全國優(yōu)質課-單調性與最大(小)值

1、 # 第九屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動函數(shù)的單調性與最值一第一課時教學設計普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修1第一章第3節(jié) 12 函數(shù)單調性與最值第一課時教學設計一、教學內容解析（1）教學內容的內涵、數(shù)學思想方法、教學重點。本節(jié)課選自人教A版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1第一章第1.3節(jié)第一課時。教材研究的函數(shù)的單調性是嚴格單調，是研究“函數(shù)值y隨自變量值x的增大而增大（或減?。钡男再|。這一性質的直觀反映了函數(shù)從左向右是持續(xù)上升還是持續(xù)下降的；它反映了的是函數(shù)圖像的變化趨勢。函數(shù)的單調性不同于函數(shù)的奇偶性，單調性研究的是函數(shù)的局部性質，而奇偶性研究的是函數(shù)的整體對稱性

2、。函數(shù)單調性的研究過程體現(xiàn)了一些重要的數(shù)學思想方法：“數(shù)形結合”的思想：先借助函數(shù)圖像直觀觀察，再借助表格列舉計算分析歸納發(fā)現(xiàn)增減函數(shù)的數(shù)字特征，再進一步用符號語言刻畫。從特殊到一般的思想：先通過學生比較熟悉的一次函數(shù)，二次函數(shù)的探究發(fā)現(xiàn)“函數(shù)值y隨自變量值x的增大而增大（或減小）”的一般規(guī)律，再用符號語言抽象出函數(shù)單調性的定義。類比的方法：得出增函數(shù)的定義后只需要類比探究就可以得出減函數(shù)的定義。體現(xiàn)了研究概念（定義）問題的一般思路：經歷情景化去情景化情境再現(xiàn)經歷情景化：先通過生活實例讓學生體會到單調性在實際生活中的背景。去情境化：通過兩個具體函數(shù)的探究發(fā)現(xiàn)“函數(shù)值y隨自變量值x的增大而增大（

3、或減小）”這一現(xiàn)象，再通過探究分析這一現(xiàn)象的本質，從而抽象出函數(shù)單調性的定義。情境再現(xiàn)：利用定義去分析問題、解決問題。同時這一研究過程也體現(xiàn)了“發(fā)現(xiàn)問題”“提出問題”“分析問題”“解決問題”這一研究問題的一般思路。教學重點是：通過活動探究引導學生發(fā)現(xiàn)如何用符號化的語言：在定義域丨的某個區(qū)間D上任意取的兩個數(shù)x,x，當xx時，都有f（x）f（x）則稱函數(shù)為區(qū)間12121212D上的增函數(shù)（或減函數(shù)）來刻畫“函數(shù)值y隨自變量值x的增大而增大（或減小）”這一特征。（2）教學內容的知識類型。概念性知識：函數(shù)單調性的定義。程序性知識：根據(jù)函數(shù)圖像找函數(shù)的單調性區(qū)間、判斷函數(shù)的單調性。元認知知識：“發(fā)現(xiàn)問

4、題”“提出問題”“分析問題”“解決問題”這一研究問題的一般思路；從特殊到一般；類比研究的思想均屬于元認知知識。（3）教學內容的上位知識與下位知識。上位知識：文字語言、圖形語言、符號語言、函數(shù)的表示方法（圖像法、列表法、解析法）、研究函數(shù)的基本方法是我們學習函數(shù)單調性的上位知識。下位知識：單調性的證明、根據(jù)單調性畫函數(shù)圖像、函數(shù)的最值、利用單調性比大小是函數(shù)單調性的下位知識。（4）思維教學資源和價值觀教學資源。本節(jié)課引入例子摘取自生活實例，再結合天氣預報引發(fā)學生建立函數(shù)模型去觀察圖像變化趨勢從而激發(fā)學生觀察發(fā)現(xiàn)思維；再從學生熟悉的“一次函數(shù)、二次函數(shù)”入手探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)變化趨勢的本質從而抽象定義，

5、既能激發(fā)學生從“特殊到一般”從“感性到理性”的思想，也能培養(yǎng)學生“數(shù)學抽象”這一素養(yǎng)。二、教學目標設置通過學生畫出兩個特殊的一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像能直觀地判斷函數(shù)的變化趨勢，并能用文字語言描述函數(shù)的變化趨勢。2通過老師幾何畫板動畫演示和學生的類比探究讓學生體會并理解“任意都”的含義。3通過例題1和定義辨析進一步讓學生理解單調性的定義.在兩個特殊函數(shù)探究中歸納抽象出單調性的定義，從而培養(yǎng)學生“數(shù)學抽象”這一素養(yǎng)。5在類比增函數(shù)的探究方法探究減函數(shù)定義過程中，讓學生體會“類比方法”。6通過生活實例引入，讓學生感受數(shù)學來源于生活高于生活，體會數(shù)學的應用價值。7通過活動設計，問題串聯(lián)，讓學生經歷過程

6、探究、經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、類比研究的過程，形成理性數(shù)學思維，體會事物互相聯(lián)系互相影響的辯證主義唯物觀。三、學生學情分析（1）學生已有的認知基礎學生通過初中階段對一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學習，以及高中階段對函數(shù)概念的學習和函數(shù)表示方法的學習，已經明確了研究函數(shù)的一些基本思路和基本方法。初中階段學生也接觸過“單調性”它是用描述性的語言即“y隨x的增大而增大（或減?。眮砻枋鲎兞恐g的依賴關系，而一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)都可以很好地呈現(xiàn)這一規(guī)律，這位我們抽象函數(shù)單調性的定義提供了認知基礎。此外通過學生小學初中階段的學習，學生具備了一定的數(shù)學素養(yǎng)：如抽象概括、類比推理、數(shù)據(jù)處

7、理等，為新知學習提供了一定的保障。（2）達成教學目標所需要認知基礎本節(jié)課目標的達成需要學生有一定的“數(shù)學抽象”能力和“有限”與“無限”的觀點，需要學生有一定的“數(shù)形結合”的思想。（3）“已有基礎”與“需要基礎”之間的差異學生對兩個具體數(shù)據(jù)的比較應該是清楚的，但要將具體的數(shù)據(jù)比較轉化為“任意”兩個數(shù)據(jù)大小的比較存在一定認知差異；學生用文字語言描述V隨x的增大而增大（或減?。┮彩菦]有問題的，但要將“文字語言”的描述抽象為為“符號語言”的描述還存在一定差異。（4）教學難點及突破策略難點1：如何用符號語言刻畫“y隨x的增大而增大（或減小）”。突破策略：通過回顧f（x）=x2圖像直觀感受“y隨x的增大而

8、增大（或減?。保辉偻ㄟ^“列表法”由形入數(shù)在表中任選兩對數(shù)據(jù)比較其大小第一次發(fā)現(xiàn)“y隨x的增大而增大（或減小）”在解析式上的體現(xiàn)：如當12時，有f（1）f(1)，則函數(shù)在區(qū)間上D上一定是增函數(shù)嗎？通過思考1讓學生舉出反例體會特殊數(shù)據(jù)的比較不能代表所有數(shù)據(jù)的比較，體會“任意”的含義。思考2：函數(shù)在區(qū)間(1,3)和3,5都是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,5上一定也是增函數(shù)嗎？通過思考2設計的問題讓學生再次體會“任意都”的含義，結合分段函數(shù)的反例讓學生一方面體會“任意都”的含義另一方面體會正因為單調性強調“任意都”從而導致了單調性是函數(shù)的局部性質這一特征。思考3：反比例函數(shù)f(x)=1在整個定義域上是減

9、函數(shù)嗎？x通過思考3的設計讓學生結合思考2和自己比較熟悉的反比例函數(shù)對比再次體會“任意都”的含義四、教學策略分析教學材料分析首先從學生身邊實例(最高氣溫隨時間變化曲線圖)出發(fā)，讓學生通過自身對溫度變化的體驗和數(shù)據(jù)統(tǒng)計曲線圖直觀感受兩個變量之間的變化關系。再從學生非常熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)入手通過圖像語言、文字語言描述函數(shù)變化趨勢；提出問題：如何用符號語言描述函數(shù)變化趨勢？而在后續(xù)的“分析問題一解決問題”的過程中，以學生熟悉的二次函數(shù)f(x)二x2為載體探究其內在規(guī)律，通過幾何畫板動畫演示如何任取兩點比較自變量和函數(shù)值的大小，實現(xiàn)學生對“任意都”的理解，實現(xiàn)由“形”到“數(shù)”的過度。通過三個思考

10、的辨析加強學生對定義的理解和認識，通過例題1和學生練習讓學生理解定義掌握定義，也體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值。教學方法分析本節(jié)課活動設計較多，所以采用“導學案”的形式讓學生開展探究式學習，同時通過幻燈片及動畫展示、學生活動展示等手段采用觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導、合作探究的教學方式開展教學。設計“問題串”引導學生數(shù)學思維活動分析以學生對函數(shù)已有的認知基礎為主線展開問題設計。通過11個關鍵問題串聯(lián)引導學生開展探究。同時在定義辨析、示范證明過程中通過對細節(jié)的一些追問加深學生的問題的認識和理解?？s小認知差距分析通過3個探究活動、三個定義辨析、1個例題、1個練習和學生小結交流，讓學生充分參與活動體驗，在老師問題設計下

11、實施探究，體會知識的生成過程，逐步縮小認知差距。學習反饋分析通過類比探究反饋學生對“任意都”的理解是否清晰，通過例題1反饋學生對單調性定義的理解，通過三個思考問題的辨析反饋學生對概念的理解是否深刻，通過小結反饋學生對本節(jié)課涉及的數(shù)學知識、方法、思想的認識。五、教學流程 六、教學過程教學師生活動設計意圖環(huán)節(jié)創(chuàng)設情境引入好友來信貴阻市用慶節(jié)每日最高吒溫天氣預報啊1電皆垃n;r-rig20期16）時MdoW問題1：你能結合天氣預報給我的好朋友一些建議嗎？生：抽1學生回答、其他學生補充。問題2：如果把時間設為x,最高氣溫設為y,y是x的函數(shù)嗎？生：一起回答。問題3：若果y是x的函數(shù)，那么函數(shù)圖像反應了

12、哪些變化規(guī)律？生：抽1學生回答、其他學生補充。師:那么如何研究函數(shù)這種變化趨勢呢？這就是今天我們要學習的函數(shù)的單調性。由形入數(shù)、提出問題探究1：你能畫出下列函數(shù)圖像，并描述函數(shù)有何變化趨勢嗎？、f=X2)、f(x)=x-（二）由形入數(shù)提出問題問題4：畫圖基本步驟是：1.，2.，3.生：一起回顧畫圖基本步驟后、再學案上畫圖研究。師:巡視課堂根據(jù)學生完成情況隨機抽取一個學生上臺展示其研究成果。生：展示圖像及研究結果，是補充糾正。師：學生展示完后在PPT上小結研究過程：我們已經從圖形語言、1.以生活實例為情景，激發(fā)學生的學習興趣。2問題2體現(xiàn)數(shù)學建模過程，培養(yǎng)學生建模意識。3問題3讓學生直觀感知圖像

13、“上升（下降）”并用文字語言“y隨x的增大而增大（或減?。泵枋觥吧仙薄跋陆怠壁厔?；完成學生對單調性的直觀認識。4提出本節(jié)課題。1問題4回顧圖像畫法為學生規(guī)范畫圖做準備。學生展示圖像后引導學生結合屬相用文字語言描述函數(shù)變化趨勢完成學生第二次對函數(shù)變化趨勢的直觀認識。通過PPT啟發(fā)引導學生思考：數(shù)學有三大語言，圖形語言和文字語言都能描述函數(shù)變化趨勢，符號語言能否描述函數(shù)變化趨勢？如何描述？從而激發(fā)學生師生共探.抽象定義探究乙如何用豈符號語言1描述函數(shù)f（x）=x2在（也+旳）丫隨）（的增大而增大？（三）探究本質抽象定義在（Q+碣灑的増大血料兒圖像法列表法解析袪1問題5引導學生回顧函數(shù)的一些研究

14、思路和方法，幫助學生找到一些探究思路。2.問題6進一步引導學生從列表法和解析法（利用解析式）去探究。師：問題5：函數(shù)的表示方法有？生：圖像法、列表法、解析法。師：問題6：我們已經用圖像法研究過了函數(shù)的變化趨勢，那我們可否再從列表法、解析法的角度去研究函數(shù)的變化趨勢呢？探究方向1：列表探究在下表中任取一些自變量的值，比較它們的函數(shù)值大小，你能發(fā)現(xiàn)什么結論？xf(x)問題7：列表法能把（0,+）內的所有的數(shù)都比較完嗎?問題8：如何才能把（0,+）內的所有的數(shù)都比較完呢？師：停頓30秒讓學生思考、引導學生發(fā)現(xiàn)要在函數(shù)上任取兩個點作比較，然后用幾何畫板演示為怎么任取兩個點，為什么任取兩個點就可以把（0

15、,+）內的所有的數(shù)都比較完。探究方向2：解析法（利用解析式研究）：師：幾何畫板演示探究過程.3問題7幫助學生認識列表法的局限性：只能實現(xiàn)有限”個自變量和函數(shù)值大小的比較；不能把所有自變量和函數(shù)值大小的比較完。激發(fā)學生認知沖突。4.問題8提出后老師停頓讓學生思考，給予學生思考時間引導學生能發(fā)現(xiàn)“任取”兩點作比較的思路。通過幾何畫板動畫演示幫助學體會如何實現(xiàn)“任意”兩個自變量和函數(shù)值大小的比較。幫助學生實現(xiàn)從“有限”到“無限”的過度。文字語言的角度研究了函數(shù)的變化趨勢;那么如何用符號語言描述學習興趣，明確研究方向提出研究問題。函數(shù)的變化趨勢呢?探貫1:如何川符研語打描述函數(shù)庇淤尸亡在UhF、懶X的

16、舞人而增大？/il/(1存：帀半軸上攔血兩十岸II/叮就芮點腳(牠的垂掰/計H說!4=莊咸兇僭:二門|/.：E汕|：y內任意兩個數(shù)巧巧,_a當X、時，都年JRwJu問題9：你能用符號語言描述f(x)二x2在(0,+)y隨X的增大而6問題9幫助學生歸納總結如何用符號語言描述y隨x的增大而增大。培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)。7.問題10幫助學生實現(xiàn)從“特殊到一般”的過度和認識，抽象出增函數(shù)的定義。增大這一規(guī)律了嗎？學生總結如何用符號語言描述y隨X的增大而增大：，問題10：對任一函數(shù)而言，如果滿足：在定義域丨的某個區(qū)間D上任意取的兩個數(shù)x,x，當xx時，都有f(x)f(x)，能121212說明函數(shù)是上升的嗎

17、？抽象增函數(shù)的定義：8通過探究3設計讓學生體會“類比”方法的作用。類I*探究.抽象走義9問題11幫助學生找到類比探究方向。探究3:類比增函數(shù)的探究方法探究函數(shù)f(：X)=X2(-略0)上制阪增大而減小。血10.通過學生在電腦上用幾何畫板探究，體會“任意都”的含義，進而歸納抽象出減函數(shù)的定義。問題11：我們應該如何類比探究呢？生：只需要在函數(shù)圖像上任取兩個點比較它們自變量和函數(shù)值的大小即可。師:下面請大家通過幾何畫板上在函數(shù)圖像上任取兩個點比較它們自變量和函數(shù)值的大小它們有何關系？探究完成后老師引導學生完成下列問題：學生用符號語言描述y隨x的增大而減?。簩W生類比增函數(shù)定義得出減函數(shù)的定義：1.通

18、過三個辨析讓學生再次體會“任師：學生敘述減函數(shù)的定義時，老師在PPT上同步播放定義。辨析1若定義在區(qū)間-2,3的函數(shù)f(x)滿足f(-2)0則函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)嗎？YY力。3.通過分層作業(yè)讓目標AA12不同學生都有不同(2)已知函數(shù)f(x)對于區(qū)間D上的任意實數(shù)x,x都滿足：12收獲和提高。f(1)f(2)0則函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)嗎？x一x12附：板書設計PPT課件單調性的定義增函數(shù)的定義減函數(shù)的定義第九屆全國高中青年數(shù)學教師觀摩與評比活動優(yōu)秀課函數(shù)單調性與最值授課教師：貴陽市第三實驗中學秦孟彬點評教師：貴陽市第十中學葛磊本節(jié)課教師有效采用了探究式教學，為學生提供充分自由表達、質疑、探究

19、、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試、體驗活動，有效達成了本節(jié)課的教學目標，教學環(huán)節(jié)處理恰當，亮點紛呈。一、情境引入，注重學生核心素養(yǎng)的培育。秦老師通過貴陽市2018年國慶期間的天氣情況的實際問題作為引入，引導學生將實際問題抽象成數(shù)學問題，接著去掉實際背景，從函數(shù)的角度來描述時間和氣溫的變化規(guī)律，讓學生直觀認識到函數(shù)的增減性，這是完成數(shù)學建模的一個過程，反映教師重視學生數(shù)學建模及數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng)的培育。二、新知探究，符合新課程重視過程與方法的理念。本節(jié)“概念教學課”，教師把重點放在概念的形成和探究上，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為

20、導向設計教學情境，以“函數(shù)單調性”為基本探究內容，符合新課程標準重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學只注重結論的傾向。三、概念形成，重視觀察實驗與學生體驗。概念的探究與形成，是本節(jié)課的重點和難點，教師讓學生畫出函數(shù)f(x)=x,f(x)二x2的圖象，又讓學生直觀感受函數(shù)圖象“上升（下降）”的趨勢，引導學生用文字語言描述“y隨x的增大而增大（或減?。?。然后教師選擇大家都熟悉的二次函數(shù)f（X）二X2圖象為切入點，讓學生體驗了“觀察一實驗一歸納一猜想一類比”的數(shù)學思想方法，形成了“函數(shù)單調性”這一概念，這是本節(jié)課的亮點。四、目標達成，反映教師教學基本功扎實。教學過程中，教師充分利用現(xiàn)代教育技術手段：如手機拍照等展示，使得教學過程更為流暢，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維和反饋，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。函數(shù)單調性與最值第一課時學案一）創(chuàng)設情境、引入新課好友來信貴陽市國慶節(jié)每口最高氣溫天氣預報最高氣湍（單恆：度問題1：你能結合天氣預報給我的好朋友一些建議嗎？電同竽甘罠不