隱函數(shù)與參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)法則課件

1、4.3 隱函數(shù)與參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)法則一、隱函數(shù)求導(dǎo)法則二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則三、極坐標(biāo)式求導(dǎo)四、相關(guān)變化率問題一、隱函數(shù)求導(dǎo)法則若由方程可確定y是x的函數(shù) ,由表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)的顯化再如,問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 兩邊對x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)解: 方程兩邊對x求導(dǎo)得例2. 求由方程在x = 0處的導(dǎo)數(shù)解: 方程兩邊對x求導(dǎo)得因x = 0時(shí)y = 0, 故確定的隱函數(shù)例3. 求橢圓在點(diǎn)處的解:

2、 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)故切線方程為切線方程,法線方程.法線斜率為即法線方程為即解:解法1 應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，得于是上式兩邊再對x求導(dǎo)，得解法2（4.15）由(4.15)兩邊再對x求導(dǎo)，得聯(lián)合（4.15）解得例5. 求的導(dǎo)數(shù) . 解:解法1 兩邊取對數(shù) , 化為隱式兩邊對 x 求導(dǎo)解法2由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 1) 對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如,兩邊取對數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo)又如, 對 x 求導(dǎo)兩邊取對數(shù)例6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)解:兩邊取對數(shù)對 x 求導(dǎo)(2)定義域?yàn)榻?，兩邊取對數(shù)，得兩邊對 x

3、求導(dǎo)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系,則稱此函數(shù)關(guān)系所表示的函數(shù)為由該參數(shù)方程所確定的函數(shù)，簡稱參變量函數(shù).定理1（參變量函數(shù)求導(dǎo)法則）假設(shè)在則時(shí), 有(此時(shí)看成x是y的函數(shù))時(shí), 有若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得?已知注意 :例7. 設(shè),且求解:例8. 已知或得即例8. 拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻 t 的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,則拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛

4、射出 (即t = 0 )時(shí), 傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向解: 這條曲線稱為旋輪線求由三、極坐標(biāo)式求導(dǎo)給出，其中稱為極徑，稱為極角，的極坐標(biāo)代入，得曲線的參數(shù)方程解：，則四、相關(guān)變化率問題為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率例11 釣魚者站在離水面高10米的橋上，他的魚線末端有一條魚，設(shè)魚在水的表面，若釣魚者以每秒2米的速率卷起他的魚線，試問當(dāng)魚線的長度為15米時(shí)，魚在水面移動(dòng)的速率是多少？xs10由勾股定理得等式兩端關(guān)于t求導(dǎo)數(shù)，得例12 落在平靜水面的石頭使水

5、面產(chǎn)生同心圓水紋若最外圈的半徑增長率是米秒，問在秒末時(shí)被擾動(dòng)水面面積的增長率是多少？( m2秒)例13. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m時(shí), 觀察員視線的仰角增加率是多少? 解: 設(shè)氣球上升t分后其高度為h ,仰角為 ,則兩邊對 t 求導(dǎo)已知 h = 500m時(shí),思考題: 當(dāng)氣球升至500 m 時(shí)停住 , 有一觀測者以100 mmin的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為500m 時(shí), 仰角的增加率是多少 ?提示: 對 t 求導(dǎo)已知求試求當(dāng)容器內(nèi)水例13. 有一底半徑為Rcm , 高為hcm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.解: 設(shè)時(shí)刻 t 容器內(nèi)水面高度為x ,水的兩邊對 t 求導(dǎo)而故體積為 V , 則內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對 t 求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式思考與練習(xí)1. 求螺線在對應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方