電磁場理論課件：第五章 第2節(jié) 推遲解

1、復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容1. 用勢描述電磁場2. 兩種規(guī)范1.庫侖規(guī)范2. 洛侖茲規(guī)范5.2 推遲勢Retarded Potential 本節(jié)主要是求解達(dá)朗貝爾（ d Alembert ）方程，并闡明其解的物理意義。 又因矢勢 的方程與標(biāo)勢 的方程在形式上相同，故只需求出 的方程的解即可。 達(dá)朗貝爾方程式是線性的，反映了電磁場的疊加性，故交變電磁場中的矢勢 和標(biāo)勢 均滿足疊加原理。因此，對于場源分布在有限體積內(nèi)的勢，可先求出場源中某一體積元所激發(fā)的勢，然后對場源區(qū)域積分，即得出總的勢。一. 標(biāo)勢和矢勢的達(dá)朗伯方程的解 標(biāo)勢方程中 為已知。若 較復(fù)雜，直接得到一般解比較困難。本節(jié)先從一個(gè)點(diǎn)電荷出發(fā)，然

2、后由迭加原理得到解。1. 點(diǎn)電荷在空間激發(fā)的標(biāo)勢 設(shè)點(diǎn)電荷處于原點(diǎn)，函數(shù)的定義積分區(qū)域包含x=0的點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)電荷處于原點(diǎn)， ，考慮對稱性取球坐標(biāo)且 與 無關(guān)。標(biāo)勢的達(dá)朗貝爾方程化為：令當(dāng) 時(shí)，波動方程 這個(gè)類似于一維波動方程的解可以表示為： 證明：令 ，先證 是方程的解。同樣可證明 是方程的解代表向外傳播的球面波r 增大時(shí)標(biāo)勢減弱代表向內(nèi)收斂的球面波由于討論輻射問題所以這表示t時(shí)刻的標(biāo)勢與t-r/c時(shí)刻的另一函數(shù)值相關(guān)。推遲勢因此在交變電磁場中應(yīng)有相似的解，即故假設(shè)場源 所激發(fā)的勢為所以與恒定場中Q所激發(fā)的電勢計(jì)較下面證明上述解的形式滿足當(dāng) 時(shí)，解滿足波動方程r=0點(diǎn)是上述解的奇點(diǎn)，則下式只可能

3、在r=0點(diǎn)上不等于零，有函數(shù)形式的奇異性作一半徑為（0)的小球包圍原點(diǎn)，在小球內(nèi)積分當(dāng)0 時(shí),積分的第二項(xiàng)2而趨于零只有對分母因子求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)才得到不為零的積分，因此可以令函數(shù)的定義積分區(qū)域包含x=0的點(diǎn)因此證明了解的形式 滿足如果電荷不在原點(diǎn)上,而是在 點(diǎn)上，令r為 點(diǎn)到場點(diǎn) 的距離，有2. 連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的標(biāo)勢3. 矢勢 的解 由于 滿足的方程形式上與 滿足的方程一樣，類比得到 的解：1.推遲勢：勢函數(shù)在空間 點(diǎn)、 時(shí)刻的值依賴于 時(shí)刻的電荷、電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了 。具有這樣特性的勢稱為推遲勢。 空間點(diǎn) 、 時(shí)刻的電磁場由 時(shí)刻的電荷、電流分布決定。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的物理作用在經(jīng)歷了時(shí)間 后才到達(dá)觀察點(diǎn)，即場的建立需要時(shí)間，而相互作用的傳播速度在真空中為c。 二推遲勢及其物理意義2電磁相互作用需要時(shí)間 綜上所述，推遲勢的重要性在于說明了電磁作用是以速度c向外傳播的，它不是瞬時(shí)超距作用。換句話說：電荷、電流輻射電磁波，而電磁波以速度 脫離電荷、電流向外傳播。這就是推遲勢所描寫的物理過程。二.證明 、 滿足Lorentz條件證：令