荷載與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法：第2章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論

1、第 2 章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論第 2 章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論2.1 隨機(jī)變量2.2 隨機(jī)向量2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率2.5 結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)2.6 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)與安全系數(shù)之間的關(guān)系2. 1 隨機(jī)變量第 2 章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論2.1.1 隨機(jī)變量的定義 描述隨機(jī)事件的變量,隨機(jī)事件如:拋硬幣, 材料強(qiáng)度等; 隨機(jī)變量分離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量。2.1.2 描述隨機(jī)變量的基本函數(shù)1. 概率函數(shù)離散隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行描述的函數(shù)有:概率函數(shù),概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。離散隨機(jī)變量 取一個(gè)特定值 （實(shí)數(shù)）的概率。2. 1 隨機(jī)變量2.

2、概率分布函數(shù)離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量 小于特定值 （實(shí)數(shù)）的概率，即 小于 的概率函數(shù)的和。3. 概率密度函數(shù)連續(xù)隨機(jī)變量2. 1 隨機(jī)變量2.1.3 描述隨機(jī)變量的基本參數(shù)1. 均值（期望)均值、方差（均方差），矩，變異系數(shù)等2. 方差,3. 矩原點(diǎn)矩：2. 1 隨機(jī)變量中心矩：4 二階原點(diǎn)矩和二階中心矩的關(guān)系5 均方差(標(biāo)準(zhǔn)差)6 變異系數(shù)2. 1 隨機(jī)變量2.1.4 常用隨機(jī)變量1. 均勻隨機(jī)變量2. 1 隨機(jī)變量主要用于隨機(jī)抽樣2. 正態(tài)隨機(jī)變量PDF:CDF:一般正態(tài)隨機(jī)變量：2. 1 隨機(jī)變量主要用于描述恒荷載標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量PDF:CDF:由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量可以得到任意

3、正態(tài)隨機(jī)變量，2. 1 隨機(jī)變量3 對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量如果 是正態(tài)隨機(jī)變量,則 是對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量, 2. 1 隨機(jī)變量主要用于描述抗力 4 極值隨機(jī)變量極值型隨機(jī)變量用來(lái)描述極端事件。如： 為一年的風(fēng)速序列，則 就可以用極值型隨機(jī)變量了描述。CDF:PDF:仍是極值隨機(jī)變量。，2. 1 隨機(jī)變量主要用于描述活荷載5 泊松隨機(jī)變量設(shè) 為時(shí)間0t內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)， 為事件的平均發(fā)生率，則時(shí)間0t內(nèi)事件發(fā)生 的概率為平均事件間隔（平均重現(xiàn)期）：泊松隨機(jī)變量描述地震、臺(tái)風(fēng)的發(fā)生。2. 1 隨機(jī)變量泊松隨機(jī)變量常用來(lái)描述某個(gè)時(shí)間段內(nèi)隨機(jī)事件的發(fā)生次數(shù)。假設(shè)：1）各個(gè)事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的；2）不能同時(shí)發(fā)

4、生兩次或兩次以上的事件。第 2 章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論2. 2 隨機(jī)向量2.2.1 隨機(jī)向量基本概念隨機(jī)向量是一組隨機(jī)變量的集合2. 隨機(jī)向量的描述函數(shù)1.隨機(jī)向量的定義聯(lián)合概率分布函數(shù)聯(lián)合概率函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)2. 2 隨機(jī)向量3. 隨機(jī)變量的相關(guān)性和 的協(xié)方差函數(shù)表達(dá)變量之間的線性相關(guān)程度； 表示完全線性相關(guān)。邊緣概率密度函數(shù)協(xié)方差函數(shù)線性相關(guān)系數(shù)2. 2 隨機(jī)向量協(xié)方差矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣2. 2 隨機(jī)向量 C和 均為對(duì)稱矩陣; 如果變量間為兩兩不相關(guān), 則協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)矩陣的特點(diǎn)2. 2 隨機(jī)向量2.2.2 隨機(jī)變量函數(shù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)1. 隨機(jī)變量的線性函數(shù) 令Y為隨機(jī)變量

5、 的線性函數(shù):式中 是常系數(shù)。隨機(jī)變量函數(shù)的均值和方差2. 2 隨機(jī)向量如果隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)當(dāng) 2. 2 隨機(jī)向量2. 隨機(jī)變量的非線性函數(shù) 令Y為隨機(jī)變量 的非線性函數(shù):隨機(jī)變量函數(shù)的均值和方差2. 2 隨機(jī)向量 對(duì)函數(shù)Y在均值點(diǎn) 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，保留線性項(xiàng)：如果隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)當(dāng) 2. 2 隨機(jī)向量2.2.3 中心極限定理1. 中心極限定理的內(nèi)容 如果一個(gè)隨機(jī)變量的隨機(jī)性是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，并且每一個(gè)因素都是微小的，則隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。2. 2 隨機(jī)向量2. 中心極限定理的數(shù)學(xué)描述3. 中心極限定理的應(yīng)用 用于確定抗力隨機(jī)變量的概率分布。 令Y是n個(gè)相互獨(dú)立

6、隨機(jī)變量序列 的和，單個(gè)隨機(jī)變量都不主要影響其和的大小，則當(dāng)n趨向于無(wú)限大時(shí)隨機(jī)變量Y 服從或近似服從正態(tài)分布，也即是：2. 3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義第 2 章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義 結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間，在規(guī)定的條件，完成預(yù)定功能的能力。結(jié)構(gòu)的可靠性，包括結(jié)構(gòu)的安全性、適用性和耐久性。1. 規(guī)定時(shí)間2.3.1 結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)使用年限- 設(shè)計(jì)規(guī)定的結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件不需進(jìn)行大修即可按其預(yù)期目的使用的時(shí)期。- 即房屋結(jié)構(gòu)在正常設(shè)計(jì)、正常施工、正常使用和正常 維護(hù)下所應(yīng)達(dá)到的使用年限，如達(dá)不到這個(gè)年限則意 味著在設(shè)計(jì)、施工、使用與維修的某一環(huán)節(jié)上出現(xiàn)了 非正常情況，應(yīng)查找原

7、因。2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義 GB500682001規(guī)定：結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使用年限分類類別設(shè)計(jì)使用年限（年）示 例15臨時(shí)性結(jié)構(gòu)225易于替換的結(jié)構(gòu)構(gòu)件350普通房屋和構(gòu)筑物4100紀(jì)念性建筑和特別重要的建筑結(jié)構(gòu) 設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期問(wèn)題：設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期是否等于設(shè)計(jì)使用期？ - 確定結(jié)構(gòu)荷載大小規(guī)定的一個(gè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)。 - 建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期一般為30、50年2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義2. 規(guī)定條件正常設(shè)計(jì)正常施工正常使用不考慮人為錯(cuò)誤3. 預(yù)定功能極限承載能力要求結(jié)構(gòu)適用性要求在正常使用時(shí)具有良好的工作性能；結(jié)構(gòu)整體承載能力要求遭受及其偶然的作用時(shí)，能保持必要的整體穩(wěn)定性偶然作用如地震、龍卷風(fēng)、爆炸（煤氣或恐怖襲擊）

8、、火災(zāi)等結(jié)構(gòu)的耐久性要求在正常維護(hù)下具有足夠的耐久性。能承受正常施工和使用期間可能出現(xiàn)的各種作用。2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義 “極限狀態(tài)”分類2.3.2 極限狀態(tài)、極限狀態(tài)方程 “極限狀態(tài)”定義 結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài) 結(jié)構(gòu)失效的臨界狀態(tài) 整個(gè)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分超過(guò)某一特定狀態(tài)(達(dá)到極限承載力；失穩(wěn)；變形、裂縫寬度超過(guò)某一規(guī)定限制等)就不能滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的某一功能要求，此特定狀態(tài)稱為該功能的極限狀態(tài)。 (1)承載能力極限狀態(tài) (2)正常使用極限狀態(tài)2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的基本理論1. 結(jié)構(gòu)承載力極限狀態(tài)的定義2.3.3 結(jié)構(gòu)的承載力極限狀態(tài)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達(dá)到最大承載力或不適于繼續(xù)承載的變形。 承載能力極限狀態(tài)

9、標(biāo)志（1）整個(gè)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分作為剛體失去平衡（2）結(jié)構(gòu)構(gòu)件或連接因超過(guò)材料強(qiáng)度而破壞(包括疲勞壞)， 或因過(guò)度變形而不適于繼續(xù)承載（3）結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)動(dòng)機(jī)構(gòu)（5）地基喪失承載力而破壞（4）結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件喪失穩(wěn)定性2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義（1）影響正常使用或外觀的變形2. 正常使用極限狀態(tài) 結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達(dá)到正常使用或耐久性的某項(xiàng)規(guī)定限值。 正常使用極限狀態(tài)標(biāo)志（2）影響正常使用或耐久性的局部破壞(包括裂縫)（3）影響正常使用的振動(dòng)（4）影響正常使用的其它特定狀態(tài)（例：滲漏、腐蝕、 凍害等) 保證結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的適用性、耐久性。2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義安全狀態(tài)極限狀態(tài)失效狀態(tài)2.3.4 極限狀態(tài)方

10、程（功能函數(shù)）基本變量: 作用效應(yīng)S、結(jié)構(gòu)抗力R - 隨機(jī)變量 結(jié)構(gòu)的功能函數(shù) 結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程 SRZ=R-S= 0Z0可靠區(qū) Z0 失效區(qū)01. 多變量情況極限狀態(tài)方程與極限狀態(tài)相對(duì)應(yīng)對(duì)于某一極限狀態(tài)，可以有不同的極限狀態(tài)方程不同的極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)不同的極限方程Z 為安全余量 極限狀態(tài)方程的特點(diǎn)2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義2. 多變量情況一般情況下，結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量：重力荷載、樓面活荷載、風(fēng)荷載；材料強(qiáng)度、截面尺寸等。功能函數(shù):這些變量構(gòu)成一個(gè)向量極限狀態(tài)方程:安全狀態(tài)極限狀態(tài)失效狀態(tài)2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義 2.3.5 結(jié)構(gòu)可靠度1. 結(jié)構(gòu)的可靠度定義功能函數(shù)： 是與結(jié)構(gòu)

11、可靠度計(jì)算有關(guān)的隨機(jī)變量 Z 是隨機(jī)變量，假定其概率密度函數(shù)為則結(jié)構(gòu)的安全概率為 結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間，在規(guī)定的條件，完成預(yù)定功能的概率結(jié)構(gòu)的可靠度。則結(jié)構(gòu)的失效概率為2.3 結(jié)構(gòu)可靠度的定義結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的定義：3. 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)2. 安全概率 和失效概率 的關(guān)系:式中 為正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。第 2 章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率 2.4.1 兩變量的失效概率1. 基本假定2. 概率積分方法(1) S 表示構(gòu)件總的荷載效應(yīng)，其PDF和CDF：,(2) R 表示構(gòu)件的抗力，其PDF和CDF：,(3) R 和 S 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則有：失效域:失效域安全

12、域 極限狀態(tài)方程 功能函數(shù)2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率失效概率結(jié)構(gòu)的失效概率與隨機(jī)變量R和S的概率密度干涉面積密切相關(guān)，因此這種積分法又叫概率干涉法。干涉面積2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率首先對(duì) s 積分, 在對(duì) r 積分 首先對(duì) r 積分, 在對(duì) s 積分2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率3. 概率干涉法物理意義考慮荷載效應(yīng)在微小空間 的出現(xiàn)概率構(gòu)件抗力r比荷載效應(yīng)s小的概率:由于 R 和 S 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則上述兩個(gè)事件同時(shí)同時(shí)出現(xiàn)概率概率干涉法的物理意義：荷載效應(yīng)出現(xiàn)事件與構(gòu)件抗力比荷載效應(yīng)小事件的積。2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率注意失效概率與干涉面積有如下關(guān)系:失效概率與干涉面積密切相關(guān)，干涉面積越大失效概率越大，反

13、之則失效概率越小。2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率假定荷載效應(yīng)S( )和抗力R ( )都服從正態(tài)分布功能函數(shù)Z( )服從正態(tài)分布失效概率 為:令 , 則有 2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率 2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率例 2.1結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的功能函數(shù)為其中 R 表示結(jié)構(gòu)構(gòu)件的屈服極限， S 表示結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面的應(yīng)力，它們之間相互獨(dú)立。R 服從正態(tài)分布，分布參數(shù)：S 服從指數(shù)分布，分布參數(shù)：計(jì)算構(gòu)件截面的失效概率。2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率 計(jì)算過(guò)程:令, 則2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率 帶入 , , , 的數(shù)值，則可計(jì)算得到結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面的失效概率為 :直接積分法計(jì)算過(guò)程非困難，在實(shí)際應(yīng)用中難度非常大。2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率 2

14、.4.2 多變量情況失效概率1. 功能函數(shù)為n維隨機(jī)向量假定隨機(jī)向量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為2. 計(jì)算公式為結(jié)構(gòu)的失效域2.4 結(jié)構(gòu)的失效概率3. 計(jì)算方法概率干涉法精確的解析法:近似的解析法一次二階矩法高次高階矩法蒙特卡羅 法(MCS)超拉丁抽樣方法重要抽樣方法數(shù)值積分方法解析法隨機(jī)模擬法均值一次二階矩法JC法二次二階矩法二次四階矩法2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)第 2 章 概率論基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)可靠度基本理論2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo) 2.5.1 R 和S 為獨(dú)立正態(tài)分布1. 功能函數(shù)2. 計(jì)算公式 由于 R 和S 是正態(tài)隨機(jī)變量，所以Z 也是正態(tài)隨機(jī)變量，則有是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)失效概率 為

15、:令 , 則有2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)令 , 則有 。 為結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo).可靠指標(biāo)越大，結(jié)構(gòu)的失效概率越小，結(jié)構(gòu)的保證率越大，也即結(jié)構(gòu)的可靠性越高2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)3.4010-64.51.3510-33.06.6810-21.53.1710-54.06.2110-32.51.5910-11.02.8710-75.02.3310-43.52.2810-22.0可靠指標(biāo) 與失效概率 之間的關(guān)系 10-1 1.2810-2 2.3310-3 3.0910-4 3.7110-5 4.2610-6 4.7510-7 5.1910-8 5.6210-9 5.992.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo) 2.5.2 R和 S 為

16、獨(dú)立對(duì)數(shù)正態(tài)分布2. 可靠指標(biāo)的計(jì)算過(guò)程1. 功能函數(shù)其中 是相互獨(dú)立的對(duì)數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)例 2.2 解:計(jì)算該構(gòu)件的可靠指標(biāo)和失效概率。 假定結(jié)構(gòu)構(gòu)件的功能函數(shù)為 ，其中S 和R 是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，它們的概率特征參數(shù)如下：2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo) 解:例 2.3計(jì)算該構(gòu)件的可靠指標(biāo)和實(shí)效概率。 假定結(jié)構(gòu)構(gòu)件的功能函數(shù)為 ，其中S 和R 是相互獨(dú)立的對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量，它們的概率特征參數(shù)如下：2.5 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)利用近似計(jì)算公式兩種方法的計(jì)算誤差:2.5 可靠指標(biāo)的幾何意義 2.5.3 可靠指標(biāo)的幾何意義1. 功能函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 R 和 S ，也

17、即是假定 是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，即2.5 可靠指標(biāo)的幾何意義失效域安全域2.5 可靠指標(biāo)的幾何意義 可靠指標(biāo)是指在標(biāo)準(zhǔn)化空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)方程表示的直線的最短距離。2.5 可靠指標(biāo)的幾何意義失效域安全域 2.5.4 設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn) 定義：在標(biāo)準(zhǔn)化空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)方程表示直線的垂足。2.5 可靠指標(biāo)的幾何意義2.6 可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 第 2 章 結(jié)構(gòu)可靠度的基本理論2.6 可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 2.6.1 安全系數(shù) 根據(jù)傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原則，結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)定義為抗力均值與荷載效應(yīng)均值的比值，也即是： 傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式為傳統(tǒng)設(shè)計(jì)原則的不足K 通過(guò)工程經(jīng)驗(yàn)確定K 僅僅與荷載和抗力的均值有關(guān)，無(wú)法反應(yīng)結(jié)構(gòu)失效事件的概率，也即是沒(méi)有概率意