二階常微分方程

1、11dx2+4dx+7y=0因?yàn)閑r2x=e工常數(shù)y2的特解y，故應(yīng)是x2y1的某個(gè)函數(shù)，設(shè)y271=u,其中u=u(x)為待定函rx1=(dx+er1xruer1x1dx=dxru)er1x1dudx2)er1x第七節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法在上節(jié)我們已經(jīng)討論了二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性微分方程的求解問(wèn)題，關(guān)鍵在于如何求二階齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解。本節(jié)討論二階線性方程的一個(gè)特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其求解方法。先討論二階常系數(shù)線性齊次方程的求解方法。7.1二階常系數(shù)線性齊次方程及其求解方法設(shè)給定一常系數(shù)二階線性齊次方程為d2ydydx2+pdx+qy=0(

2、7.1)其中p、q是常數(shù)，由上節(jié)定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解”就可以了，下面討論這樣兩個(gè)特解的求法。我們先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特d2y解，從方程的形式上來(lái)看，它的特點(diǎn)是dX2，dydx，y各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能d2ydy找到一個(gè)函數(shù)y,其dx2，dx，y之間只相差一個(gè)常數(shù)因子，這樣的函數(shù)有可能是方程(7.1)的特解，在初等函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)erx,符合上述要求，于是我們令y=erx(其中r為待定常數(shù))來(lái)試解dyd2y將y=erx,dx=rerx，dx2=r2erx代入方程(7.1)得r2erxprerxqerx=0或erx(r2

3、prq)=0因?yàn)閑rxHO,故得r2prq=0由此可見(jiàn)，若r是二次方程r2prq=0(7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為求代數(shù)方程(7.2)的根問(wèn)題。稱(7.2)式為微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一個(gè)以r為未知函數(shù)的一元二次代數(shù)方程。特征方程的兩個(gè)根r,r，稱為特12征根，由代數(shù)知識(shí)，特征根r,r有三種可能的情12況，下面我們分別進(jìn)行討論。若特證方程(7.2)有兩個(gè)不相等的實(shí)根r,r，此時(shí)erix,er2x是方程(7.1)的兩個(gè)特解。12er1x所以er1x，er2x為線性無(wú)關(guān)函數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(7.1)的通解

4、為y=Cer1xCer2x12若特征方程(7.2)有兩個(gè)相等的實(shí)根r=1r，此時(shí)p24q=0，即2_P有r=r2=2，這樣只能得到方程(7.1)的一個(gè)特解y=erix，因此，我們還要設(shè)法找出另iy2一個(gè)滿足y工常數(shù)，1數(shù)，即y2=uy1=ue求一階，二階導(dǎo)數(shù)得dudu2d2y.2dx2=(r2iu+2r1dx+d2u將它們代入方程(7.1)得dud2udu(r2iu+2ridx+dx2)er1x+p(dx+(y1+y2)=2eax(eipx+eipx)=earu)erix+quenx=O或d2uxcospx1du2i(yiy2)=2ieax(eipxeipx)=eaxsindx2+(2ri+p

5、)dx+(巴+pr+q)uerix=0因?yàn)閑mHO,且因ri是特征方程的根，故有rPp*+q=,又因r=2故有2ri+P=，于是上式成為d2udx2=0d2u顯然滿足dxi=0的函數(shù)很多，我們?nèi)∑鋚x11由上節(jié)定理一知，2(y1+y2)，2i(y1y)是方程(7.1)的兩個(gè)特解，也即eaxcos0 x,eaxsin2px是方程(7.1)的兩個(gè)特解：且它們線性無(wú)關(guān)，由上節(jié)定理二知，方程(7.1)的通解為y=Ceaxcospx+Ceaxsinpx或y=eax(Ccospx+Csinpx)其中C，C為任意常數(shù)，至此我們已找到了實(shí)12數(shù)形式的通解，其中a,p分別是特征方程(7.2)復(fù)數(shù)根的實(shí)部和虛部。

6、中最簡(jiǎn)單的一個(gè)u(x)=x則y=xerx是方程(7.1)的另一個(gè)特解，且y,21y是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，所以方程(7.1)的通解是2綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程(7.1)的通解，只須先求出其特征方程(7.2)的根，再根y=Cerix+Cxerix=(C+Cx)enx1212(3)若特征方程(7.2)有一對(duì)共軛復(fù)根r=1a+i0，r=aip此時(shí)方程(7.1)有兩個(gè)特解y=e(a+ip)xy=e(aip)x12則通解為y=Ce(a+ip)x+Ce(aip)x12其中C,c為任意常數(shù)，但是這種復(fù)數(shù)形式的12解，在應(yīng)用上不方便。在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要實(shí)數(shù)形式的通解，為此利用歐拉公式eix=cos

7、x+isinx，eix=cosxisinx1(eix+eix)=cosx特征方程r2+pr+q=0的根d2ydy微分方程dx2+pdx+ay=0的誦解有二個(gè)不相等的實(shí)根r,r12y=Cer1x+Cer2x12有二重根r=r12y=(C+Cx)er1x12有一對(duì)共軛復(fù)根cr=a+1卩1r-a-ip2y=eax(CCospx+Csinpx)據(jù)他的三種情況確定其通解，現(xiàn)列表如下例1.求下列二階常系數(shù)線性齊次方程的通有12i(eixeix)=sinx解d2ydydx2+3dx10y=0d2ydy(2)dx24dx+4y=0d2ydy解(1)特征方程+3r-10=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根r=5,r=212所

8、求方程的通解y=Ce5r+Ce2x12特征方程r24r4=0，有兩重根r=r=212所求方程的通解y=(C+Cx)e2x12特征方程+4r+7=0有一對(duì)共軛復(fù)根r=2+Ci1r=22所求方程的通解y=e-2x(Ccos，x+1(3Csinx)27.2二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法由上節(jié)線性微分方程的結(jié)構(gòu)定理可知，求二階常系數(shù)線性非齊次方程d2ydydx2+pdx+qy=f(x)(7.3)的通解，只要先求出其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，再求出其一個(gè)特解，而后相加就得到非齊次方程的通解，而且對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解的解法，前面已經(jīng)解決，因此下面要解決的問(wèn)題是求方程的一個(gè)特解。方程(7.3)的特解形式，與方程

9、右邊的f(x)有關(guān)，這里只就f(x)的兩種常見(jiàn)的形式進(jìn)行討論。一、f(x)=p(x)eax，其中p(x)是n次多項(xiàng)式，nn我們先討論當(dāng)a=0時(shí)，即當(dāng)f(x)=p(X)時(shí)方程d2ydydx2+pdx+qy=pn(x)(7.4)的一個(gè)特解。(1)如果qH0,我們總可以求得一n次多項(xiàng)式將y及其導(dǎo)數(shù)代入方程(7.4)，得方程左右兩邊都是n次多項(xiàng)式，比較兩邊x的同次幕系數(shù)，就可確定常數(shù)a，a，a。1d2ydy例1.求dx2+dx+2y=x23的一個(gè)特解。解自由項(xiàng)f(x)=x23是一個(gè)二次多項(xiàng)式，又q=2H0,則可設(shè)方程的特解為y=ax2+ax+a012y求導(dǎo)數(shù)=2ax+a01y=2a0代入方程有2ax2

10、+(2a+2a)x+12a=102a+2a=0012a+a+2a01002a)=x23比較同次幕系數(shù)22a+a+01解得=-31所以特解y=2x2x4y滿足此方程，事實(shí)上，可設(shè)特解=Q(x)=axnn0+axn-1a，其中a，a，a是待定常數(shù)，1n01n如果q=0,而pH0,由于多項(xiàng)式求導(dǎo)一次,其次數(shù)要降低一次，此時(shí)y=Q(x)不能滿足方程,n所求方程的特解=4x316x2+所求方程的特解=4x316x2+但它可以被一個(gè)(n+1)次多項(xiàng)式所滿足，此時(shí)我們可設(shè)19y=xQ(x)=aXn+i+aXnaxn01n代入方程(7.4)，比較兩邊系數(shù)，就可確定常d2y如果p=0,q=0,則方程變?yōu)閐x2d

11、y數(shù)a,a，a。0ind2yp(x),此時(shí)特解是一個(gè)(n+2)次多項(xiàng)式，可設(shè)n例2.求方程dx2+4dx=3x2+2的一個(gè)特解。解自由項(xiàng)f(x)=3x2+2是一個(gè)二次多項(xiàng)式，又q=0,p=4H0,故設(shè)特解y=ax3+ax2+ax0i2y=x2Q(x),代入方程求得,也可直接通過(guò)n兩次積分求得。下面討論當(dāng)aHO時(shí)，即當(dāng)f(x)=p(x)eax時(shí)n方程d2ydydx2+pdx+qy=pn(x)eaxdx=eaxdx+aueaxdx+a2ueax求導(dǎo)數(shù)丫=3ax2+2ax+a0i26ax+2a0i代入方程得12ax?+(8a+6a)x+(2a+4a)=0i0i23x2+2,比較兩邊同次幕的系數(shù)12a

12、=3o8a+6a=010解得2a+4a=212(7.5)的一個(gè)特解的求法,方程(7.5)與方程(7.4)相比，只是其自由項(xiàng)中多了一個(gè)指數(shù)函數(shù)因子eax,如果能通過(guò)變量代換將因子eax去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，問(wèn)題即可解決，為此設(shè)y=ueax,其中u=u(x)是待定函數(shù)，對(duì)y=ueax,求導(dǎo)得dydud2yd2u求二階導(dǎo)數(shù)dx2=eaxdx2+2aeadudx2+(2a+p)dx+(a2+pa+q)u1a=o43a=-TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 1619a=3213y代入方程(7.5)得 HYPERLINK l bookmark18

13、 d2ududueax2+2a+a2u+peax+au+queax=p(x)eaxn消去eax得d2udu=p(x)(7.6)n由于(7.6)式與(7.4)形式一致，于是按(7.4)的結(jié)論有：如果a2+pa+qH0,即a不是特征方程d2y例4.求方程dx2+y=(x2)e3xd2y例4.求方程dx2+y=(x2)e3x1313=(ax+a)e013xdx2+(2a+p)dx+(a2+ap+=(TOx50)e3xr2+pr+q=0的根,則可設(shè)(7.6)的特解u=Q(x),n從而可設(shè)(7.5)的特解為y=Q(x)eaxn如果a2+pa+q=0,而2a+pHO,即a是特征方程r2+pr+q=0的單根

14、，則可設(shè)(7.6)的特解u=xQ(x)，從而可設(shè)(7.5)的特解為ny=xQ(x)eaxn如果rz+pa+q=0,且2a+p=0,此時(shí)a是特征方程r2+pr+q=0的重根，則可設(shè)(7.6)的特解u=X2Q(x)，從而可設(shè)(7.5)的特解為ny=x2Q(x)eaxn例3.求下列方程具有什么樣形式的特解d2ydydx2+5dx+6y=e3xd2ydydx2+5dx+6y=3xe2xd2ydydx2+adx+=-(3x2+1)ex解(1)因a=3不是特征方程n+5r+6=0的根,故方程具有形如y=ae3x的特解。0因a=2是特征方程+5r+6=0的單根,故方程具有形如y=x(ax+a)e2x的特解。

15、01因a=1是特征方程r2+2r+1=0的二重根,所以方程具有形如y=x2(ax2+ax+a)ex的特解。012的通解。解特征方程r2+1=0d2y特征根r=i得，對(duì)應(yīng)的齊次方程丑2+y=0的通解為Y=Ccosx+Csinx12由于a=3不是特征方程的根，又p(x)=x2為n一次多項(xiàng)式，令原方程的特解為此時(shí)u=ax+a,a=3,p=0,q=1,求udud2u關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)dx=a0，dx2=0，代入d2uduq)u=(x2)得：10ax+10a+6a=x2010比較兩邊x的同次幕的系數(shù)有)Oa=12010a+6a=一2解得a0=1011310，a=50于是,得到原方程的一個(gè)特解為113所以原方程

16、的通解是1yy=Y+=Ccosx+Csinx+(10 xe3xi0)xi0)x2dXdx=3ax2+2ax+a012代入dx2+(2a+p)dx+(a2+pr+解得d2ydy例5.求方程dx22dx3y=(x2+l)e-x的通解。解特征方程r22r3=0特征根r=1,r=32d2y所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程dx2dy3y=0的通解Y=Cex+Cesx,由于a121是特征方程的單根，又P(X)=X2+1為二次多項(xiàng)n式，令原方程的特解=x(ax2+ax+a)ex012此時(shí)u=ax3+ax2+ax，a=1，p=0122，q=3對(duì)u關(guān)于x求導(dǎo)dud2udx2=6aox+2aid2uduq)u=x2+1，

17、得12ax2+(6a8a)x+2a4a=x2+1比較0012x的同次冪的系數(shù)有一12a=101a=-0T26a8a=0011a=T62a4a=0109a=32故所求的非齊次方程的一個(gè)特解為xx2x9y=4(3+4+8)ex二、f(x)=p(x)eaxCOS0 x或p(x)eaxsin0nnx,即求形如d2ydydx2+pdx+qy=Pn(x)eaxcospx(7.7)d2ydydx2+pdx+qy=Pn(x)eaxsinpx(7.8)這兩種方程的特解。由歐拉公式知道，p(x)eaxcos0 x，p(x)eannxsinx分別是函數(shù)p(x)e(a+迢)x的實(shí)部和虛部。n我們先考慮方程d2ydy+

18、p+qy=p(x)e(a+i0)x(7.9)方程(7.9)與方程(7.5)類型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面討論。由上節(jié)定理五知道，方程(7.9)的特解的實(shí)部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虛部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一個(gè)特解，然而取其實(shí)部或虛部即可得方程(7.7)或(7.8)的一個(gè)特解。注意到方程(7.9)的指數(shù)函數(shù)e(a+iP)x中的a+i0(0H0)是復(fù)數(shù)，而特征方程是實(shí)系數(shù)的二次方程，所以a+i0最多只能是它的單根。因此方程(7.9)的特解形為Q(x)e(a+ip)x或xQ(x)e(a+nn例6.求方程dx2y=excos2

19、x的通解。取其實(shí)部得原方程的一個(gè)特解例6.求方程dx2y=excos2x的通解。取其實(shí)部得原方程的一個(gè)特解d2ysin2x)解特征方程r21=0特征根r=1,r=112于是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y=Cex+Cex12為求原方程的一個(gè)特解y。d2y先求方程dx2y=ed+2i)x的一個(gè)特解，由于l+2i不是特征方程的根，且p(x)為零次多n項(xiàng)式，故可設(shè)u=a，此時(shí)a=(1+2i),p=0,q0=1代入方程d2ududx2+(2a+p)dX+(a2+ap+q)u=1得(1+2i)21a=1,即(4i4)a=1,0011a0=4(i1)=(i+1)d2y這樣得到旺y=e(1+2i)x的一個(gè)特解

20、1y_=gex(cos2xsin2x)故原方程的通解為1y=Y+=Cex+Cex128ex(cos2xsin2x)d2y例7.求方程dx2+y=(x2)e3x+xsinx的通解。解由上節(jié)定理三,定理四,本題的通解只要d2y分別求dx2+y=o的特解y,d2ydx2+丫=(x2)e3x的一個(gè)特解d2ydx2+y=xsiny1x的一個(gè)特解y2然而相加即可得原方程的通解,由本節(jié)例4Y=Ccosx+Csinx,12131yi=(10 x50)e3xy=8(i+1)e(i+2i)x由歐拉公式1y=8(i+1)e(i+2i)x1=8(i+1)ex(cos2x+isin2x)1=8ex(cos2xsin2x

21、)+i(cos2x+yy下面求2,為求2先求方程d2ydx2+y=xeix由于i是特征方程的單根，且p(x)=x為一n次式，故可設(shè)u=x(ax+a)=ax2+ax,此時(shí)a0101=i,p=0,q=1,對(duì)u求導(dǎo)1x所以，所求方程的通解y=Y+yi+y2由于a=1不是特征方程的根1x所以，所求方程的通解y=Y+yi+y2由于a=1不是特征方程的根dud2udx2ax+a，dX2=2a0代入方程d2ududx2+(2a+p)dx+(a2+pa+=Ccosx+Csinx+(12114X2COSX+4xsinxq)u=x2a2i(2axa)0=x0014iax+2ia+2a=x010即比較x的同次幕的系

22、數(shù)有:4ia202ia11+2a=0得01113e3x綜上所述，對(duì)于二階常系數(shù)線性非齊次方程d2ydydx2+pdx+qy=f(x)當(dāng)自由項(xiàng)f(x)為上述所列三種特殊形式時(shí)，4id2y即方程dx2+y=xeix的一個(gè)特解iy_=(4x2+4x)eix4X2+4)(cosx+isinx)=(4X2sinx+4xcosx)+i(4X2cosx自由項(xiàng)f(x)形式特解形式y(tǒng)當(dāng)qHO時(shí)=Q(x)f(x)=p(x)nny當(dāng)q=0,pH0時(shí)=Q(x)ny當(dāng)q=O,p=O時(shí)=X2Q(x)當(dāng)a不是特征方程根時(shí)f(x)=p(X)eaXny=Q(x)eaxny當(dāng)a是特征方程單根時(shí)丿=xQ(x)eaxn當(dāng)a是特征方程

23、重根時(shí)y=X2Q(x)eaXf(x)=p(x)eaxcospXn利用歐拉公式eipx=cos0 x+或nisin0 x，化為f(x)=p(x)e(+if(x)=p(x)eaxsin0 xp)x的形式求特解，再分別取其實(shí)部或虛部其特解y可用待定系數(shù)法求得，其特解形式列表如下：+4xsinx)取其虛部，得y2=4x2cosx+以上求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解的方法，當(dāng)然可以用于一階，也可以推廣到高階的情況。例8.求y+3y+3y+y=ex的通解解對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r3+3r2+3r+1=0r=r=r=1234xsinx所求齊次方程的通解Y=(C+Cx+Cx2)e1231d2ydt1dy

24、y因此方程的特解)pex代入方程可解得a。1=8故所求方程的通解為y=Y+y=(C+Cx+12=xdt2dx-x2BF1d2y1dy=X2dt2X2df代入方程(7.10)得d2ydydyao(dTdt)+a2dt+aiy=f(et)axnaxn+aiTdXn-1+昕1xdx+ay=f(x)nCx2)ex37.3歐拉方程下述n階線性微分方程dnydn-iydy稱為歐拉方程，其中ao,叮都是常數(shù)，f(x)是已知函數(shù)。歐拉方程可通過(guò)變量替換化為常系數(shù)線性方程。下面以二階為例說(shuō)明。對(duì)于二階歐拉方程d2ydyaox2dx2+aixdx+a2y=f(x)(7.10)作變量替換令x=et，即t=lnx引入新變量t,于是有dydydtdx=BFdx=dy11dy3tx=x爼td2yd1dy1ddx2=dx(xdt)=xdxdydyd1(dt)+dtdx(x)d2ya-ady20即dT+adt+0a1i