歷屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽100題精選(高二)

1、歷屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽100題精選（高二）題1、已知的大小關(guān)系是 .（第十一屆高二第一試第11題）題2、設(shè)，且恒成立，則的最大值為 （ ）A、2 B、3 C、4 D、5 （第十一屆高二第一試第7題）題3、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 （ ） A、 B、 C、 D、（第十一屆高二培訓(xùn)題第5題）題4、對(duì)于的一切實(shí)數(shù)，使不等式都成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是 . （第十三屆高二培訓(xùn)題第63題）題5、當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則的最大值是_. (第十一屆高二培訓(xùn)題第45題)題6、已知，設(shè)，那么的大小關(guān)系是 （ ）A、 B、 C、 D、 （第八屆高二第一試第10題）題7、已知，不等式的解是 .（第三屆高二第二試第1

2、3題）題8、不等式 的解集是 ,實(shí)數(shù)的取值范圍(用區(qū)間形式)是 .(第一屆高二第一試第18題)題9、不等式的解集是 （ ）A、 B、C、 D、（第十三屆高二第二試第8題）題10、不等式的解集是 . （第十一屆高二培訓(xùn)題第41題）題11、使不等式的解是的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（第十一屆高二第一試第6題）題12、已知是正數(shù)，并且，求證. (第十屆高一培訓(xùn)題第74題)題13、設(shè)，是實(shí)數(shù)，且滿足，證明不等式.（第十屆高二第二試第22題）題14、已知，并且，求證：. （第一屆備選題）題15、求所有的正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都有 （第十一屆高二第二試第23題）題16、函數(shù)的最小值為 (

3、 ) A、-1 B、1 C、-2 D、2 （第七屆高一培訓(xùn)題第2題）題17、已知，且，則的最小值是 （ ）A、5 B、6 C、8 D、9（第十一屆高二第二試第9題、高二培訓(xùn)題第14題）題18、設(shè)為正實(shí)數(shù)，為常數(shù)，且,則的最小值為_.（第十一屆高二培訓(xùn)題第36題）題19、如果，那么的最大值是_ （第八屆高二第一試第19題）題20、若，并且，則的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、（第九屆高二第一試第10題）題21、若，且，則的最小值是 .（第一屆高二第一試第20題）題22、已知，且，則的最小值是 . (第八屆高二培訓(xùn)填空題第6題)題23、設(shè)，且，則的最大值是 ，最小值是 （第六屆高二培訓(xùn)解答

4、題第2題、第八屆高二第一試第23題）題24、若，則的最大值是（第十三屆高二培訓(xùn)題第68題）題25、函數(shù)的最大值是 （第九屆高二培訓(xùn)題第43題）題26、函數(shù)的值域是. （第十一屆高二培訓(xùn)題第46題）題27、設(shè)，則的最小值是 （第九屆高二培訓(xùn)題第53題）題28、，則s的整數(shù)部分是 （）A、C、D、（第八屆高二第二試第題）題 29、求函數(shù)的最小值和取最小值時(shí)的值 （第十三屆高二培訓(xùn)題第81題）題30、函數(shù)的最大值是 ,最小值是 .(第十四屆高二第二試第16題)題31、已知，求函數(shù)的最大值.（第九屆高二培訓(xùn)題第61題）題32、已知，且，則的最小值是.（第十屆高二培訓(xùn)題第44題）題33、實(shí)數(shù)，滿足方程，

5、則的最大值與最小值的和等于_. （第十屆高二第二試第17題）題34、線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)是A（-1，2），B（2，-2），直線y=kx+3與線段AB相交的充要條件是 （ ）A、 B、 C、且k0 D、（第八屆高二培訓(xùn)題第2題）題35、過(guò)點(diǎn)且與兩條坐標(biāo)軸圍成面積為2的三角形的直線的條數(shù)是 .(第十屆高二第一試第18題)題36、某工廠安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).已知每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要原材料A、B、C、D的數(shù)量分別為1噸、2噸、2噸、7噸；每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要原材料A、B、D的數(shù)量分別為1噸、4噸、1噸.由于原材料的限制，每個(gè)生產(chǎn)周期只能供應(yīng)A、B、C、D四種原材料分別為80噸、80噸、60噸、70噸

6、.若甲、乙產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)分別為2百萬(wàn)元和3百萬(wàn)元.要想獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)該在每個(gè)生產(chǎn)周期安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 噸，期望的最大利潤(rùn)是 百萬(wàn)元. （第十三屆高二第一試第25題）題37、點(diǎn)M是圓內(nèi)圓心以外的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系是 （ ）（A）相切 （B）相交 （C）相離 （D）相切或相交 （第七屆高二第一試第5題）題38、過(guò)圓與圓的交點(diǎn)的直線方程是 . （第二屆高二第二試第15題）題39、若實(shí)數(shù)、適合方程，那么代數(shù)式的取值范圍是 . （第九屆高二第一試第17題）題40、圓上任意一點(diǎn)都使不等式成立，則C的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、 （第七屆高二第一試第10題）題41、E、F是橢圓的左、右

7、焦點(diǎn)，l是橢圓的準(zhǔn)線，點(diǎn)，則的最大值是 （ ） A、15 B、30 C、45 D、60 （第十三屆高二培訓(xùn)題第21題）題42、橢圓的兩焦點(diǎn)是、，M為橢圓上與、不共線的任意一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，延長(zhǎng)MI交線段于點(diǎn)N，則的值等于 ( ) A、 B、 C、 D、（第十三屆高二培訓(xùn)題第19題）題43、過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且直線與長(zhǎng)軸的夾角為，則橢圓的離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 （第十一屆高二第一試第8題）題44、如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_. （第十一屆高二培訓(xùn)題第66題）題45、設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢

8、圓離心率的范圍是_. （第十二屆高二第一試第20題）題46、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是. （第七屆高二第一試第19題）題47、是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且，則的面積是 . （第四屆高二第一試第30題）題48、橢圓的內(nèi)接三角形的最大面積是. （第九屆高二第二試第20題）題49、RtABC中，AB=AC，以C點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓，使這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在邊AB上，且橢圓過(guò)A，B兩點(diǎn).求這個(gè)橢圓的離心率. （第二屆高二第二試第21題）題50、設(shè)點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，弦過(guò)該圓的右焦點(diǎn)，試求的面積的最大值. （第六屆高二第二試第21題）題51、Let point M move

9、along the ellipse ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 橢圓；focus 焦點(diǎn)；coordinate 坐標(biāo))（第十四屆高二第二試第18題）題52、已知雙曲線關(guān)于直線x-y=1對(duì)稱的曲線與直線x+2y=1相切，則k的值等于 （ ）A、 B、 C、 D （第十五屆高二培訓(xùn)題第19題）題53、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)在右支上，且與在同一條直線上，則的最小值

10、是_. （第四屆高二第二試第15題）題54、方程表示的曲線是 ( )A、直線 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線（第十二屆高二培訓(xùn)題第23題）題 55、已知，則動(dòng)點(diǎn)A與點(diǎn)B（1，0）的距離的最小值是_.（第七屆高二第一試第23題）題56、拋物線上到直線的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（第九屆高二培訓(xùn)題第27題）題57、在拋物線上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,則的取值范圍是 . (第十五屆高二培訓(xùn)題第71題)題58、拋物線的一條弦的傾斜角是,弦長(zhǎng)是,那么這種弦都經(jīng)過(guò)一定點(diǎn),該定點(diǎn)是 （第十三屆高二培訓(xùn)題第73題）題59、長(zhǎng)為的線段AB的兩端在拋物線上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到軸的最短距離等于 . （第13屆高二第二

11、試第20題）題60、動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且與定圓相切，那么動(dòng)圓的中心的軌跡是 （ ）A、圓 B、圓，或橢圓C、圓，或橢圓，或雙曲線 D、圓，或橢圓，或雙曲線，或直線（第三屆高二第二試第10題）題61、設(shè)直線都是平面直角坐標(biāo)系中橢圓+=的切線，且，、交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程是 （第十二屆高二培訓(xùn)題第47題）題62、已知曲線C上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)A（1，0）與定直線的距離之和等于5.對(duì)于給定的點(diǎn)，在曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的取值范圍.（第十二屆高二第二試第23題）題63、已知kR，關(guān)于x,y的方程y4+4y3+(2x+2kx-kx2)y2+8xy+(4kx2-2kx3)=0表示一組曲線，其中有一條

12、是固定的拋物線，試討論k值與曲線形狀的關(guān)系. （第三屆高二第二試第21題）題64、已知點(diǎn)和直線，動(dòng)點(diǎn)到的距離與到的距離之和為4.(1)求點(diǎn)的軌跡;(2)過(guò)A作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn),設(shè)，求的解析式.（第十二屆高二培訓(xùn)題第78題）題65、已知定點(diǎn)M（-3,0），P和Q分別是y軸及x軸上的動(dòng)點(diǎn)，且使MPPQ，點(diǎn)N在直線PQ上，分有向線段的比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)T（-1,0）作直線與軌跡C交于兩點(diǎn)A，B，問(wèn)在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使ABD為等邊三角形；若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（第十五屆高二培訓(xùn)題第80題）題66、已知異面直線a與b所成角為，P為空間一點(diǎn)，

13、過(guò)點(diǎn)P作直線l使l和a，b所成角相等，此等角記為，則直線l的條數(shù)構(gòu)成的集合為 .（第十五屆高二培訓(xùn)題第38題）題67、空間給定不共面的四個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：中有三個(gè)點(diǎn)到的距離相同，另一個(gè)點(diǎn)到的距離是前三個(gè)點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)是 （ ）A、15 B、23 C、26 D、32 （第三屆高一第二試第6題）題68、O為空間一點(diǎn)，射線OA、OB、OC交于點(diǎn)O，AOB=BOC=，COA=，則二面角A-OB-C的平面角的余弦函數(shù)值是_. （第五屆高一第一試第15題）題69、在四面體ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且腰長(zhǎng)

14、為.過(guò)D作截面DEF交面ABC于EF，若EFBC，且將四面體的體積二等分，則面DEF與面BCD的夾角等于. （第十三屆高二第二試第19題）DABECFGP題70、如圖，四邊形是矩形，面，其中.若在上存在一點(diǎn)，使得.試求的范圍，及有且只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)時(shí)，二面角的大小. (第十四屆高二培訓(xùn)題第78題)題71、ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，PA平面ABC，且PA=，A點(diǎn)關(guān)于平面PBC的對(duì)稱點(diǎn)為A，求直線AC與AB所成角的余弦值. （第九屆高一第二試第22題）題72、已知正方體的棱長(zhǎng)為，它的體對(duì)角線和與它不共面的面對(duì)角線之間的最小距離等于_. (第十五屆高二培訓(xùn)題第49題)題73、點(diǎn)在所在的平面外，

15、則到平面的距離的最大值是_.（第二屆高一第一試第30題）ABCDEFGHP題74、如圖，ABCD-EFGH是單位正方體，P是AF上的動(dòng)點(diǎn)，則GP+PB的最小值是 （第十二屆高一第一試第20題）題75、以四個(gè)全等的正三角形為面拼合成的空間圖形叫正四面體.正三角形邊長(zhǎng)叫正四面體的棱長(zhǎng).設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1.求互為異面的正三角形的中線（所在直線）間的距離.（可使用下面的結(jié)論：正四面體ABCD中，A到面BCD的距離為d，面BCD的面積為S，則四面體ABCD的體積V=）（第八屆高一培訓(xùn)解答題第3題）題76、四面體中，分別在棱上，且則兩點(diǎn)到過(guò)的平面的距離之比為_.（第十屆高一培訓(xùn)題第38題）題77、在棱長(zhǎng)為

16、的正四面體內(nèi)任取一點(diǎn)，到四面體四個(gè)面的距離分別記為，則. （第三屆高二第一試第16題）題78、某水準(zhǔn)儀是封閉的正四面體,體內(nèi)裝有水,當(dāng)正四面體的一個(gè)面放置于水平地面時(shí), 體內(nèi)水面高度為體高的，現(xiàn)將它倒置，此時(shí)水的高度是體高的 （第十一屆高一第一試第20題）題79、正四面體，點(diǎn)、分別在棱，上，且.過(guò)、三點(diǎn)的平面將四面體分成兩部分，這兩部分的體積比為（取較小部分與較大部分的體積之比） （第十三屆高二培訓(xùn)題第75題）題80、正四面體的側(cè)面三角形的高線中，其“垂足”不在同一側(cè)面上的任意兩條所成角的余弦值是 （ ） （第十二屆高二第二試第3題）題81、過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC的中點(diǎn)

17、E、F作一個(gè)截面，使截面與底面ABCD所成的角為450，則此截面的形狀為 （ ）三角形或五邊形 B、三角形或六邊形 C、六邊形 D、三角形或四邊形（第六屆高一第二試第5題）題82、正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，異面直線與所成角的余弦值是 （ ）A、 B、 C、 D、 (第十五屆高二第二試第9題)題83、多面體表面上三個(gè)或三個(gè)以上平面的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn)，用一個(gè)平面截一個(gè)n棱柱，截去一個(gè)三棱錐，剩下的多面體頂點(diǎn)的數(shù)目是 （ ）A、 B、 C、 D、（第四屆高一第二試第10題）題84、在長(zhǎng)方體中，, 過(guò)的截面的面積為，求的最小值，并指出當(dāng)取最小值時(shí)截面的位置（即指出截面與有關(guān)棱的交點(diǎn)的位置）.

18、 （第五屆高一第二試第22題）題85、從凸四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)作該四邊形所在平面的垂線段，使，若.當(dāng)最小時(shí)，的形狀是.（第十四屆高二培訓(xùn)題第67題）ACBEDBB1A1C1題86、正三棱柱ABCA1B1C1底面的邊長(zhǎng)和高都是2cm，過(guò)AB 作一個(gè)截面，截面與底面ABC成600角，則截面的面積是 .（第六屆高一第一試第30題）題87、如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是AA1的中點(diǎn)，則BC1與CD所成的角是 ，面BCD與面CDB1所成二面角等于 .（第十一屆高二第一試第22題）A1BCA1B1C1PQM題88、如圖，設(shè)是直三棱柱，分別是，的中點(diǎn).點(diǎn)在上且.如果，則與所成的角等于（

19、 ）A、 B、 C、 D、（第十三屆高二第一試第題）題89、在三棱錐中，兩兩垂直，則 （ ）、一定是銳角 、一定不是銳角、一定是鈍角 、一定是直角（第八屆高二培訓(xùn)題第3題）題90、圖1是以4個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形為側(cè)面的棱錐，其中的四個(gè)直角是 ，求棱錐的高. （第十屆高一第二試第22題）題91、三棱錐中，為底面內(nèi)的一點(diǎn)，則的余弦值為_.（第九屆高一第二試第20題）題92、有一個(gè)側(cè)棱都是的三棱錐，頂點(diǎn)處的三個(gè)面角中，有兩個(gè)都是，另一個(gè)是.將該棱錐的體積表示成的函數(shù)并求出當(dāng)取什么值時(shí)，達(dá)到最大或最小.（第二屆高一第二試第21題）題93、設(shè)為正三棱錐的底面內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)引底面的垂線與這棱錐的三

20、個(gè)側(cè)面所在平面分別交于三點(diǎn)，若正三棱錐的高為2.試求的長(zhǎng).（第十二屆高一培訓(xùn)題第81題）題94、There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic position

21、s of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go

22、along the spherical distance , then the project of the shorter distance is _. （第十三屆高二第一試第20題）ABCDP題95、如圖所示，矩形中，為上的任一點(diǎn)，以所在直線為軸，將旋轉(zhuǎn)而成一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)體表面積的最大值，并指出當(dāng)表面積最大時(shí)點(diǎn)位置. （第十一屆高一培訓(xùn)題第79題）題96、ABCD是一個(gè)正方形，M為AB上一點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，且AM=BN.連DM、DN分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)P、Q，剪掉MNB.求證：以DM、DN為折痕，將DA與DC重合，可以構(gòu)成一個(gè)三棱錐的側(cè)面.以線段AP、PQ、QC為邊恰可構(gòu)成一個(gè)內(nèi)角為

23、600的三角形.（第一屆高一第二試第五題）題97、正的邊長(zhǎng)為，用任意直線截與兩邊交于，將沿折起作成二面角，由此可形成四棱錐，求此四棱錐的最大體積，并證明之.（第十二屆高二培訓(xùn)題第77題）題98、給定一個(gè)三角形紙片（如圖），你能否用它為原料剪拼成一個(gè)正三棱柱（正三棱柱的全面積等于原三角形的面積）？說(shuō)明你的方法.這里“剪拼”的意思是：依直線剪裁，邊對(duì)邊拼接. （第十四屆高二第二試第22題）題99 設(shè)在空間給出了20個(gè)點(diǎn).其中某些點(diǎn)涂黃色，其余點(diǎn)涂紅色.已知在任何一個(gè)平面上的同種顏色的點(diǎn)不會(huì)超過(guò)三個(gè).求證：存在一個(gè)四面體，它的四個(gè)頂點(diǎn)同色，并且至少有一個(gè)側(cè)面內(nèi)不含另一種顏色的點(diǎn). （第一屆高一第二試第四題）題100、用四個(gè)邊長(zhǎng)分別為， 的銳角三角形可以拼成一個(gè)四面體.把拼成的任何一個(gè)四面體的各棱用紅、黃、藍(lán)三色染色，每條棱染一色，每種色染兩條棱，考慮一切經(jīng)過(guò)這樣染色的四面體，如果經(jīng)過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)染色四面體完全重合，并且重合的對(duì)應(yīng)棱同色時(shí)，稱這樣的兩個(gè)四面體是同一染色類.問(wèn)：所有這樣的染色四面體可分為幾種染