(自由項(xiàng))C PL LJ列出導(dǎo)熱偏微分方程由于有熱源,dllddllddudduc/?丁 + 廠(入了 )+=(人M)+ -(X

12、-) = F(x9y9z9t) 2 dtdxdxdydydzdzz,如果在溫度在水中分布不同，溫度靠近熱源的較高，遠(yuǎn)離熱 源的較低，導(dǎo)致導(dǎo)熱在各方向傳播不一致，導(dǎo)熱系數(shù)也不一 致，建立模型二入XX X方向的溫度變化率對(duì)X方向熱流密度的影響系數(shù); 入約一 y方向的溫度變化率對(duì)x方向熱流密度的影響系數(shù); 君xz y方向的溫度變化率對(duì)X方向熱流密度的影響系數(shù); 君典一 x方向的溫度變化率對(duì)y方向熱流密度的影響系數(shù); 入yy V方向的溫度變化率對(duì)y方向熱流密度的影響系數(shù)； 人夾一z方向的溫度變化率對(duì)y方向熱流密度的影響系數(shù); 入zx x方向的溫度變化率對(duì)z方向熱流密度的影響系數(shù); 君zy y方向的溫度

13、變化率對(duì)Z方向熱流密度的影響系數(shù); 入zz Z方向的溫度變化率對(duì)Z方向熱流密度的影響系數(shù)；al瓦而一肉-將上式展開_ a 5u a 5u . 5uQx =人XX；+人方耳+人泊匚 dxdydz八.dudu. duQ = X + 人+ 人 %ExfEz各方向?qū)嵯禂?shù)不同建立熱傳導(dǎo)方程pc 宇+V(Q) = F(x,y，z,t)ct各向異性介質(zhì)的熱傳導(dǎo)方程：312 dzN dz= F（x, y,z,t）dadz= F（x,y，z,t）PC&+志&液+%否+恐d du 吊 2 du d du 而 31京+職久茶+4礦4京+湛炬態(tài)f礦J京g& 。 8%i 與 d2u d2ud2ud2ud2uP 崩 X

14、 很+ % 苛+ 么寥+（% + ）瑟+（恐 +么）志+（%） = F（x,y,z,t）三、人運(yùn)動(dòng)后的溫度分布模型人運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響:浴缸中的水蒸發(fā)的速率變快，釋放到空氣中的熱量Q2增大,溢漏出的熱量Q4減少，人吸收的熱量Q3減少，浴缸中的水的溫度降低，熱水龍頭流入的熱量0=洗澡水在浴室中蒸發(fā)的熱量0車浴 缸中人交換的熱量2遍漏水的熱量Q ；由于 +刀0= dQ2 + dQ3 + dQ4即使熱量相互傳遞，但是人明顯感覺(jué)變涼了，所以必須想辦 法提高浴室的溫度，并且盡可能地接近初始溫度,即使采 取措施，也會(huì)對(duì)溫度的均衡分布造成很大影響，為了更好的 接近初始溫度與使人感到舒服。建立一個(gè)方案，建立一個(gè)模

15、 型。方案由來(lái)：找到入水流速、出水流速、入水溫度對(duì)溫度分布 擴(kuò)散的影響，通過(guò)發(fā)現(xiàn)三者間的聯(lián)系，找出一個(gè)最佳方案， 此時(shí)入水流速為V ,出水流速為入水溫度為T， 建立人運(yùn)動(dòng)后的模型三dQ； =cpS v；T；dt,必乙-2)- (X，乙dQ； = cpiix. y 必見)一 (x，外 Z AV 0 = fff dQi = Q=驢河：敦必=伯驢啥心(2.1) q =齊+號(hào)。號(hào))+“ *瀏小(2,2)0 =虧叩（擊。荻）+枝（入石）+應(yīng)（入W）d （23） dQ =cpS4vT4dt, dQ；=dQ；+dQ；+dQ4d0 -d0 = J： JJj（x,y,z,gW Q（fjf F（x,yt）dV）

16、= cp（S1 vX-S4 v4T4） Q由熱量守恒定律得：dQ；-dQ； = dQ； + dQ；=fjjR 為小+r【M（w）+（w）+（w）用以 a & J1 q dx dx dy dy dz dz=偵（3,小小 ndu工,八。蕓 + 旗-（入 m）+ m（ M）+ m （人 M）=。（*況乙，）& dx dx dy dy其中稱為非齊次項(xiàng)（自由項(xiàng)）列出導(dǎo)熱偏微分方程由于有熱源，dudZA du、dZA i du、dZA，du、w + f（入 f）+=（入 M）+M（人 M）= F（x，yZ。 dtdx dxdy dydz dz要畫出:浴缸的水的溫度與流入的水的溫度的圖形；浴缸內(nèi)水 的溫度與

17、流入的水的流速之間的圖形。浴缸內(nèi)水的溫度與流 出水的溫度之間的圖形， 模型的假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明假設(shè)2.符號(hào)的說(shuō)明：c表示水的比熱容P表示水的密度禹表示熱水龍的的截iHiiHi積Ti表示從水龍頭進(jìn)入浴缸的水的初始溫度u(與y,乙t)表示浴缸內(nèi)水溫關(guān)于空間和時(shí)間的函數(shù) 人表示浴缸內(nèi)(x,y,z)處水的熱流密度的影響系數(shù) S4表示溢漏水管的截面面積L表示溢出水的溫度模型的求解：I；=40C, =50C, L=38C浴缸體積為720L,人的體積大約為60L,初始狀態(tài)浴缸中 水的體積為516L,假設(shè)留出0.1m高度的水。水溫度(C)01020304050607080導(dǎo)熱系數(shù)（w/m.k）0.500.580.

18、600.620.640.650.660.670.68水的比熱容的物理意義是：1kg水溫度升高（或降低）1C 所吸收（或放出）的熱量是4.2X103J. （C=4.2X103J）水的密度p=1.0 xl03kg/m3 （忽略水在不同溫度下的微小影 響）水龍頭的出水截面積為0.003m2,出水時(shí)的速度為5L/mino 溢漏出水的截面積為為0.003m2,出水時(shí)的速度為4L/mino 控制單一變量，發(fā)現(xiàn)浴缸中水的溫度與流水溫度、入水的 流速、出水流速。設(shè)入水速度為V、出水速度為V4、入水溫度T、浴缸水的 初始溫度為舄入水質(zhì)量為叫、出水質(zhì)量也4、浴缸中水的質(zhì) 量為嗎浴缸516L,盛水516KGo假設(shè)初始各狀態(tài)均在人不運(yùn)動(dòng)前取值即取V=16.7m/s、v4=13.3m/s T=50c當(dāng)、為不變時(shí)，I變化與T的關(guān)系Ci】 (-T )C C iDq-ni ) ( TTj ) 嗎(TT 片(T舄)(nio-m4) pV1(T；-T)=(516-pv4)(T-%) io3*5*io-3(-t)= (516-io3*io-3*4) (t-% ) 5* (-T)=514(T一舄) 5i；-5t=514 (t-% )貝 |Jt = 5VL