熱傳導(dǎo)第一章

1、熱 傳 導(dǎo) 教師(jiosh) 王迅共一百零二頁參考文獻(xiàn)Conduction of Heat in SolidsH.S.Carslou and J.C.Jaeger,Oxford Univ. Press, 1959熱傳導(dǎo)張洪濟(jì)，高等教育出版社熱傳導(dǎo)M.N.奧齊西克，高等教育出版社熱傳導(dǎo)理論與方法林瑞泰編著(binzh)，天津大學(xué)出版社數(shù)學(xué)物理方法梁昆淼編，高等教育出版社共一百零二頁成績：平時(shí)成績?cè)嚲沓煽兤綍r(shí)成績：報(bào)告(bogo)（課上講的+查相關(guān)資料）作業(yè)課堂表現(xiàn)共一百零二頁第一章 導(dǎo)熱的理論(lln)基礎(chǔ)熱傳導(dǎo)1、定義：指溫度不同的物體各部分或溫度不同的兩物體間直接接觸時(shí)，依靠分子、原子及自

2、由電子等微觀粒子熱運(yùn)動(dòng)而進(jìn)行的熱量傳遞現(xiàn)象。2、物質(zhì)屬性(shxng)：可以在固體、液體、氣體中發(fā)生。共一百零二頁3、導(dǎo)熱的特點(diǎn)： (a) 必須有溫差； (b) 物體直接接觸(jich)，不發(fā)生宏觀的相對(duì)位移； (c) 依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子熱運(yùn)動(dòng)而傳遞熱量。純導(dǎo)熱只發(fā)生(fshng)在固體中共一百零二頁一、溫度場與熱流場 溫度場：某一瞬間，空間（或物體）所有溫度點(diǎn)分布的總稱。 溫度是一種無方向的量，即標(biāo)量。 溫度場是空間坐標(biāo)(zubio)和時(shí)間的函數(shù)。在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系中可表示為 t=f(x, y, z, t)第一節(jié) 傅立葉定律共一百零二頁溫度場分類（以直

3、角坐標(biāo)系為例）：（1）按時(shí)間劃分穩(wěn)態(tài)溫度(wnd)場：物體各點(diǎn)溫度(wnd)不隨時(shí)間改變。非穩(wěn)態(tài)溫度場：溫度分布隨時(shí)間改變。（2）隨空間變化 一維、二維和三維穩(wěn)態(tài)溫度場。如共一百零二頁 熱流場：熱流在某一瞬間的空間中的分布(fnb)。 熱流或熱流密度是一種既有方向又有大小的矢量。 在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)中共一百零二頁二、等溫面和溫度梯度等溫面：物體內(nèi)同一瞬間溫度相同的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的面稱為等溫面。等溫線：在二維情況下，等溫面為一等溫線。 特點(diǎn)(tdin)：（1）溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交；（2）在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會(huì)中止，它們或者是物體中完全封閉的曲面

4、（曲線），或者就終止與物體的邊界上。共一百零二頁（3）物體中等溫線較密的的地方(dfng)說明溫度的變化率大，導(dǎo)熱熱流也較大。溫度(wnd)變化率與溫度(wnd)梯度 ： 溫度變化率：在物體內(nèi)某一點(diǎn)處，沿空間某一方向s的溫度的變化率，或稱為溫度場沿該方向的方向?qū)?shù)。共一百零二頁溫度沿某一方向s的變化率在數(shù)學(xué)上可以用該方向上溫度對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)(do sh)來表示，即溫度梯度：對(duì)于確定的空間點(diǎn)，在空間各方向上最大溫度變化率稱為(chn wi)該點(diǎn)的梯度。系統(tǒng)中某一點(diǎn)所在的等溫面的法線方向是最大溫度變化方向。該方向的溫度變化率即為溫度梯度，記為gradt。共一百零二頁溫度梯度是用以反映溫度場在空間的

5、變化(binhu)特征的物理量。等溫面和熱流(rli)方向示意圖溫度梯度在直角坐標(biāo)系中的表示注：溫度梯度是向量；正方向朝著溫度增加的方向。共一百零二頁三、傅立葉定律 它是一種(y zhn)實(shí)驗(yàn)定律。1822年法國數(shù)學(xué)家Joseph Fourier提出的。 物理意義：（1）物體某處的溫度梯度是引起物體內(nèi)部(nib)及物體之間熱量傳遞的根本原因。（2）熱流密度q是矢量。熱流方向總是與等溫面（線）垂直，并指向溫度降低的方向。共一百零二頁適用(shyng)條件：（1）傅立葉定律適用于有、無內(nèi)熱源，常物性或物性隨溫度變化，任何幾何形狀，（非）穩(wěn)態(tài)，各種物態(tài)（固、液、氣）。（2）適用于特定的時(shí)間、特定的地

6、點(diǎn)的局部值。（3）適用于各向同性( xin tn xn)的介質(zhì)。（4）不適用于非傅立葉導(dǎo)熱的情形。在直角坐標(biāo)系中，投射表達(dá)式為共一百零二頁四、傅立葉定律(dngl)的局限性傅立葉定律的假定導(dǎo)熱研究中的連續(xù)性假定。只要所要研究物體的幾何尺寸遠(yuǎn)大于分子間的平均自由(zyu)行程這種連續(xù)性假定總成立。如一個(gè)大氣壓、室溫的空氣分子的平均自由行程約為0.07mm.傅立葉定律適用的前提是熱擾動(dòng)傳播速度是無限大 。 對(duì)一般工程問題，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱流密度不很高，過程作用的時(shí)間足夠長、過程發(fā)生的尺寸范圍足夠大，傅立葉導(dǎo)熱定律完全適用。共一百零二頁傅立葉定律不適用的情況：導(dǎo)熱物體的溫度接近絕對(duì)零度時(shí)（溫度效應(yīng)）。

7、如在1.4K的液氮中，熱傳播速度c僅為19m/s。當(dāng)過程的作用時(shí)間與材料的固有時(shí)間尺度相接近時(shí)（時(shí)間效應(yīng)）。熱傳播速度無限大假設(shè)不成立。當(dāng)過程發(fā)生的空間尺度(chd)極小，與微觀粒子的平均行程相接近時(shí)（空間效應(yīng)）。連續(xù)性假定不成立。共一百零二頁所謂(suwi)微機(jī)電系統(tǒng)是指幾何尺寸在1mm到1mm之間的期間所組成的系統(tǒng)。新技術(shù)對(duì)傳統(tǒng)傅立葉導(dǎo)熱提出(t ch)挑戰(zhàn)時(shí)間空間共一百零二頁 其中：a導(dǎo)溫系數(shù)，c熱傳播速度。to稱為馳豫時(shí)間，它反映導(dǎo)熱系統(tǒng)趨近新的平衡狀態(tài)的速度，其數(shù)量級(jí)與分子(fnz)二次碰撞的時(shí)間間隔相同。它是材料本身固有的時(shí)間尺度。 對(duì)一般金屬其值在10121013 s左右傅立葉定

8、律(dngl)的修正式：共一百零二頁 討論：（1）對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，熱流密度矢量不隨時(shí)間變化，傳播相（左邊第一項(xiàng)）的影響消失，傅立葉定律(dngl)精確成立。（2）在通常情況下，熱擴(kuò)散率比熱傳播速度的平方約小10個(gè)數(shù)量級(jí) ，傳播項(xiàng)的影響可忽略不計(jì)，此時(shí)傅立葉定律仍然適用。共一百零二頁（3）在一些超常情況下，如深冷（c很?。⒓彼偌訜峄蚶鋮s、超高熱負(fù)荷等（ 很大），才必須考慮熱傳播項(xiàng)的影響(yngxing)。 例如在1.4K的液氮中，熱傳播速度c僅為19m/s，傳播項(xiàng)的影響不可忽略不計(jì)。共一百零二頁第二節(jié) 導(dǎo)熱(dor)系數(shù)一、導(dǎo)熱系數(shù) 導(dǎo)熱系數(shù)的定義由傅立葉定律給出： 導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度

9、降度（即1/m）下，在垂直于熱流(rli)密度的單位面積上所傳導(dǎo)的熱流(rli)量。導(dǎo)熱系數(shù)是表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小的宏觀物理量。共一百零二頁1、物態(tài)的影響 一般(ybn)地，固體的導(dǎo)熱系數(shù)最大，液體次之，氣體最低。這一特性也適用于同一物質(zhì)的不同集態(tài)。導(dǎo)熱系數(shù)(xsh)的特點(diǎn)：物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)氣體氫氦甲烷空氣二氧化碳0.1810.1530.0340.0260.017液體水銀水氨乙二醇甲醇潤滑油8.520.6100.4790.2580.2080.086固體(純金屬)銀銅金鋁鎂鎳鐵白金鉛鈦42739831523715690.580.371.435.221.9固體(合金)黃銅（Cu-40Zn）焊錫碳素鋼（

10、S35C）不銹鋼(SUS304)鈦合金(Ti-6Al-4V)12346.543.016.07.60固體(非金屬)藍(lán)寶石冰（273K）冰石英玻璃鈉玻璃丙烯酸（類）樹脂46.02.201.381.030.21可由理論精確地預(yù)測導(dǎo)熱系數(shù)的情況很少，通常使用的導(dǎo)熱系數(shù)是由實(shí)驗(yàn)得出。 共一百零二頁2、固體 固體中的熱量傳遞是自由電子的遷移和晶格振動(dòng)相疊加兩種作用的結(jié)果.（1） 金屬的熱導(dǎo)率 純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)：依靠(yko)自由電子的遷移和晶格的振動(dòng)，主要依靠(yko)前者。金屬的導(dǎo)熱系數(shù)與其導(dǎo)電率呈正比（除了鐵等幾種金屬以外）。 在純金屬中摻入雜質(zhì)(zzh)后，合金的導(dǎo)熱系數(shù)明顯降 低，合金的導(dǎo)熱系數(shù)不

11、一定與摻入比例呈反比。 晶格振動(dòng)的加強(qiáng)干擾自由電子運(yùn)動(dòng)。共一百零二頁金屬的導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度的升高而降低，而其它(qt)材料的導(dǎo)熱系數(shù)則升高。（2）非金屬的熱導(dǎo)率非金屬的導(dǎo)熱：依靠晶格的振動(dòng)傳遞(chund)熱量；比較小。共一百零二頁溫度升高、晶格振動(dòng)加強(qiáng)、導(dǎo)熱(dor)增強(qiáng)保溫材料：國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350度以下(yxi)熱導(dǎo)率小于 0.12W/(mK) 的材料（絕熱材料）。大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)。多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和濕度有關(guān)。共一百零二頁3、氣體(qt) 氣體的導(dǎo)熱可以理解為依靠(yko)分子間碰撞產(chǎn)生了分子的回轉(zhuǎn)、平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的交換，分子動(dòng)能從高的地方向低的地

12、方傳遞。根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)理論，單原子理想氣體的導(dǎo)熱系數(shù)可以表示為下式：氣體分子運(yùn)動(dòng)的均方根速度：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程：氣體的密度；：氣體的定容比熱共一百零二頁氣體的壓力升高時(shí)，氣體的密度增大(zn d)、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變。除非壓力很低或很高，在2.6710-3MPa 2.0103MPa范圍內(nèi)，氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化。 氣體的溫度升高時(shí)，氣體分子運(yùn)動(dòng)速度和定容比熱隨T升高而增大(zn d)，導(dǎo)致氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大(zn d)。共一百零二頁氫和氦氫和氦的導(dǎo)熱系數(shù)(xsh)比其他氣體高得多。共一百零二頁4、液體 與氣體相比,液體的分子間距變小，分子間相互

13、作用變大。由于這個(gè)原因，液體能量傳遞主要依靠分子的振動(dòng)（聲子）。但是(dnsh)，液體不如晶體分子排列有規(guī)律性而且分子在液體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此它的導(dǎo)熱機(jī)理比固體和氣體更復(fù)雜。 隨著溫度升高，液體的導(dǎo)熱(dor)系數(shù)一般降低。共一百零二頁 水和甘油等強(qiáng)締合液體，分子量變化，并隨溫度(wnd)而變化。在不同溫度(wnd)下，導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度(wnd)的變化規(guī)律不一樣。 液體的導(dǎo)熱系數(shù)隨壓力(yl)p的升高而增大。共一百零二頁5、導(dǎo)熱(dor)系數(shù)的影響因素物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)會(huì)因狀態(tài)參數(shù)的不同而改變，是一個(gè)物性(w xn)參數(shù)，與材料種類和溫度有關(guān)。導(dǎo)熱系數(shù)的影響因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密

14、度等。共一百零二頁導(dǎo)熱系數(shù)與溫度(wnd)一般把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍內(nèi)可以用一種線形關(guān)系來描述：共一百零二頁6、各向異性材料的導(dǎo)熱(dor)系數(shù)各個(gè)方向上導(dǎo)熱系數(shù)都相同的均勻物質(zhì)(wzh)，稱為各向同性介質(zhì)。不同方向上導(dǎo)熱系數(shù)不相同的物質(zhì)，稱為各向異性介質(zhì)。例如木材、石墨、晶體等。導(dǎo)熱系數(shù)的方向性使得各向異性材料的導(dǎo)熱規(guī)律變得復(fù)雜。共一百零二頁導(dǎo)熱系數(shù)用矩陣(j zhn)可表示為一般地，導(dǎo)熱系數(shù)具有如下特性(txng) 對(duì)稱性 存在導(dǎo)熱系數(shù)主軸共一百零二頁當(dāng)坐標(biāo)系按導(dǎo)熱(dor)系數(shù)主軸選取時(shí)，各向異性材料的導(dǎo)熱(dor)系數(shù)可表示為l1、l2和l3稱為主導(dǎo)熱系數(shù)。主

15、導(dǎo)熱系數(shù)不會(huì)隨坐標(biāo)系的變動(dòng)而變化。各種各向異性材料的導(dǎo)熱系數(shù)都可以(ky)轉(zhuǎn)換成主導(dǎo)熱系數(shù)的形式。共一百零二頁（2）均勻、各向異性。木材(mci)、石墨和變壓器鐵心等（圖b）。（3）不均勻，各向同性?？招拇u（圖c）。（4）不均勻、各向異性。不同材料壓制的多層板。飛行器燃燒室的層板結(jié)構(gòu)（圖d）。7、工程導(dǎo)熱材料的一般分類工程技術(shù)中采用到導(dǎo)熱材料與結(jié)構(gòu)可以分為四類：（1）最廣泛使用(shyng)的是均勻、各向同性的導(dǎo)熱材料（圖a）。共一百零二頁第三節(jié) 各向異性( xin y xn)介質(zhì)中的導(dǎo)熱問題：各向異性材料導(dǎo)熱(dor)與各向同性材料導(dǎo)熱(dor)相比有何不同？選取直角坐標(biāo)系（x, y, z）

16、，材料固有導(dǎo)熱系數(shù)主軸為（ x1, y2, z3）。共一百零二頁在各向異性介質(zhì)中，溫度場、等溫面和溫度梯度和熱流向量的概念仍然適用。各異性主軸的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，在此方向上與一般各向同性介質(zhì)無異，可應(yīng)用(yngyng)傅立葉定律。即共一百零二頁不同坐標(biāo)系下熱流密度的轉(zhuǎn)換(zhunhun)li，mi，ni是x1，y1，z1與x、y和z的夾角余弦（或方向余弦）i=1，2和3。共一百零二頁兩坐標(biāo)系之間溫度梯度的轉(zhuǎn)換(zhunhun)提示：（x, y, z）(x1,y1,z1)轉(zhuǎn)換(zhunhun)矩陣為CT。（x1,y1,z1) （x, y, z）轉(zhuǎn)換矩陣為C。共一百零二頁 坐標(biāo)系（x, y, z）中

17、 熱流(rli)密度與溫度梯度之間的關(guān)系即共一百零二頁討論： 1、各向異性材料沿各方向的導(dǎo)熱系數(shù)不相同，此時(shí)(c sh)導(dǎo)熱系數(shù)不再是標(biāo)量，而是張量。熱流密度的方向不僅與溫度變化率有關(guān)，而且還與導(dǎo)熱系數(shù)的方向有關(guān)。于是，此時(shí)熱流密度一般不再保持與等溫面相垂直。 2、在各向異性材料中，不僅與該方向的溫度變化率有關(guān)，而且還受其它方向上的溫度變化率的影響，但不同方向上的溫度變化率對(duì)熱流密度的影響不同。共一百零二頁2維各向?qū)?xingdo)熱異性問題共一百零二頁討論：當(dāng)b=0時(shí)，（x, y）與（x, h）兩坐標(biāo)系重合若lh lx，溫度梯度的負(fù)方向與熱流(rli)密度方向不一致。若lh=lx，溫度梯度的

18、負(fù)方向與熱流密度方向一致。共一百零二頁第四節(jié) 熱傳導(dǎo)方程(fngchng)一、問題的提出 傅立葉定律是否能完全描述導(dǎo)熱現(xiàn)象？為什么？ 傅立葉定律只揭示了連續(xù)溫度場內(nèi)每一點(diǎn)溫度梯度與熱流密度之間的關(guān)系，如果知道了溫度分布就能得到(d do)相應(yīng)的熱流分布。共一百零二頁傅立葉定律沒有說明(shumng)某點(diǎn)的溫度與它相鄰點(diǎn)溫度的關(guān)系，也沒有回答該點(diǎn)溫度如何隨時(shí)間變化。導(dǎo)熱微分方程就是(jish)要揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標(biāo)和時(shí)間變化的內(nèi)在聯(lián)系。共一百零二頁熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)(tudo)基于：(1)熱力學(xué)第一定律(2)傅立葉定律二、熱傳導(dǎo)方程(fngchng) (不依賴于坐標(biāo)系）共一百零二頁1、一般導(dǎo)熱

19、(dor)積分方程熱力學(xué)第一定律：導(dǎo)入控制(kngzh)體的凈熱量控制體內(nèi)熱源的發(fā)熱量控制體中物質(zhì)熱力學(xué)能的變化量注：dA的方向（n）是向外法線方向，負(fù)號(hào)表示熱流指向控制體內(nèi)部，此式是導(dǎo)熱能量方程的積分式。共一百零二頁 2、導(dǎo)熱微分方程的導(dǎo)出 由散度定理(dngl) div表示散度，表示納布拉算子 于是積分方程變?yōu)榇耸绞菍?dǎo)熱(dor)能量方程的微分形式。共一百零二頁導(dǎo)熱微分方程(wi fn fn chn)和導(dǎo)熱積分方程的一般形式。若將e=ct代入，得提示：該導(dǎo)熱微分方程不依賴坐標(biāo)系，并且只是應(yīng)用了熱力學(xué)第一定律?？稍诖嘶A(chǔ)上導(dǎo)出適合各向同性或各向異性( xin y xn)的導(dǎo)熱方程。共一百零二

20、頁3、各向同性材料的導(dǎo)熱(dor)方程 將q=-lt代入上述關(guān)系式，得 得到了導(dǎo)熱積分方程(fngchng)和導(dǎo)熱微分方程。條件：滿足傅立葉定律的適用條件。共一百零二頁圓柱(yunzh)坐標(biāo)系直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系球坐標(biāo)系共一百零二頁幾種特殊的導(dǎo)熱微分方程： （1）對(duì)于常物性材料(cilio)，l、c、r都是常量。方程變?yōu)楦盗⑷~畢渥方程。 2拉普拉斯算子，a為導(dǎo)溫系數(shù)。 對(duì)于直角坐標(biāo)共一百零二頁柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系共一百零二頁（2）條件(tiojin)同（1），無內(nèi)熱源時(shí)qv=0，有（3）對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(dor)，常物性稱為泊桑（Possion）方程（4）進(jìn)一步簡化，無內(nèi)熱源： 該

21、方程稱為拉普拉斯方程。熱擴(kuò)散方程。共一百零二頁a =l/(rc)為導(dǎo)溫系數(shù)（熱擴(kuò)散率）。它反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（l）與沿途物質(zhì)儲(chǔ)熱能力（rc）之間的關(guān)系。a值大，即l值大或rc值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)散。它表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分溫度趨于均勻一致的能力，所以(suy)a反映了導(dǎo)熱過程動(dòng)態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量。 共一百零二頁第五節(jié) 單值性條件(tiojin) 一個(gè)(y )具體的溫度場，不僅依賴于導(dǎo)熱方程，而且還取決于過程進(jìn)行的特定條件。 使一個(gè)具體過程服從同一導(dǎo)熱方程的所有各種導(dǎo)熱過程中單值地確定下來的必需具備的條件，稱為單

22、值性條件。單值性條件包括： （1）幾何條件；（2）物性條件； （3）時(shí)間條件；（4）邊界條件。共一百零二頁一、幾何條件 說明物體的形狀與大小，若是各向異性材料還應(yīng)給出導(dǎo)熱系數(shù)的主軸方向(fngxing)。 根據(jù)需要將物體簡化成半無限大物體、無限大物體和組合平板等。二、物理?xiàng)l件 給定各種有關(guān)物性量的值。一般包括：（1）物性是常物性。共一百零二頁（2）物性(w xn)是變物性(w xn)。 （a）隨溫度變化， （b）與材料取向有關(guān)，即隨空間變化。（3）有無內(nèi)熱源，以及內(nèi)熱源分布。幾何條件和物理?xiàng)l件通常體現(xiàn)(txin)在導(dǎo)熱微分方程的簡化和坐標(biāo)系的選取中。共一百零二頁四、邊界條件邊界條件是描述在區(qū)域

23、邊界上過程進(jìn)行的特點(diǎn)。邊界條件建立基礎(chǔ)：（1）連續(xù)性（2）能量守恒1、第一類邊界條件規(guī)定了邊界上溫度分布及其隨時(shí)間(shjin)的分布。 此類條件又稱為狄利克萊（Dirichlet）條件。共一百零二頁2、第二類邊界條件紐曼(Neumann)條件給出了邊界(binji)表面上各點(diǎn)的熱流密度值。特例(tl)：恒熱流：絕熱條件：共一百零二頁3、第三類邊界條件給定(i dn)邊界表面上各點(diǎn)與周圍流體之間的對(duì)流換熱系數(shù)及周圍流體溫度。能量守恒定律：對(duì)流換熱量(rling)物體邊界面S的導(dǎo)熱量(rling)導(dǎo)熱量：對(duì)流換熱量：第三類邊界條件表示為共一百零二頁第三類邊界條件又可稱為羅賓(Robin)條件。以

24、上三種(sn zhn)邊界條件的物性參數(shù)若為常數(shù)，則邊界條件是線性邊界條件。應(yīng)注意(zh y)式中的已知條件是tf和h。未知條件是和更一般地共一百零二頁第三類邊界條件的轉(zhuǎn)換(zhunhun)：h時(shí)，因tw=tf，轉(zhuǎn)化(zhunhu)為第一類邊界條件。h=0時(shí)，轉(zhuǎn)化為第二類邊界條件。若 已知，這就是給定的第一類邊界條件。若 知道，則是第二類邊界條件。共一百零二頁4、內(nèi)部邊界條件(tiojin)（接觸條件(tiojin)，第四邊界條件(tiojin)）（1）完全接觸（理想情況）（2）不完全接觸（實(shí)際情況）共一百零二頁邊界條件建立(jinl)的基礎(chǔ)（1）連續(xù)性，（2）能量守恒。對(duì)完全接觸（理想(lx

25、ing)情況）：對(duì)不完全接觸：溫度不連續(xù)（接觸熱阻）熱流量連續(xù)（能量守恒）共一百零二頁設(shè)接觸(jich)熱阻為邊界條件為式中負(fù)號(hào)表示溫度梯度的方向是外法線，兩接觸物體(wt)外法線方向相反。5、輻射邊界條件即使系數(shù)均為常數(shù)，該邊界條件也是非線性條件。共一百零二頁6、若輻射與對(duì)流(duli)并存導(dǎo)熱微分方程和所給定的單值性條件提供了導(dǎo)熱過程的共性和個(gè)性、內(nèi)因和外因(wiyn)的完整的數(shù)學(xué)模型，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解，計(jì)算出不同時(shí)刻和不同位置上的溫度和熱流密度及其方向。共一百零二頁第六節(jié) 無量綱的導(dǎo)熱(dor)方程導(dǎo)熱微分方程在一定單值性條件(tiojin)下，可以得到溫度場的解，一般為引入無量綱變

26、量，可以減少變量數(shù)目，得出無量綱參數(shù)。以一維大平板為例加以說明。設(shè)平板內(nèi)物性為常數(shù)，均勻內(nèi)熱源，板厚為L。共一百零二頁其數(shù)學(xué)(shxu)描述為：方程(fngchng)初始條件邊界條件有量綱方程得到的溫度場的解為共一百零二頁無量(wling)綱熱源畢渥數(shù)傅立葉數(shù)定義(dngy)無量綱變量為無量綱溫度無量綱坐標(biāo)共一百零二頁無量(wling)綱方程及邊界條件為無量綱方程(fngchng)得到的溫度場的解為顯然變量數(shù)目大為減少，得出無量綱量 Fo，Bi。共一百零二頁畢渥數(shù)與傅立葉數(shù)無量(wling)綱熱阻無量(wling)綱時(shí)間Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周

27、圍介質(zhì)的溫度。共一百零二頁導(dǎo)熱(dor)正問題和導(dǎo)熱(dor)反（逆）問題導(dǎo)熱問題的分類：（1）已知導(dǎo)熱微分方程及單值性條件，求解物體內(nèi)部的溫度場，并根據(jù)溫度場進(jìn)而(jn r)求得熱流密度和導(dǎo)熱量，這類問題通常稱為導(dǎo)熱的正問題。（2）已知導(dǎo)熱微分方程及部分單值性條件，用已知溫度場的某些信息，求解另一部分未知的單值性條件，這類問題稱為導(dǎo)熱的反問題。共一百零二頁導(dǎo)熱微分方程(wi fn fn chn)+單值性條件穩(wěn)定唯一解（適定）導(dǎo)熱(dor)微分方程 +導(dǎo)熱反問題不適定性求解困難導(dǎo)熱反問題的復(fù)雜性還在于：拋物線形反問題，其不適定性更強(qiáng)；導(dǎo)熱過程是一種耗散機(jī)制的物理現(xiàn)象共一百零二頁反問題常見的類型

28、：（1）已知物體的幾何條件和導(dǎo)熱系數(shù)，根據(jù)測得的物體某處的溫度估算( sun)通過物體表面的熱流密度或物體的表面溫度；（最常見）共一百零二頁（2）當(dāng)邊界條件為第三類邊界條件時(shí)，根據(jù)測得的物體某處或某幾處溫度隨時(shí)間的變化估算物體的熱物性，在某些情況下，還可以(ky)估算對(duì)流換熱系數(shù)隨時(shí)間的變化；（3）對(duì)伴有化學(xué)反應(yīng)熱、電加熱、摩擦生熱等內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題，當(dāng)內(nèi)熱源為未知項(xiàng)時(shí)，亦可能利用已知的邊界條件，估算內(nèi)熱源項(xiàng)。共一百零二頁例：常物性、無內(nèi)熱源大平板(pngbn)板厚為L，初始條件為均勻溫度ti，平板左壁面絕熱，已知平板內(nèi)某處b的溫度變化規(guī)律，欲求右邊界處壁面溫度及熱流密度。（該問題就是導(dǎo)熱反問

29、題）該問題的數(shù)學(xué)(shxu)描述為這里是用平板內(nèi)b處的溫度信息，推算x=L邊界處的溫度和熱流密度。共一百零二頁 可以看出，若為導(dǎo)熱正問題，在x=L處的條件應(yīng)該是給定的，待求的是物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度(wnd)隨時(shí)間的變化；而導(dǎo)熱反問題，待定的是已知一個(gè)或幾個(gè)物體內(nèi)點(diǎn)處的測點(diǎn)得到的溫度(wnd)值，反求x=L處的溫度或熱流密度。 此外，還有 （1）反求物理?xiàng)l件求和a等（衛(wèi)星探測，地球表面溫度，求土壤物性；激光導(dǎo)熱儀，測材料表面溫度）。 （2）反求幾何(j h)條件探傷。共一百零二頁第七節(jié) 熱傳導(dǎo)問題(wnt)的求解方法一、研究導(dǎo)熱問題的方法：一般分為(fn wi)三類:解析法、數(shù)值解法和實(shí)驗(yàn)解法。 1

30、、解析法解析法是以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)求解導(dǎo)熱問題的方法，其所得解析函數(shù)形式的解，常稱作分析解或理論解，由于分析杰在求解的整個(gè)區(qū)域內(nèi)都能精確的滿足導(dǎo)熱微分方程和單值性條件，因此又稱為精確解。共一百零二頁分析解的優(yōu)點(diǎn)： 1、解的形式為函數(shù)形式，便于分析； 2、認(rèn)識(shí)基本傳熱問題的主要特征； 3、校驗(yàn)數(shù)值解的可靠性 總之，分析解法的物理概念明確、邏輯推理清晰、求解(qi ji)過程嚴(yán)密。分析解的局限性： （1） 對(duì)于非線性導(dǎo)熱問題、幾何形作復(fù)雜的導(dǎo)熱問題，分析解法常常無能為力； （2）解的形式常常是無窮級(jí)數(shù)，不便于工程應(yīng)用。共一百零二頁 2、近似解近似分析解法得到的解和分析解一樣仍然具有解析函數(shù)的形式，但

31、它滿足的主要定界條件，因此只能近似地反映物體內(nèi)部溫度分布。 特點(diǎn)：近似分析解即具有分析解的特征，又具有近似解的特征，與單純的數(shù)值解相比近似分析解提供的結(jié)果既能清楚地揭示各種參數(shù)對(duì)問題的影響，又便于進(jìn)一步分析計(jì)算。 3、數(shù)值解法： 對(duì)于非線性強(qiáng)，幾何形狀復(fù)雜，分析解和近似分析解通常(tngchng)無法求解。數(shù)值解法共一百零二頁數(shù)值解法的指導(dǎo)思想是用時(shí)間和空間(kngjin)區(qū)域內(nèi)有限個(gè)離散點(diǎn)（又稱節(jié)點(diǎn)）上的溫度近似值代替物體內(nèi)實(shí)際的連續(xù)的溫度分布，然后根據(jù)導(dǎo)熱方程和邊界條件推導(dǎo)出各節(jié)點(diǎn)間的相互關(guān)系，由此得到一組代數(shù)方程組（離散方程），求解該代數(shù)方程組可得到各節(jié)點(diǎn)上的溫度值，即為物體內(nèi)溫度場的數(shù)

32、值解。節(jié)點(diǎn)多數(shù)值解精度高計(jì)算時(shí)間長。實(shí)驗(yàn)方法本課程只介紹分析解法（含近似解法）。共一百零二頁分析導(dǎo)熱問題的步驟：1、簡化實(shí)際的導(dǎo)熱問題2、建立(jinl)導(dǎo)熱微分方程3、確定邊界條件4、求解導(dǎo)熱微分方程+單值性條件(tiojin)+求解方法溫度場求解方法： 積分法、杜哈美爾法、格林函數(shù)法（熱源法）、拉普拉斯變換法、分離變量法、積分變換法等。共一百零二頁分離變量法 分離變量法是解線形(xin xn)偏微分方程的一種常用方法，特別是對(duì)于求解區(qū)域是矩形、柱體和球體的情形使用更為普遍。這種方法處理齊次問題或只有一個(gè)邊界條件為非齊次情形非常方便。 分離變量法是將分離變量形式的試探解代入偏微分方程中，將求

33、解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程組的問題，二、本課程(kchng)介紹的求解方法共一百零二頁具有n個(gè)自變量的熱傳導(dǎo)方程分離成n個(gè)常微分方程，并在分離過程(guchng)中引入n-1個(gè)分離常數(shù)，然后求解此n個(gè)常微分方程，得到n個(gè)解滿足邊界條件的分離解。然后(rnhu)利用線性疊加原理，用全部分離解構(gòu)成原導(dǎo)熱問題的完全解。求分離解時(shí)常歸結(jié)為求某些常微分方程邊值問題的特征值、特征函數(shù)和范數(shù)。共一百零二頁適用范圍 主要用于求解線性、齊次問題。對(duì)于多維不含內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)問題，若只有一個(gè)邊界是非齊次，仍可使用分離法。分離變量法也是其它求解方法的基礎(chǔ)，如分離變量法導(dǎo)出的積分變換，為積分變換法求解微分方程

34、提供了理論(lln)基礎(chǔ)。分離變量法為求解非齊次方程構(gòu)造格林函數(shù)（熱源法）提供了依據(jù)。共一百零二頁積分變換傅氏變換法 該變換將偏微分方程(wi fn fn chn)中溫度對(duì)空間坐標(biāo)量的2階偏導(dǎo)數(shù)暫時(shí)去掉，使問題轉(zhuǎn)化成只含時(shí)間t一個(gè)自變量的常微分方程，或?qū)維轉(zhuǎn)化成n-1維非穩(wěn)態(tài)偏微分方程問題。拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換是幾分變換的一種，通過變換去掉對(duì)時(shí)間變量的t的偏導(dǎo)數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為變換后函數(shù)的穩(wěn)態(tài)問題。特別地，在一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱情形下，通過拉氏變換得到一個(gè)只含一個(gè)空間變量的常微分方程。共一百零二頁 拉式變換為齊次和非齊次線性導(dǎo)熱問題的求解提供了一個(gè)系統(tǒng)而簡便(jinbin)的方法，對(duì)于非齊次項(xiàng)

35、是時(shí)間的復(fù)雜函數(shù)時(shí)特別有效。 應(yīng)用拉式變換求解的主要困難是變換后函數(shù)的解進(jìn)行逆變換。共一百零二頁熱源法和格林函數(shù)法 物體中溫度隨時(shí)間的變化是由于內(nèi)熱源、邊界熱作用以及初始溫度分布作用的結(jié)果(ji gu)。這些作用都可以看成是廣義上的熱源。因此物體中的溫度場可以認(rèn)為是某種熱源造成的。這種熱源可以是實(shí)際存在的，也可以是虛擬的。 一定類型的熱源在無限大介質(zhì)中所產(chǎn)生的溫度場稱為熱源函數(shù)，或稱為無限區(qū)域的格林函數(shù)。共一百零二頁根據(jù)熱源函數(shù)與溫度場之間的關(guān)系，以基本類型的熱源函數(shù)為基礎(chǔ)求解導(dǎo)熱問題(wnt)的方法稱為熱源法。它們可以適用于含內(nèi)熱源即非齊次的導(dǎo)熱問題，而且在求解無內(nèi)熱源的非線性導(dǎo)熱問題也有效

36、。熱源法適用于求解無限大與半無限大物體的導(dǎo)熱問題。格林函數(shù)法的適用范圍則可擴(kuò)展到有限物體。格林方法的關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)合適的熱源函數(shù)和格林函數(shù)。熱源法和格林法實(shí)質(zhì)也是一個(gè)分離變量法。共一百零二頁近似積分解法精確分析解法只適合求解幾何形狀和邊界條件都比較簡單的線性導(dǎo)熱問題。利用積分方程近似求解導(dǎo)熱問題。比較復(fù)雜的可用近似解法。它的解仍然是解析函數(shù)的形式。它在整個(gè)求解區(qū)域(qy)的總體上滿足系統(tǒng)的能量平衡，但對(duì)于給定的導(dǎo)熱問題只是近似地滿足。共一百零二頁三、數(shù)值解法（自學(xué)） 數(shù)值解法的理論基礎(chǔ)是離散數(shù)學(xué)，其基本思想是：用空間和時(shí)間區(qū)域內(nèi)的有限個(gè)離散點(diǎn)（稱為節(jié)點(diǎn)）上溫度的近似值，近似代替物體內(nèi)實(shí)際(shj)的連續(xù)溫度分布，從而將要求解的導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成由這些節(jié)點(diǎn)上的溫度近似值按一定方式所組成的代數(shù)方程組（離散方程）。求解此代數(shù)方程組，