【學(xué)習(xí)課件】第2章控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述1MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真教學(xué)

1、第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.1 狀態(tài)方程與時(shí)域描述2.2 傳遞函數(shù)與頻域描述2.1 狀態(tài)方程與時(shí)域描述 2.1.1 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間的一般形式可以寫成 (2.1) (2.2) 其中,F(X,t)表示系統(tǒng)所有的可變系數(shù)和非線性項(xiàng)。一般而言,系統(tǒng)的輸入、輸出和狀態(tài)變量具有不同的維數(shù)。為了得到系統(tǒng)的完整描述,定義 G(t)=BU(t) (2.3) B、C、D矩陣一般為非方陣,式（2.1）可以寫成(2.4) 式（2.2）可以寫成(2.5) 例2.1 將下面的二階系統(tǒng)表示成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式。 解：寫成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間形式其中 式（2.1）可以寫成更一般的形式，即 2

2、.1.2 狀態(tài)方程的創(chuàng)建 假設(shè)n維線性微分方程為(2.6)定義 對于第j個(gè)狀態(tài)變量(2.7) 其中,j定義為 (2.8) 對于式（2.7）和（2.8）,可以得到式（2.6）描述的SISO系統(tǒng)的矩陣表示 其中(2.11) (2.12) 例2.2 將下面的三階線性系統(tǒng)表示成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間形式。解：按照前面介紹的方法定義 其中 因此 例2.3 將下面的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間形式。(注意到該系統(tǒng)方程右邊沒有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng),因此得到的系統(tǒng)矩陣的特征值與給定三階方程解的特征方程的特征根相同。) 解：定義系統(tǒng)狀態(tài) 寫成矩陣形式 由 可得到 下面我們來驗(yàn)證第二個(gè)問題。系統(tǒng)方程的特征根可以寫成 3+a12+a2+

3、a3=0 狀態(tài)矩陣的特征值為 沿矩陣的第一行展開 這里的det(A-I)稱為特征方程?？梢钥闯?狀態(tài)矩陣的特征值與特征方程的根相同。 方程（2.4）的每一個(gè)方程中只含有一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng),稱之為標(biāo)準(zhǔn)形式。然而對于一般的線性系統(tǒng),在一個(gè)方程中可能會包含多個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。例如,下面的二階系統(tǒng)寫成矩陣形式 更為一般的形式是 兩邊同乘以E-1,有 (2.13) (2.14) (E-1A)稱為系統(tǒng)矩陣。 對于方程中含有代數(shù)方程的情況,可以通過一系列的代數(shù)運(yùn)算來降低系統(tǒng)的維數(shù)。基本步驟包括： （1）重新將方程排序,使得前n1個(gè)方程包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng),后n2個(gè)方程僅包含代數(shù)項(xiàng)。 （2）使用矩陣重寫原始方程（G=BU） 其中,Xd

4、為包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)向量,Xa為沒有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)向量。 （3）將上一步的矩陣展開，有（4）得到Xa關(guān)于Xd的解,將它代入到微分方程中,可得 （5）將新的系統(tǒng)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 (2.15) 例2.4 將下面的系統(tǒng)表示成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式。 解：將系統(tǒng)方程寫成矩陣形式 上式具有以下形式方程的解為 其中 2.1.3 非線性系統(tǒng)的線性化 實(shí)際上我們接觸到的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng),然而在某個(gè)參考狀態(tài)的某個(gè)有限范圍內(nèi)可以采用近似線性化的分析方法。下面將介紹如何對一般的非線性狀態(tài)方程進(jìn)行線性化。 假設(shè)非線性系統(tǒng)的一般形式為 (2.16) F(X,U,t)包括系統(tǒng)所有的非線性項(xiàng)。系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入可以表示成 X0為非

5、線性系統(tǒng)的參考點(diǎn)處的狀態(tài)和輸入。將式（2.17）代入式（2.16）,得到(2.17) (2.18) 將上式在參考點(diǎn)附近進(jìn)行一階Taylor展開,對于其中第i個(gè)等式,其一階近似為(2.19) 寫成矩陣形式 (2.20) 其中,Jx(X0,U0)和Ju(X0,U0)是系統(tǒng)在參考點(diǎn)處的Jacobian矩陣，即(2.21) 系統(tǒng)在參考點(diǎn)附近同樣有 (2.22) 將式（2.20）和式（2.22）代入式（2.18）,得到 (2.23) 式（2.23）表示的是原非線性系統(tǒng)的線性化模型系統(tǒng)。新系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣為A+Jx(X0,U0),同時(shí)新的輸入矩陣為B+Ju(X0,U0)。 例2.5 計(jì)算下列矩陣表示的非線性

6、系統(tǒng)在平衡點(diǎn)( )處的線性化模型。 解：首先計(jì)算系統(tǒng)的參考狀態(tài)。在平衡點(diǎn)處從而 得到兩個(gè)平衡點(diǎn)的狀態(tài)為計(jì)算系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣 在參考狀態(tài)XT0=0 0處,線性化系統(tǒng)為 而在參考狀態(tài)XT0=15 -5處,線性化系統(tǒng)為 2.1.4 線性系統(tǒng)的解析解 下面將討論如何計(jì)算一個(gè)狀態(tài)方程描述的線性系統(tǒng)的時(shí)域解。在討論過程中,讀者可以看到,矩陣的指數(shù)函數(shù)在系統(tǒng)解的計(jì)算中發(fā)揮了重要的作用。 1.無輸入的情況 首先考慮一個(gè)沒有獨(dú)立輸入變量并且只有一個(gè)狀態(tài)變量的最簡單情況。系統(tǒng)描述(2.24) 假定解的形式為 (2.25)將其代入原方程方程的最終解為(2.26) 對于矩陣的情況,即系統(tǒng)含有一個(gè)以

7、上的狀態(tài)變量 (2.27) 與標(biāo)量情況類似,假設(shè)解的形式為(2.28) 代入式（2.27），得由初始條件X(0)=B=X0得(2.29) 以上結(jié)果也可以表示成不同的形式。例如,可以以t=t0為初始條件重新計(jì)算,則式（2.29）變?yōu)?2.30) 如果采用t=t-t0,有(2.31) 綜上所述,無輸入線性狀態(tài)方程的解為(2.32) 其中,(t)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,它是下面方程的唯一解 (2.33) 為了驗(yàn)證式（2.23）確實(shí)是原系統(tǒng)方程的解,考慮(2.34) 2. 有輸入的情況 首先考慮標(biāo)量（只有一個(gè)狀態(tài)變量）的情況。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(2.35) 方程兩邊同時(shí)乘以積分因子 ,得到 將方程在t0與t的

8、區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分,有最后,兩邊乘以eat,重新整理方程得(2.36) 如果t0=0,則 (2.37) 驗(yàn)證上述解的正確性的方法是將其代入微分方程中去。例如,將式（2.37）代入方程（2.35）中,并根據(jù)Leibnitz法則,得到 (2.38) 對于矩陣情況,系統(tǒng)描述為 (2.39)與標(biāo)量的情況類似,方程兩邊同時(shí)乘以積分因子e-At,得到 在t0與t時(shí)間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分,從而有最后,兩邊同時(shí)乘以eAt,得到 (2.40) 如果t0=0,則 (2.41) 同樣,為了驗(yàn)證上述解的正確性,將它代入原系統(tǒng)方程上述解也可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來表示 例如,方程（2.41）采用轉(zhuǎn)移矩陣表示為 2.1.5 線性系統(tǒng)的離

9、散化 正如上面討論的那樣,在對實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行分析和仿真之前,往往需要首先采用計(jì)算機(jī)計(jì)算出系統(tǒng)的解的情況。在高維動態(tài)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真中一般采用兩種方法,包括線性系統(tǒng)解析解的離散化和適用于任何系統(tǒng)的數(shù)值積分技術(shù)。 系統(tǒng)離散化的目標(biāo)是將線性系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)方程描述轉(zhuǎn)化成離散形式。假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為(2.43) 將其轉(zhuǎn)化成離散狀態(tài)方程形式X(k+1)T=G(T)X(kT)+H(T)U(kT) (2.44) 其中,T是采樣周期,G和H是常值矩陣。為了方便,方程（2.44）經(jīng)常寫成下面的形式 Xk+1=GXk+Huk (2.45) 上述方程表示了系統(tǒng)狀態(tài)隨離散時(shí)間的迭代關(guān)系,如果G和H矩陣都已知,就很容易通過

10、計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算系統(tǒng)在各個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值。因此,下面的目標(biāo)就是如何計(jì)算離散狀態(tài)矩陣的值。 為此,首先假設(shè)輸入U(xiǎn)(t)為分段常值的函數(shù),即U(t) Uk。為了推導(dǎo)系統(tǒng)的離散表示,引出前面講述的連續(xù)線性系統(tǒng)的解析解，即定義t=(k+1)T,并且t0=kT,有引進(jìn)新的變量,使得=+kT或者=-kT,從而 d=d (k+1)T-kT=T- U(+kT)=U(kT)=Uk 可以得到由于 得到最后的解(2.46) 將它與式（2.45）進(jìn)行比較,最后得到G和H矩陣的計(jì)算公式如果將G按照指數(shù)公式展開,有則可以得到H的展開形式 2.1.6 狀態(tài)方程的數(shù)值積分 在對系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行仿真中除了使用上面講述的矩陣指數(shù)函數(shù)

11、方法外,還可以采用直接對狀態(tài)方程進(jìn)行積分的方法。采用直接積分方法的優(yōu)點(diǎn)在于它可以很容易地處理時(shí)變和相對復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。 1Euler方法（標(biāo)量情況） 考慮一般的一階微分方程 (2.51) 在Euler方法中,我們假定方程（2.51）的右邊在某個(gè)時(shí)間段t=tk+1-tk保持常值。這樣,方程（2.51）的積分方程可以寫成 或者 (2.52) 2改進(jìn)的Euler方法（標(biāo)量情況） 對積分方程更好的近似方法是假定方程在t時(shí)間段內(nèi)是線性（而不是常值）的,這樣得到下面的迭代關(guān)系(2.53) 式（2.53）的問題在于計(jì)算xk+1時(shí)需要計(jì)算fk+1,一種可能的解決方法是首先得到xk+1和fk+1的預(yù)測值,然后

12、根據(jù)情況對xk+1進(jìn)行修正,以改進(jìn)第一次得到的預(yù)測值。這種方法也稱為預(yù)測-修正方法。計(jì)算步驟為先進(jìn)行預(yù)測計(jì)算(2.54) 再進(jìn)行修正計(jì)算 其中 xk+1代表tk+1時(shí)刻第一次的預(yù)測值, tk+1代表修正后的最優(yōu)值。 改進(jìn)的Euler方法雖然算法簡單,卻展示了預(yù)測-修正數(shù)值積分方法的主要思想。我們還可以在計(jì)算過程中自適應(yīng)地調(diào)整t的大小,來同時(shí)滿足計(jì)算精度和計(jì)算速度的要求。在最新的算法中,只要輸入數(shù)值積分的容許誤差,積分算法將會自動調(diào)整計(jì)算的步長,以滿足計(jì)算精度的要求。MATLAB/Simulink中采用的變步長ODE求解算法普遍采用的就是這類算法。 以上關(guān)于標(biāo)量情況的討論可以很容易地推廣到矩陣形

13、式。假設(shè)一維微分方程的一般形式是(2.55) Euler方法（矩陣情況）其中 改進(jìn)的Euler方法（矩陣情況） 預(yù)測計(jì)算 (2.56) (2.57) 修正計(jì)算 (2.58) 其中 (2.59) (2.60) 2.1.7 實(shí)例最后通過一個(gè)具體的例子來演示前述內(nèi)容。例2.6 二階線性系統(tǒng)的一般形式為將它寫成狀態(tài)方程形式,有 其中 0=b0 1=b1-a1b0 2=b2-a1b1+a21b0-a2b0 x1(0)和x2(0)為系統(tǒng)的初始條件。作為一個(gè)特殊的例子,圖2.1顯示的是一個(gè)簡單的RLC電路。 電路的電壓滿足平衡方程 ea=eL+eR+eC其中 圖2.1 簡單的RLC電路圖 i(t)代表電路中

14、的電流。將這些關(guān)系代入平衡方程，得將方程兩邊進(jìn)行微分 將上式與二階系統(tǒng)的一般形式進(jìn)行比較,可以看出 這樣,可以得到標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式 其中 為了得到系統(tǒng)的解析解,假定R=100,L=0.1H,C=0.001F。ea(t)是10V的階躍信號。下面我們采用三種不同的方法進(jìn)行時(shí)域仿真： 1）用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示的系統(tǒng)解析解 對于階躍輸入,LTI系統(tǒng)的解析解可以寫成上式可以寫成簡化形式 最后一步,我們利用了A-1和eAt可交換的事實(shí)。 為了得到最后的表達(dá)式,我們使用Sylvester定理來計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAt,首先計(jì)算狀態(tài)矩陣的特征值：或者 2）LTI系統(tǒng)的離散化 LTI狀態(tài)方程的離散化方法包含在MA

15、TLAB中的控制工具箱（ControlToolbox）中。這個(gè)工具箱還包括一整套用于線性系統(tǒng)分析的函數(shù)。MATLAB是通過定義標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程中的A、B、C和D矩陣的方法來定義一個(gè)LTI狀態(tài)空間對象： sys=ss(A,B,C,D) 上式將創(chuàng)建一個(gè)名為sys的LTI系統(tǒng)對象,接下來可以使用其它函數(shù)對其進(jìn)行各種操作。 例如,對階躍信號的響應(yīng)可以通過下式進(jìn)行計(jì)算: Y,T,X=step(sys) 或 Y,T,X=step(sys,T) 其中,Y和X分別包含輸出和狀態(tài)向量的時(shí)域仿真數(shù)據(jù),它是一個(gè)三維數(shù)組,其第3維對應(yīng)于輸入的維數(shù)。 對于第一種用法,T向量中的采樣時(shí)間數(shù)與采樣周期是由MATLAB自動確定的

16、。而在第二種用法中,它們是由用戶自己定義的。除了使用step函數(shù),MATLAB中具有類似功能的函數(shù)還有impulse和lsim,它們分別完成系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和一般輸入信號的仿真。對于本例中的RLC電路,調(diào)用的格式為 sys=ss(A,10*B,C,D); Y,T,X=step(sys,T); 3）狀態(tài)方程的數(shù)值積分 本例中演示的最后一種方法是通過MATLAB的ode23函數(shù)完成的數(shù)值積分方法。該函數(shù)運(yùn)用了前面講述的自適應(yīng)步長控制算法,采用不同階的RungeKutta（RK）積分算法來進(jìn)行誤差估計(jì)。具體來說,ode23采用二階和三階RK算法來對微分方程進(jìn)行積分。 讀者可以通過helpode23

17、來詳細(xì)了解該函數(shù)的用法。在本例中,ode23的調(diào)用格式為T,X=ode23(sseqn1,to,tf,xo,options)； 其中,to和tf是初始和最終的仿真時(shí)間,xo代表狀態(tài)向量的初始條件。options參數(shù)允許用戶指定數(shù)值積分的某些選項(xiàng)（具體選項(xiàng)可以參考o(jì)deset函數(shù)）。函數(shù)輸出包括記錄采樣時(shí)刻的時(shí)間向量T和狀態(tài)矩陣,其中的每一列對應(yīng)于每個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值。函數(shù)名sseqn1代表將要計(jì)算的方程名稱?？梢灶A(yù)見,采用方法3所得到的仿真曲線與其它方法是一致的（如圖2.2、圖2.3所示）。圖2.2 采用不同時(shí)域仿真方法的RLC 電路階躍響應(yīng)曲線(R=100)圖2.3 采用不同時(shí)域仿真方法的RLC

18、 電路階躍響應(yīng)曲線(R=10)以下是本例中使用的仿真源程序：% LTIDEMO1.M 演示計(jì)算LTI系統(tǒng)方程解的各種方法 clearall, closeall, nfig=0; globalABU L=0.1; %電感參數(shù)(henry) Ca=0.001; %電容參數(shù)(farad) RR=100100; %可變電阻(ohms) ir=menu(ChooseRvalueinRLCcircuit, . R=100ohms(overdampedresponse), . R=10ohms(underdampedresponse), . R=0ohms (undampedresponse); R=RR(

19、ir); % 建立RLC電路的狀態(tài)方程 A=01;-1/(L*Ca)-R/L; B=1/L-R/L2; C=10; D=0; % 設(shè)置積分時(shí)間,時(shí)間向量和系統(tǒng)初始條件 to=0; tf=0.25; nt=251; t=linspace(to,tf,nt); xo=00;% 設(shè)置階躍信號的幅值 us=10; % PartA 連續(xù)解析解 pp=1R/L1/(L*Ca); rr=roots(pp);% 確定方程中的矩陣或向量常數(shù) aibu=inv(A)*B*us; xxo=xo+aibu; AA1=(A-rr(2)*eye(size(A)/(rr(1)-rr(2); AA2=(A-rr(1)*eye

20、(size(A)/(rr(2)-rr(1);% 確定時(shí)間的相關(guān)量 tb1=exp(rr(1)*t); tb2=exp(rr(2)*t);% 構(gòu)造狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化 xa=zeros(2,nt); xa(:,1)=xo; ya=zeros(1,nt); ya(:,1)=C*xo+D*us; fork=2:ntxa(:,k)=(AA1*tb1(k)+AA2*tb2(k)*xxo-aibu; ya(:,k)=C*xa(:,k)+D*us; end xa=xa; ya=ya; % PartB LTI系統(tǒng)的離散解% 對系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行仿真 sys=ss(A,B*us,C,D); yb,t,xb=ste

21、p(sys,t); % PartC 狀態(tài)方程的數(shù)值解 U=us; options=odeset(RelTol,1.0e-6); tn,xc=ode23(sseqn1,to,tf,xo,options); xct=xc; ntn=length(tn); yc=zeros(1,ntn); fork=1:ntn yc(:,k)=C*xct(:,k)+D*U; end yc=yc; % 繪制上述三部分的結(jié)果曲線 nfig=nfig+1; figure(nfig) subplot(3,1,1),plot(t,1000*ya,r),grid title(Fig3.3 VariousSolutionsfor

22、aStepInputtoRLCCircuit. (R=, num2str(R),ohms) range=axis; xt=range(1)+0.55*(range(2)-range(1); yt=range(3)+0.85*(range(4)-range(3); text(xt,yt,ContinuousAnalyticalSolution) ylabel(ia(t)(ma) subplot(3,1,2),plot(t,1000*yb,g),grid text(xt,yt,DiscreteSolutionforLTISystem) ylabel(ib(t)(ma) subplot(3,1,3)

23、,plot(tn,1000*yc,b),grid text(xt,yt,NumericalSolution) ylabel(ic(t)(ma), xlabel(Time(sec)% SSEQN1.M 常系數(shù)狀態(tài)方程的建立 functionxp=sseqn1(t,x) globalABU xp=A*x+B*U;2.2 傳遞函數(shù)與頻域描述 2.2.1 線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 我們知道,線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為(2.61) (2.62) 其中,Y=Y(t)表示系統(tǒng)的輸出向量,U=U(t)為系統(tǒng)的輸入向量。如果系統(tǒng)只有一個(gè)輸入變量和輸出變量（SISO）,則該系統(tǒng)可以由輸入函數(shù)到輸出響應(yīng)的傳遞函數(shù)來

24、表示。例如,圖2.4中的系統(tǒng)可以由圖2.5所示的抽象系統(tǒng)簡單地表示。圖2.4 SISO線性系統(tǒng)的方框圖 圖2.5 SISO系統(tǒng)的抽象表示 圖2.5中系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以表示為 對于多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng),則該系統(tǒng)可以分成多個(gè)互連的SISO子系統(tǒng)。例如,圖2.6所示的系統(tǒng)具有兩個(gè)輸入、三個(gè)輸出,它可以分解成六個(gè)SISO子系統(tǒng)。 這可以用具有多個(gè)輸入和輸出的單個(gè)模塊來表示，如圖2.7所示。 圖2.6 MIMO系統(tǒng)框圖 圖2.7 MIMO系統(tǒng)的抽象表示 2.2.2 Laplace變換 定義：Laplace變換定義為下面的線性變換其中,s=+j為任意的復(fù)數(shù),f(t)e-st是有界的。定義：La

25、place反變換由下式確定 以上定義在很多情況下并不適用,實(shí)際上我們通常通過查表來計(jì)算Laplace變換和Laplace反變換。下面列舉一些常見的Laplace變換： 1）單位脈沖 其中 (2.65) 2）單位階躍 (2.66) 其中 3）指數(shù)信號(2.67) 其中 4）斜坡信號(2.68) 其中 5）重疊信號(2.69) 下面利用式（2.69）來計(jì)算Lsin0t：(2.70) 其中, 由式（2.67）、（2.69）,有 6）時(shí)間延遲 或者 (2.71) 其中 定義=t-t0和d=dt,有 7）微分信號 (2.72) 利用上面的關(guān)系可以得到 對于二階導(dǎo)數(shù),有 (2.73)一般而言,對于n階導(dǎo)數(shù)

26、,有 (2.74) 8）積分信號 (2.75) 2.2.3 Laplace反變換 n階LTI系統(tǒng)的Laplace變換具有如下的一般表示：(2.76) 這里的a1,a2,a3，am為F(s)的零點(diǎn),而b1,b2,b3,，bn是F(s)的極點(diǎn)。 1. 部分分式展開的計(jì)算方法 1) 非重復(fù)線性因子的情況得到 2)重復(fù)線性因子的情況(無法計(jì)算) 為此,將F(s)乘以(s+1)2,有 計(jì)算s=-1時(shí)的值，即 或者 3) 復(fù)數(shù)根和二次因子情況求解A得 剩下的未知因子滿足 計(jì)算得到 B=1 C=2重寫二次項(xiàng)得到 或者得到 2.留數(shù)方法 留數(shù)定理：如果F(s)是關(guān)于s的多項(xiàng)式,那么 所有的根 的留數(shù) (2.7

27、7)其中,一個(gè)n階極點(diǎn)在s=s1處的留數(shù)為 (2.78) 對于一階極點(diǎn) 對于二階極點(diǎn) (2.79) (2.80) 1)非重復(fù)線性因子情況 2)重復(fù)線性因子情況 3) 復(fù)數(shù)根和二次因子情況計(jì)算F(s)的根為s=-1j,將F(s)寫成線性因子形式將各項(xiàng)展開,通過計(jì)算得到 2.2.4 微分方程的解 Laplace變換的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算微分方程的解?；静襟E包括： （1）對微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行Laplace變換,從而將微分方程簡化成代數(shù)方程。 （2）計(jì)算代數(shù)方程中的未知獨(dú)立變量。 （3）利用Laplace反變換計(jì)算出微分方程的時(shí)域解。 例2.7 利用Laplace變換計(jì)算二階線性系統(tǒng)的解。假定有如下

28、的二階微分方程計(jì)算f(t)作用下的x(t)。 解：對微分方程進(jìn)行Laplace變換或者 在零初始條件下,有 對于任何輸入的驅(qū)動信號f(t),都可以計(jì)算F(s)和X(s),然后通過Laplace反變換計(jì)算出x(t)。 情況1：單位脈沖輸入 假定f(t)=(t),于是F(s)=1,x(t)可以這樣計(jì)算得到： 我們知道 通過計(jì)算Laplace反變換,得到脈沖輸入下的微分方程的解為 情況2：單位階躍輸入 對于單位階躍輸入信號,F(s)=1/s,微分方程的時(shí)域解為對于 通過計(jì)算Laplace反變換,可得到脈沖輸入下的微分方程的解為 2.2.5 卷積 對于LTI系統(tǒng),其時(shí)域解可以是由多個(gè)Laplace變換

29、式乘積的Laplace反變換給出的： X(s)=G(s)F(s) (2.81) x(t)=L-1X(s)=L-1G(s)F(s) (2.82) 我們可以采用卷積的概念來計(jì)算式（2.82），即(2.83) 這里的x1(t)和x2(t)是因果時(shí)間函數(shù)（即滿足關(guān)系f(t)=0,t0）。式(2.83）的證明是構(gòu)造性的。假定f(t)的表達(dá)式為 進(jìn)行Laplace變換,得 但是,對于t,有x2(t-)=0。因此,有 現(xiàn)在假定p=t-,dp=dt,得到這樣 (證畢) 如果我們假定X2(s)G(s),X1(s)F(s),則x2(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)(F(s)=1,f(t)=(t)。脈沖響應(yīng)函數(shù)經(jīng)常用h(t)

30、表示?，F(xiàn)在對于任何的輸入函數(shù)f(t),期望的系統(tǒng)響應(yīng)為其中,h(t)=L-1G(s)。 2.2.6 Laplace變換與狀態(tài)方程 下面我們將Laplace變換擴(kuò)展到矩陣形式。既然Laplace變換是一個(gè)線性算子,因此對一個(gè)向量和矩陣進(jìn)行Laplace變換,只要對其中每一個(gè)元素進(jìn)行相應(yīng)的Laplace變換即可。并且一些基本的運(yùn)算如 和等仍然有效。 因此,對于標(biāo)準(zhǔn)的LTI狀態(tài)方程模型,可以對其中的每一項(xiàng)進(jìn)行Laplace變換。或者 狀態(tài)方程的最終形式可以寫成 下面的關(guān)系是顯然的 為了證明上面的式子,重寫式（2.85）為 (2.85) (2.86) (2.87) 進(jìn)行Laplace反變換，有 例2.

31、8 利用Laplace變換計(jì)算eAt,其中 解：我們知道L-1(sI-A)-1=eAt, 因此首先計(jì)算(sI-A)-1。因此 由于 矩陣指數(shù)的最終形式為 2.2.7 系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣與方框圖實(shí)現(xiàn) 我們知道,系統(tǒng)傳遞函數(shù)是零初始條件下系統(tǒng)輸出的Laplace變換與輸入的Laplace變換之比,這點(diǎn)對于單輸入單輸出系統(tǒng)而言是毫無疑問的。那么對于多輸入多輸出系統(tǒng),是否可以用類似的方法來定義系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系呢？回答是肯定的。 線性定常系統(tǒng)的描述為定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 其中 因此,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫成 利用卷積的性質(zhì)并且注意到LeAt=(sI-A)-1,得將方程（2.88）寫成分量的形

32、式，有 其中,Gij(s)稱為第j個(gè)輸入到第i個(gè)輸出之間的傳遞函數(shù)。 大的動態(tài)系統(tǒng)通常可以分解成多個(gè)具有相對簡單的SISO關(guān)系的模塊集,因此可以通過這些模塊集的計(jì)算來獲得整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。假設(shè)單個(gè)模塊的基本形式如圖2.8所示，其傳遞函數(shù)可以表示為圖2.8 單個(gè)模塊的形式 1) 串聯(lián)系統(tǒng) 兩個(gè)模塊串聯(lián)的框圖如圖2.9所示,該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成因此,對于串聯(lián)系統(tǒng)有 (2.89) 圖2.9 模塊串聯(lián)的形式 2) 并聯(lián)系統(tǒng) 兩個(gè)模塊并聯(lián)的框圖如圖2.10所示,該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成 Y(s)= Y1(s)+Y2(s)=G1(s)U(s)+G2(s)U(s) =G1(s)+G2(s)U(s) 圖

33、2.10 模塊并聯(lián)的形式 因此,對于并聯(lián)系統(tǒng)有 3) 閉環(huán)系統(tǒng)（反饋連接） 兩個(gè)模塊構(gòu)成反饋回路的框圖如圖2.11所示,該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成 Y(s)=G0(s)E(s)=G0(s)U(s)-B(s) =G0(s)U(s)-H(s)Y (s) I+G0(s)H(s)Y(s)=G0(s)U(s)或者 Y(s)=I+G0(s)H(s)-1 G0(s)U(s)圖2.11 反饋結(jié)構(gòu)形式 因此，對于反饋系統(tǒng)有因此,對于并聯(lián)系統(tǒng)有圖 2.12或者 或者 將上述結(jié)果寫成矩陣形式,可得到整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 注意到系統(tǒng)的第二個(gè)輸入U(xiǎn)2與第一、第三個(gè)輸出沒有直接相連。 2.2.8 系統(tǒng)的頻域仿真 從前面的論述可知,傳遞函數(shù)在動態(tài)系統(tǒng)的分析和描述中具有重要的作用。表2.1總結(jié)了前面得到的相關(guān)的一些結(jié)論。 如果傳遞函數(shù)已知,則可以首先確定式（2.90）表示的系統(tǒng)脈沖響應(yīng)。然后對于任何的輸入信號,可以通過式（2.89）的卷積公式計(jì)算它的期望響應(yīng)。當(dāng)然,也可以利用式（2.88）用部分分式展開或者留數(shù)定理來確定它的逆變換。 表2.1 傳遞函數(shù)的相關(guān)結(jié)論 下面來看一個(gè)非常重要的特殊輸入信號,即正弦函數(shù)曲線。一個(gè)LTI系統(tǒng)的頻域響應(yīng)就是它在一個(gè)可變正弦信號作用下的輸出響應(yīng)。這里的可變是指正弦信號的頻率發(fā)生變換。這時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)仍然是正弦信號,但信號的幅值和偏移角都將發(fā)生改變。 對于輸入 u(t