2020春考數(shù)學(xué)模擬題及答案

1、2020春考數(shù)學(xué)模擬題設(shè)集合A=1,2,3,集合B=3,4,則AUB二1,2,3,4【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.【分析】根據(jù)集合的并集的定義求出A、B的并集即可.【解答】解：集合A=1,2,3,集合B=3,4,則AUB=1,2,3,4,故答案為：1,2,3,4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的并集的定義以及運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題.不等式|x-1|V3的解集為（-2,4）.【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法.【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值，求出不等式的解集即可.【解答】解：|x-1|V3,.-3Vx-1V3,-2VxV4,故不等式的解集是（-2,4）,故答案為：（-2,4）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，是一

2、道基礎(chǔ)題.若復(fù)數(shù)z滿足2z-仁3+6i（i是虛數(shù)單位），則z=2-3i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【解答】解:遠(yuǎn)-1=3+6i,2匚二姑紐，則2二戈+夯，z=2-3i.故答案為：2-3i.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.TOC o 1-5 h z1兀1若，則U= HYPERLINK l bookmark2 o Current Document ：32【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值.【解答】解:匚罰二寺，.兀i1二-cosa=.故答案為：-言.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘

3、導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.若關(guān)于x、y的方程組，無解，則實(shí)數(shù)a二6.I旳+且【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.1k+2v=4【分析】把方程組無解轉(zhuǎn)化為兩條直線無交點(diǎn)，然后結(jié)合兩直線平行3工+ay=6與系數(shù)的關(guān)系列式求得a值.(s+2y=4【解答】解：若關(guān)于x、y的方程組無解，3x-l-ay=6說明兩直線x+2y-4=0與3x+ay-6=0無交點(diǎn).解得：a=6.故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.若等差數(shù)列a的前5項(xiàng)的和為25,則a+a=10.n15【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得主二且十互)=2

4、5，由此能求出a+a.【解答】解：等差數(shù)列a的前5項(xiàng)的和為25,nTOC o 1-5 h z=25,2a+a=25X-=10.15故答案為：10.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列中兩項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.若P、Q是圓X2+y2-2x+4y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值為2.【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】圓X2+y2-2x+4y+4=0，可化為(x-1)2+(y+2)2=1，|PQ|的最大值為直徑長(zhǎng).【解答】解：圓X2+y2-2x+4y+4=0，可化為(x-1)2+(y+2)2=1，P、Q是圓X2+y2-2x+4y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，|PQ|的最

5、大值為2,故答案為2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).8.已知數(shù)列aj的通項(xiàng)公式為務(wù)二叫,則【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；極限及其運(yùn)算.【分析】利用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合極限，即可得出結(jié)論.【解答】解：=二，3故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查極限方法，屬于中檔題.若的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為729,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為x160.【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).【分析】令x=1，由題意可得：3n=729，解得n.再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.【解答】解：令x=1，由題意可得：3n=729，解得n=6.展開式的通項(xiàng)公式為：T=2rCrX6-2r，r+

6、16令6-2r=0，解得r=3，其展開式中常數(shù)項(xiàng)=8X20=160，故答案為：160.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F、F,點(diǎn)P在該橢圓上，則使得AFFP1212是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是6.【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)FP構(gòu)成以FF為底邊1212的等腰三角形，此時(shí)有2個(gè).當(dāng)FFP構(gòu)成以FF為一腰的等腰三角形時(shí)，共有4個(gè).1212【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)FP構(gòu)成以FF為底邊的等腰三角形，1212此種情況有2個(gè)滿足條件的等腰AFFP；12當(dāng)FFP構(gòu)成以FF為一腰

7、的等腰三角形時(shí)，共有4個(gè).1212以FP作為等腰三角形的底邊為例，2VFF=FP，121點(diǎn)P在以F為圓心，半徑為焦距2c的圓上1因此，當(dāng)以F為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，1存在2個(gè)滿足條件的等腰AFFP.12同理可得：當(dāng)以F為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，存在2個(gè)滿足2條件的等腰FFP.12綜上可得：滿足條件的使得FFP是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6.12故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、等腰三角形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.11.設(shè)a、a、a為1、2、3、4、5、6的一個(gè)排列，則滿足|a-a|+|a-TOC o 1-5

8、 h z126123a|+|a-a|=3的不同排列的個(gè)數(shù)為48.456【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.【分析】根據(jù)題意，分析可得需要將1、2、3、4、5、6分成3組，其中1和2,3和4,5和6必須在一組，進(jìn)而分2步進(jìn)行分析：首先分析每種2個(gè)數(shù)之間的順序，再將分好的三組對(duì)應(yīng)三個(gè)絕對(duì)值，最后由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，若|a-a|+|a-a|+|a-a|=3，則|a-a|=|a-a|=|a12345612345-a|=1，6需要將1、2、3、4、5、6分成3組，其中1和2,3和4,5和6必須在一組，每組2個(gè)數(shù)，考慮其順序，有A2種情況，三組共有A2XA2XA2=8種順序，222

9、2將三組全排列，對(duì)應(yīng)三個(gè)絕對(duì)值，有A3=6種情況，3則不同排列的個(gè)數(shù)為8X6=48;故答案為：48.【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意分析1、2、3、4、5、6如何排列時(shí)，能滿足|a-a|+|a-a|+|a-a|=3.12345612.設(shè)a、bWR，若函數(shù)在區(qū)間（1,2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則fK（1）的取值范圍為（0,1）.【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.【分析】函數(shù)在區(qū)間（1,2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程X2+bx+a=0 x在區(qū)間（1,2）上兩個(gè)不相等的實(shí)根,-4b4a1+卅：04+2bH-a0104-F2b+a0畫出數(shù)對(duì)（a,b）所表示的區(qū)域，求出目標(biāo)函數(shù)z=f（1）=a+b+1的范

10、圍即可.【解答】解：函數(shù)巴g十十血區(qū)間（1,2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),-4b4a4+2bH-a0即方程X2+bx+a二0在區(qū)間（1,2）上兩個(gè)不相等的實(shí)根,2-b2-4a04-F2b+a0如圖畫出數(shù)對(duì)（a,b）所表示的區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)z=f（1）=a+b+1z的最小值為z二a+b+1過點(diǎn)（1,-2）時(shí),z的最大值為z二a+b+1過點(diǎn)（4,4）時(shí)f（1）的取值范圍為（0,1）故答案為：（0,1）l-a+j=O【點(diǎn)評(píng)】本題是函數(shù)零點(diǎn)的考查，涉及到規(guī)劃問題的結(jié)合，屬于難題.二.選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)函數(shù)f(x)=(x-1)2的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.0,+x)B.1,+x)C.(-g,

11、0D.(-g,1【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可.【解答】解：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=1,開口向上，故f(X)在1,+8)遞增，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.設(shè)aWR,“a0”是“”的()條件.aA.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【解答】解：由，解得：a0,a故a0”是“”的充要條件，a故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查不等式問題，是一道基礎(chǔ)題.過正方體中心的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（

12、）A.三角形B.長(zhǎng)方形C.對(duì)角線不相等的菱形D.六邊形【考點(diǎn)】平行投影及平行投影作圖法.【分析】根據(jù)截面經(jīng)過幾個(gè)面得到的截面就是幾邊形判斷即可.【解答】解：過正方體中心的平面截正方體所得的截面，至少與正方體的四個(gè)面相交，所以不可能是三角形，故選：A.【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是理解截面經(jīng)過幾個(gè)面得到的截面就是幾邊形.如圖所示，正八邊形AAAAAAAA的邊長(zhǎng)為2,若P為該正八邊形邊上的12345678動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.0肝6.；門B.W.MCD.L-8-6.2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】由題意求出以A為起點(diǎn)，以其它頂點(diǎn)為向量的模，再由正弦函數(shù)的單1調(diào)性及值域可得當(dāng)P與A重合時(shí)，碼

13、止才人*取最小值，求出最小值，結(jié)合選項(xiàng)8得答案.【解答】解：由題意，正八邊形AAAAAAAA的每一個(gè)內(nèi)角為135，12345678且丨嵐1A2I二丨心咖丨二戈，丨1gI二仏1%卜:2+：2，I直1A訂二IA騫I二牙卜2，II二2邁.再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可得，當(dāng)P與A重合時(shí)，麗最小為曠2坯8二恥比2+工X（-篤一“尸-2遷.結(jié)合選項(xiàng)可得麗的取值范圍為K.2，站2J.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）（12分）（2017上海模擬）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AB二BC二

14、2,1111AA二3;1（1）求四棱錐A-ABCD的體積；1（2）求異面直線AC與DD所成角的大小.11【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角.【分析】（1）四棱錐A-ABCD的體積倫廠血強(qiáng)吉S拒形朋ci，XA対，由此能求出結(jié)果.（2）由DDCC，知ZACC是異面直線AC與DD所成角（或所成角的補(bǔ)角），111111由此能求出異面直線AC與DD所成角的大小.11【解答】解：(1)T長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AB=BC=2，AA=3,11111四棱錐A-ABCD的體積：1血U二寺S拒形壯CT2X3=4.（2）TDDCC,ZACC是異面直線AC與DD所成角（或所成角的補(bǔ)角），1111

15、11tanZACC11ZAiCC2V2arctan-.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題，注空間思維能力的培養(yǎng).(12分)(2017上海模擬)設(shè)aWR，函數(shù)嚴(yán)+1求a的值，使得f(x)為奇函數(shù)；若fCxX對(duì)任意xWR成立，求a的取值范圍.【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì).【分析】(1)由f(x)在R上為奇函數(shù)，可得f(0)=0,解方程可得a的值，檢驗(yàn)即可；(2)由題意可得即為，V爭(zhēng)恒成立，等價(jià)為0,aV0，由參數(shù)分離，求得右邊的范圍，運(yùn)用恒成立思想即可得到a的范圍.【解答】解：(1)由f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)為奇函數(shù)，可得f

16、(0)=0，即有豈亙=0，解得a=-1.小/、2s-1/、?7S-11-2h/、則f(x)=，f(-x)=-f(x)，2s-Fl2芷+11+2k則a=-1滿足題意；對(duì)任意xWR成立，,+si/a+2工、即為，恒成立，2X+1等價(jià)為兮，即有2(a-1)Va(2x+1)，當(dāng)a=0時(shí)，-1V0恒成立;當(dāng)a0時(shí)，V2x+1,a由2x+11，可得W1,a解得0VaW2;當(dāng)aV0時(shí)，2x+1不恒成立.a綜上可得，a的取值范圍是0,2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求參數(shù)的值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分類討論和參數(shù)分離的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.（12分）（2017上海模擬

17、）某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道M、M（寬度12忽略不計(jì)），如圖所示，已知AB丄AC,AB二AC二AD=60（單位：米），要求圓M1與AB、AD分別相切于點(diǎn)B、D,圓M與AC、AD分別相切于點(diǎn)C、D;2（1）若ZBAD=60，求圓M、M的半徑（結(jié)果精確到0.1米）12（2）若觀景步道M與M的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元，如何設(shè)計(jì)12（結(jié)果精確到0.1千元）【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】（1）直接利用三角函數(shù)，可得結(jié)論；（2）設(shè)ZBAD=2a，則總造價(jià)y=0.82n60tana+0.92n60tan（45-a）,換元，利用基本不等式，可得結(jié)論.【解答】解：（1）M半徑=60tan

18、3034.6,M半徑=60tan1516.1;12（2）設(shè)ZBAD=2a，則總造價(jià)y=0.82n60tana+0.92n60tan（45-設(shè)1+tana=x，則y=12n(8x+、17)284n,當(dāng)且僅當(dāng)x=,tana二亍時(shí),取等號(hào)，M半徑30,M半徑20，造價(jià)42.0千元.12【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.220.(12分)(2017上海模擬)已知雙曲線廠：忙三二1(b0)，直線丨：y=kx+m(km工0),丨與交于P、Q兩點(diǎn)，P為P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線PQ與y軸交于點(diǎn)N(0,n)；若點(diǎn)(2,0)是的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；*3若b=1,點(diǎn)P的坐標(biāo)

19、為(-1,0)，且，求k的值；若m=2，求n關(guān)于b的表達(dá)式.【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).2【分析】(1)由雙曲線廠：八丄丁二1(b0)，點(diǎn)(2,0)是的一個(gè)焦點(diǎn)，求出c=2,a=1，由此能求出的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而能求出的漸近線方程.雙曲線為：X2-y2=1,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出k的值.設(shè)P(x,y),Q(x,y),k=k，則F1122pq0i丄ryu由y=ks+2，得（b2-k2）X2-4kx-4-b2=0，由*y=kqn，得（if/七二1b2X2-2knx-n2-b2=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出n關(guān)于b的表達(dá)0式.2【解答】解：（1）雙曲線（b0），點(diǎn)（2,0）是的

20、一個(gè)焦b-占1、c=2，a=1，b2=c2a2413，2的標(biāo)準(zhǔn)方程為:/七1,的漸近線方程為y=/3x.(2).b1,雙曲線為：X2y21，P(1,0),P(1,0),冊(cè)二丁p，設(shè)Q（x2，y2），則有定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得:3CH-才辺.24，冗二土m，1=廠，解得0=丁f2(3)設(shè)P(x,y)11y)2，kk，PQ0則.-1珥由*y=ks+2，得(b2k2)X24kx4b20,曠可二b匚_4k-4-b，W2)X2-2knx-n2-b2=0,02kanx+x二122u2-n-b-xx=2，bkoxx=12_4一/nL+bb2-k2=b2-k02.,2i2b-kr,即.旦?b-kz片丄_k|j2=n2-t-bb-k2-4-b2比-丫1JL二切-工1二只1+勢(shì)_2kb2-k2kOn-4-b化簡(jiǎn)，得2n2+n(4+b2)+2b2=0.,2n二-2或n二-，-2b-kn2n2+b當(dāng)門=-2,由=，得2b2=k2+k2,04K-y=kox-2y=kx+2打-k2k+2ky=-，ho_k,4即。（L2k+2kjko_k），代入X2-2詁=1,化簡(jiǎn)，得:b2-f(=y.2),從而求出f(x)的范圍，繼而解出x的范圍.11【解答】解：(1)f(x)=log=1,2_L-K_+工1=2，解得；(